八----几种典型的力学问题

八-几种典型的力学问题 复习要点 1 “碰撞过程”的分析 2 “人船模型”的研究 3 “fd=E K”的运用 二、难点剖析 1 “碰撞过程”的分析 （1） “碰撞过程”的特征. “碰撞过程”作为一个典型的力学过程其特征主要表现在如下两个方面： 第一，经历的时间极短，通常情况下，碰撞所经历的时间在整个力学过程中都是可以 初忽略的；第二碰撞双方相互作用的内力往往是远大于来自外部物体的作用力 （2） “碰撞过程”的规律 正是因为“碰撞过程”所具备的“作用时间短”和“外力很小” （甚至外力为零）这两 个特征，才使得碰撞双方构成的系统在碰撞前后的总动量遵从守恒定律，即 m1 1+m2 2=m1u1+m2u2 （3） “碰撞过程”的分类。 按照形变恢复情况划分：碰撞过程中所产生的形变能够完全恢复的称为弹性碰撞；碰 撞过程中所产生的形变不能够完全恢复的称为非弹性碰撞；碰撞过程中所产生的形变完全 不能够恢复的称为完全非弹性碰撞。 按照机械能损失的情况划分：碰撞过程中没有机械能损失的称为弹性碰掸撞；碰撞过 程中有机械能损失的称为非弹性碰撞；碰撞过程中机械能损失最多的称为完全非弹性碰撞。 （4） “碰撞过程”的特例. 弹性碰撞作为碰撞过程的一个特例，它是所有碰撞过程的一种极端的情况：形变能够 完全恢复；机械能丝毫没有损失。弹性碰撞除了遵从上述的动量守恒定律外，还具备：碰 前、碰后系统的总动能相等的特征，即 m1 12+ m2 22= m1u12+ m1u12 由此即可把弹性碰撞碰后的速度 u1 和 u2 表为 u1= 1+ 22 u2= 1+ 221m12 如对弹性碰撞的速度表达式进一步探讨，还会发现另一特征：弹性碰撞前，碰后，碰 撞双方的相对速度大小相等，即 u2u 1= 1 2 完全非弹性碰撞作为碰撞过程的一个特别，它是所有碰撞过程的另一种极端的情况： 形变完全不能够恢复；机械能损失达到最大。正因为完全非弹性碰撞具备了“形变完全不 能够恢复” 。所以在遵从上述的动量守恒定律外，还具德：碰撞双方碰后的速度相等的特征， 即 u1=u2 由此即可把完全非弹性碰撞后的速度 u1 和 u2 表为 u1=u2= 21m 而完全非弹性碰撞过程中“机械能损失最大”的特征可以给出如下证明：碰撞过程中 机械能损失表为 E= m1 12+ m2 22 m1u12 m2u22 由动量守恒的表达式中得 u2= (m1 1+m2 2m 1u1) 代入上式可将机械能的损失E 表为 u1 的函数为 E= u12+ u1+( m1 12+ m2 22)1)(2)( ( m1 1+m2 2m 1u1)22 这是一个二次项系数小于零的二次三项式，显然：当 u1=u2= 21 时，即当碰撞是完全非弹性碰撞时，系统机械能的损失达到最大值 E m= m1 12+ m2 22 )(21 （5） “碰撞过程”的制约 通常有如下三种因素制约着“碰撞过程” 。 动量制约：即碰撞过程必须受到“动量守恒定律的制约” ； 动量制约：即能机械碰撞过程，碰撞双方的总动能不会增加； 运动制约：即碰撞过程还将受到运动的合理性要求的制约，比如，某物体向右运 动，被后面物体迫及而碰撞后，其运动速度只会增大而不应该减小。 （6） “碰撞过程”的推广。 相互作用的双方在相互作用过程中系统所受到的合外力为零时，我们可以将这样的 过程视为“广义的碰撞过程”加以处理。 2 “人船模型”的研究 （1） “人船模型” 典型的力学过程通常是典型的模型所参与和经历的，而参与和经历力学过程的模型 所具备的特征，将直接影响着力学过程的发生，发展和变化，在将直接影响着力学过程的 分析思路，在下列力学问题中我们将面临着一个典型的“人船模型” 。 问题：如图1 所示，质量为 M 的小船长 L， 静止于水面，质量为 M 的小船长为 L，静止于水面， 质量为 m 的人从船左端走到船右端，不计水对船的 mM 运动阻力，则这过程中船将移动多远？ （2） “人船模型”的力学特征 图1 如能关注到如下几点就可以说基本上把握住了“ 人船模型”的力学特征了：“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和 船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合外力为零；而系统的合外力为零则 保证了系统在运动过程中总动量守恒。 （3） “人船模型”的分析思路。 分析“人船模型”运动过程中的受力特征，进而判断其动量守恒，得 m=Mu 由于运动过程中任一时刻人，船速度大小 和 u 均满足上述关系，所以运动过程 中，人、船平均速度大小， 和 也应满足相似的关系。