专题1 数形结合

专题 1. 数形结合 【知识链接】 数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远 联系莫分离” 几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的步骤化， 可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法所谓数形结合就是 根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数 量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问 题得以解决的思考方法 【中考教练】 例 1在一条直线上依次有 A、B、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从 A、B 港口出发， 沿直线匀速驶向 C 港，最终达到 C 港设甲、乙两船行驶 x（h）后，与 B 港的距离 分别为 、 （km） ， 、 与 x 的函数关系如图所示1y21y2 （1）填空：A、C 两港口间的距离为 km， ；a （2）求 图 中 点 P 的 坐 标 ， 并 解 释 该 点 坐 标 所 表 示 的 实 际 意 义 ； （3）若两船的距离不超过 10 km 时能够相互望见，求甲、乙 两船可以相互望见时 x 的取值范围 点析本题实际上是函数图象意义的理解题。 反馈 1某通讯公司推出、两种通讯收费方式，其中一种有月租费，另一种无月租费， 且两种收费方式的通讯时间 x（分钟）与收费 y（元）之间的函数关系如图所示 （1）有月租费的收费方式是 （填或） ，月租费是 元； （2）分别求出、两种收费方式中 y 与自变量 x 之间的函数关系式； （3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议 O y/km 90 30 a0.5 3 P 甲 乙 x/h 第 1 题 1009080 706050 403020 10 500400300200 () ()y xO 100 x M N y D A B C EO 第 2 题 例 2如图，正方形 的边长为 ，在对称中心 处有一钉子动点 ， 同时ABCD2cmOPQ 从点 出发，点 沿 方向以每秒 的速度运动，到点 停止，点 沿PC 方向以每秒 的速度运动，到点 停止 ， 两点用一条可伸缩的细橡皮筋A1cPQ 联结，设 秒后橡皮筋扫过的面积为 x2y （1）当 时，求 与 之间的函数关系式；0 x （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求 值； （3）当 时，求 与 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止2x y 时 的变化范围；POQ （4）当 时，请在给出的直角坐标系中画出 与 之间的函数图象0x yx 【点析】本题为动态几何问题，解决问题的策略是：“化动为静，以动制静” 。 反馈 2.如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 与坐标原点重合，顶点 分别在OABCC, 坐标轴上，顶点 的坐标为（4，2） 过点 和 的直线分别与 交于B)3,0(D,6E 点 . NM, （1）求直线 的解析式和点 的坐标；DEM （2）若反比例函数 的图象经过点 ，求该反比例0xmy 函数的解析式，并通过计算判断点 是否在该函数的图象上；N （3）若反 比 例 函 数 的 图 象 与 有 公 共 点 ， 请 直xyB接 写 出的 取 值 范 围 m 【例 3】已知二次函数 的图象与 轴交于 两点（点 在点422mxBA、 的左边） ，且与 轴交于点 .ByD （1）当点 在 轴正半轴时，是否存在实数 ，使得 为等腰三角形？若存在，求mBOD 出 的值；若不存在，请说明理由；m （2）当 时，将函数 的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，1422xyxx 图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 . 当直线 与图象 有两by21 个公共点时，求实数 的取值范围b 【点析】本题含有字母系数，是一道典型的利用函数图象解决几何问题的好题。 反馈 3.如图， 关于 的二次函数 图象的顶点为 ，图象交yx3()yxmM 轴于 、 两点，交 轴正半轴于 点.以 为直径做圆，圆心为 ，定点 的坐xABDABCE 标为（3,0） ，连接 . E0 （1）写出 、 、 三点的坐标； （2）当 为何值时 点在直线 上？判定此时直线 与圆的位置关系；mMED （3）当 变化时，用 表示AED 的面积 ，并在给出的直角坐标系中画出 关于s s 的函数图象的示意图. 