即u m =M 在上式两端同乘以时间，就可得到人，船相对于地面移动的距离 S1 和 S2 的关系为 mS1=MS2 考虑到人、船相对运动通过的距离为 L，于是得 S1+S2=L 由此即可解得人、船相对于地面移动的距离分别为 S1= LMm S2= L （4） “人船模型”的几种变例. 把“人船模型”变为“人车模型”. 变例 1：如图2 所示，质量为 M，长为 L 的 平板小车静止于光滑水平面上，质量为 m 的人从车左 图2 端走到车右端的过程中，车将后退多远？ 把水平方向的问题变为竖直方向。 变例 2：如图3 所示，总质量为 M 的足球下 端悬着质量为 m 的人而静止于高度为 h 的空中，欲使 人能完全沿强着地，人下方的强至少应为多长？ 把直线运动问题变为曲线运动. 变例 3：如图4 所示，质量为 M 的物体静止 于光滑水平面上，其上有一个半径为 R 的光滑半球 形凹面轨道，今把质量为 m 的小球自轨道右测与球 心等高处静止释放，求 M 向右运动的最大距离。 图3 把模型双方的质量比变为极端情况. 变例 4：如图5 所示，光滑水平杆上套有 一个质量可忽略的小环，长 L 的强一端系在环上下， 另一端连着质量为 M 的小球，今使小球与球等高且 将绳拉直，当把小球由静止释放直到小球与环在同 一竖直线上，试分析这一过程中小球沿水平方向的 图4 移动距离. oL 3 “fd=E K”的运用 （1）公式“fd=E K”的含意. 如图6 所示，：质量 M 的木块放在光滑水 图5 平面上，质量为 m 的子弹以水平速度 0 射入木块， 若射入的深度为 d，后子弹与木块的共同速度为 ， 射入时子弹与木块间相互作用的力的大小为 f，则： 相互作用的力 f 与相时位移的大小 d 的乘积，恰等于 子弹与木块构成的系统的动能的减少量.即： fd=E K= m 02 (m+M) 2 图61 (2)公式“fd= EK”的依据. 实际上公式“fd=E K”是过立在动能定理的基础之上的：仍如图6 所示，对子弹和 木块分别运用动能定理可得. f(s+d)= m 2 m 021 fs= M 2 将此两代劳相加后整理即可得 fd= m 02 (m+M) 2=E K.1 （3）公式“fd=E K”的运用 如果是两个物体构成的系统运动过程中除了相互作用的滑动摩擦力外，系统的外力为 零，则都可以运用公式 fd=E K 来制约系统运动中的能量的转多与转化，应该注意的是：当构成系统的双方相对运动出 现往复的情况时，公式中的 d 就理解为“相对路程”而不应该是“相对位移的大小” 。 三、典型例题 例 1A、B 两小球在光滑水平面上沿同一直线同方向运动共动量分别为 PA=5kgm/s，P B=7kgm/s，若 A 追上 B 后与 B 碰撞，碰后 B 的动量为 PB/ =10kgm/s，则 A、B 的质量之比可能为 A1 ：1 B1 ：2 C1 ：5 D1 ：10 分析：此例的求解除了运用碰撞的规律外，还需要关注到碰撞的特征与制约碰撞过程的 相关因素。 解答：由“动量制约”知：碰撞过程中 A、B 两球的总动量应守恒即： PA+PB=PA/+PB/ 由此得：碰后 A 球动量为 PA/=PA+PBP B/=2kgm/s 由“动能制约”知：碰前总动能不小于碰后总动能，即 + +Am2B 2A12Bm 代入数据有 + +A5B49A2B10 Sd 于是可得 BAm17 由“运动制约”知：考虑到碰后运动的合理性，碰后 A 球的速度应不大于 B 球的 速度，即 AP /B/ 代入数据又有 Am2B10 于是又可得 BA5 由此知：此例应选 C。 例 2试将上述“人船模型”的四种变例给出定量解答。 分析：确认了四种变例其物理本质与“人船模型”相同，于是例可以直接运用相 应的结论。 解答：（1）变例 1 中的“人车模型”与“人船模型”本质相同，于是直接得 S2= LMm 解答：（2）变例 2 中的 h 实际上是人相对于地的位移 S1，而绳长则是人与气球的相 对位移 L，于是由 h= L 可解得：绳长至少为 L= hM 解答（3）：变例 3 中小球做的是复杂的曲线运动，但只考虑其水平分运动，其模型 例与“人船模型”相同，而此时的相对位移大小为 2R，于是物体 M 沿水平而向右移动的 最大距离为 S2= 2Rm 解答（4）：变例 4 中环的质量取得某种极端的值 m0 于是所求的小球沿水平方向移动的距离应为 S2= L0M 例 3如图7 所示，质量 M=2kg 的盒子放在 光滑的水平面上，盒子长 L=1m，质量为 m=1kg 的小物 块从盒子的右端以 0=6m/s 的初速度向左运动，小物 图7 m 块与盒子底部间动摩擦因数 =0.5，与盒子两侧壁间的碰撞无机械能损失，则小物块最终 将相对静止于盒子的