反馈 4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过 和)0(2acbxy 0,1M 两点，且与 轴交于 ，直线 是抛物线的对称轴0,3Ny3,0Dl 第 3 题 第 5 题 （1）求该抛物线的解析式 （2）若过点 的直线 与抛物线的对称轴和 轴围成的三角形面积为 6，求此直0,1ABx 线的解析式 （3）点 在抛物线的对称轴上， 与直线 和 轴都相切，求点 的坐标PPAP 反馈 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线 1(0)2yxb分别交 x轴、 y轴于AB、 两点点 (40)C， 、 (8)D， ，以 C为一边在 轴上方作矩形 CDEF，且:1:2F 设矩形 EF与 ABO 重叠部分的面积为 S （1）求点 E、 的坐标； （2）当 b值由小到大变化时，求 S与 b的函数关系式； （3）若在直线 (0)yx上存在点 Q，使 等于 90，请直接写出 b的取 值范围 专题 1 答案 数形结合 【例 1】 （1）120， ；2a （2）由点（3，90）求得， 当 0.5 时，由点（0.5，0） ， （2，90）求得，230yx 160yx 当 时， ，解得， 此时 所以点 P 的坐标为12y603x1x1230y （1，30） 该 点 坐 标 的 意 义 为 ： 两 船 出 发 1 h 后 ， 甲 船 追 上 乙 船 ， 此 时 两 船 离 B 港 的 距 离 为 30 km 求点 P 的坐标的另一种方法： 由图可得，甲的速度为 （km/h） ，乙的速度为 （km/h ） 6.593 则甲追上乙所用的时间为 （h） 此时乙船行驶的路程为 （km） 1013 所以点 P 的坐标为（1，30） （ 3） 当 0.5 时 ， 由 点 （0，30） ， （0.5，0）求得， x 16yx 依 题 意 ， 10 解 得 ， 不 合 题 意 (63)xx23 当 0.5 1 时 ， 依 题 意 ， 10 解 得 ， 所 以 1x3(6)x23x 当 1 时 ， 依 题 意 ， 10 解 得 ， 所 以 1 ()x44 综上所述，当 时 ， 甲、乙两船可以相互望见234 【反馈 1】 （1）；30； （2）设 y 有 k 1x30，y 无 k 2x，由题意得05832 ，解得 .012故所求的解析式为 y 有 0.1x30； y 无 0.2x （3）由 y 有 y 无 ，得 0.2x0.1x30，解得 x300； 当 x300 时，y60 故由图可知当通话时间在 300 分钟内，选择通话方式实 惠；当通话时间超过 300 分钟时，选择通话方式实惠；当通话时间在 300 分钟时， 选择通话方式、一样实惠 【例 2】 （1）当 时， ， ， ，即 01x 2APxQ212yAPx2y （2）当 时，橡皮筋刚好触及钉子， ， ，2BCDABPQSS正 方 形四 边 形 BQ ， 2x43x （3）当 时， ， ， ，413 PAQx ，即 22ABPy x2y 作 ， 为垂足当 时， ，OE 43 Bx ， ，Qx1 31O2x43 ，即 BEOPEAQyS梯 形 梯 形 121xx32yx 或 （4）如图所示：9080 70PO 【反馈 2】 （1）设直线 DE 的解析式为 bkxy， 点 D ，E 的坐标为（0，3 ） 、 （6，0） ， .6,bk 解得 .3,21b 321xy 点 M 在 AB 边上，B（4，2） ，而四边形 OABC 是矩形， 点 M 的纵坐标为 2 又 点 M 在直线 xy上， 2 = 31x x = 2 M （2，2） （2） xmy（x0）经过点 M（2，2） ， 4m xy. 又 点 N 在 BC 边上，B（4，2） ，点 N 的横坐标为 4 点 N 在直线31 上， 1y N（4，1） 当 x时，y = x= 1，点 N 在函数 xy 的图象上 （3）4 m 8 【例 3】令 得 ，解得 ， ，0y0422m21m2 ),(),(),(DBA （1）点 在 轴正半轴， ，设存在实数 ，使得 为等腰三角形，Dy2BOD 则 ，即 ，O4m 当 时， ，解得 或 （舍去） ；02m22 3x2 当 时， ，解得 或 （都舍去） ；041 当 时，点 重合，不合题意，舍去；综上所述， . DB、 3m （2）当 时， ，则 顶点为132xy)0,(,BA)4,1( 因为直线 与图象 有两个公共点，则当直线 过 时 ，bx2bxy2点A2 当直线 过 时， ，y1)0,(B21 当直线 与 只有一个公共点时， ，bxy2132xy 1673b 根据图像，可得 . 167b或 【反馈 3】 （1） ， ， .,0Am,B0,Dm （2）设直线 ED 的解析式为 ，将 、 代入，得ykx3,3 解得 直线 ED 的解析式为 . 30,.kb3,.myxm ，2343()3yxx 顶点 M 的坐标为 .把 代入 ，得 .4,3ymx2m ，0m .当 时，点 M 在直线 DE 上.连接 CD，C 为 AB 中点，C 点坐标为1 .,C ，CD=2，点 D 在圆上.又OE=3， ，3,OD221DEO ， . .EDC=90，直线 ED 与C 相切.216E2422CE （3）当 时， ，即 .03m13ADSOm23Sm 当 时， ，即 .2AE2 图象示意图如图中的实线部分. 【反馈 4】 （1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过 M（1，0）和 N（3，0）两点，且 与 y 轴交于 D（0，3） ，假设二次函数解析式为： y=a（ x1） （x3） ，将 D（0，3） ， 代入 y=a（x1） （x3） ，得：3=3a，a=1，抛物线的解析式为：y=（x1） （x3）=x 24x+3 ； 1 B C A D EF y xO G D EF C 2 A B y xO H G x y B A 3 C F E DO D EF C4 A B y xO （2）过点 A（1，0）的直线 AB 与抛物线的对称轴和 轴围成的三角形面积为 6，x ACBC=6，抛物线 的 12 )0(2acbxy 图象经过 M（1，0）和 N（3，0）两点， 二次函数对称轴为 x=2，AC=3，BC=4 ， B 点坐标为：（2，4） ， 一次函数解析式为；y=kx+b， ，解得： ，直线 AB 的解析式: y=bk024 34k x+ ； 4343 （3）当点 P 在抛物线的对称轴上，P 与直线 AB 和 x 轴都相切， MOAB ，AM=AC，PM=PC