安徽省黄山市2013届高三上学期第一次联考数学(理)试卷

黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测数学（理）试题 参考公式：如果事件 互斥，那么 .AB、 ()()PABP 第卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只 有 一项是符合题目要求的 3 m、 n是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四命题： 若 /,，则 /; 若 /,m，则 ; 若 ，则 ; 若 n，则 /. 其中真命题的序号是 （ ） A B C D 4设函数 ()3cos(2)sin()(|)2fxxx，且其 图象关于直线0 对称，则 （ ） A. ()yfx的最小正周期为 ，且在 (0,)上为增函数 B. 的最小正周期为 ，且在 2上为减函数 C. ()yfx的最小正周期为 ，且在 (,)4上为增函数 D. 的最小正周期为 ，且在 0上为减函数 5如右图,若程序框图输出的S是126,则判断框 中应为 （ ） A B?5n?6n C D78 6若定义在 R 上的偶函数 满足 ，且当 时， 则方()fx(2)(ffx0,1(),fx 程 的解个数是 （ 3()log|fx ） A0 个 B2 个 C4 个 D6 个 7若 是等差数列，首项公差 ， ，且 ,则使数列na0d1a20132013()a 的 前 n 项和 成立的最大自然数 n 是 （ 0nS ） A4027 B4026 C4025 D4024 8已知 为圆 内异于圆心的一点，则直线 与0(,)Mxy22(0)ya20xya 该圆的位置关系是 （ ） A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交 9已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设 2(kn为偶数）111.2(.)23442nn 时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）时等式成立 （ ） A B C Dnkkk() 10. 已知向量 、 、 满足 |1， |， ()0若对每一确定的 , | 的最大值和最小值分别为 、 ，则对任意 ， 的最小值是 （ mnmn ） A B1 C2 D12 2 第卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区 9 月份至 11 月份注 射 疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注 射 了疫苗的鸡的数量平均为 万只 3 主视图 俯视图 侧视图 12.二项式 展开式中的第_项是常数项 102x 13一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一 边长为 的矩形,左视图是一个边长为 的等边三角形,3cm2cm 则这个几何体的体积为_ 14.已知 z=2x +y，x，y 满足 且 z 的最大值是最小 ,yxa 值 的 4 倍，则 a 的值是 15给出如下四个结论： 若“ p且 q”为假命题，则 p、 q均为假命题； 命题“若 b，则 21ab”的否命题为“若 ab，则 21ab”； 若随机变量 ，且 ，则 ；(3,4)N(23)()P3 过点 A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有 2 条 其中正确结论的序号是_ 三、解答题：本大题共共 6 小题，共 75 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 16. （本小题满分 12 分） 已知函数 的图象过点 . 23sincosfxxm()R(,0)12M （）求 的值；m （）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， .若 ，ABCCabcos+c=osBbCaB 求 的取值范围()f 17（本小题满分 12 分） 已知函数 （e 为自然对数的底数）()xft （）当 时，求函数 的单调区间；et()fx （）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 t 的取值范围0,2()0f 18 （本小题满分 12 分） 如图，已知多面体 ABCDE 中， AB平面 ACD， DE平面 ACD， AC=AD=CD=DE=2， AB=1， F 为 CD 的中点 （）求证： AF平面 CDE； （）求面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小 19.（本小题满分 12 分） 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。 已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的 概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响。32 （）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成 2 题的概率分析比较两 位考生的实验操作能力 20.（本小题满分 13 分） 已知 , 是平面上一动点, 到直线 上的射影为点 ，且满足(10)FPP:1lxN(2PN （）求点 的轨迹 的方程;C （）过点 作曲线 的两条弦 , 设 所在直线的斜率分别为(1,)MMAB,AMB , 当 变化且满足 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点坐标12k2k12k 21. （本小题满分 14 分） 已知数列 满足： （其中常数 ）na23211.na*0,nN （）求数列 的通项公式； （）求证：当 时，数列 中的任何三项都不可能成等比数列；4na （）设 为数列 的前 项和求证：若任意 ，nSn *nN(1)3nSa 参考答案 一、ACABB CDCB A 二、11,90；12，九；13， ；14， ；15，3cm14 16.解：（）由 3 分1()sin2(cos2)sin(2)62fxxxmx 因为点 在函数 的图象上，所以(,012Mfi(01 解得： 5 分m （）因为 ，所以2cosBbCacosBincosics2incosCBCAB 所以 ，即sin()inAiA 又因为 ，所以 ,所以 9 分0,s01cs2 又因为 ，所以()B3BC 所以 ，所以270,366A1sin(),62A 所以 的取值范围是 12 分()f1,2 17解：（）当 时， ， et()exf()exf 由 ，解得 ； ，解得 ()0xf 10xf 1 函数 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 5 分f (,)(,) （）依题意：对于任意 ，不等式 恒成立，0,2x()0fx 即 即 在 上恒成立e0xtet(, 令 ， e()xg2(1)exg 当 时， ；当 时， 01()0()0gx 函数 在 上单调递增；在 上单调递减 ()gx, (1,2 所以函数 在 处取得极大值 ，即为在 上的最大值1)eg(0,2x 实数 t 的取值范围是 12(,)e 分 18解：（）DE平面 ACD，AF 平面 ACD， DE AF 又 AC=AD， F 为 CD 中点， AF CD， 因 CD DE=D， AF平面 CDE. 4 分 （）取 CE 的中点 Q，连接 FQ，因为 F 为 CD 的中点，则 FQ DE，故 DE平面 ACD， FQ平面 ACD，又由（）可知 FD， FQ， FA 两两垂直，以 O 为坐标原点，建立如 图坐标系， 则 F（0，0，0）， C（ ，0，0）， A（0，0， ）， B（0，1， ）， E（1，2，0）133(1,3)(2,)CBE 6 分 设面 BCE 的法向量 ，则(,)nxyz0,nCBE 即 取 30,2xyz(1,0) 又平面 ACD 的一个法向量为 ，(,)FQ 012cos,|nFQ 面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小为 45 19，解：（）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ， ，则 的取值分别为 1、2、3， 的取值分别,0、1、2、3，2130444236661(),(),()555CCCPPP 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为： 1 2 3 P 53515 5 分13()25E 因为 ,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：()B 0 1 2 3 P 12762717827 8 分68()3E （）因为 4820(),()5P 所以 10 分2P 从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成 2 题的概率考察，甲通过的 可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。 10 分 20 解： （）设曲线 C 上任意一点 P(x,y), 又 F(1,0)，N( 1,y),从而 (1,0)PNx , ,(2)NFy11(,)2PNFxy 2()0PNFy 化简得 y2=4x, 即为所求的 P 点的轨迹 C 的对应的方程. 4 分 （）设 、 、 、1,)Ax（ 2,)B（ 224:(1)Mkx2:(1)MBkx 将 MB 与 联立，得：24y11480ky 1k 同理 24y 而 AB 直线方程为: ，即 211()yx12124yyx 8 分 由:y 1+y2= 12 1212121212()4 64, 4()k kyk k 代入，整理得 恒成立10 分12()60xy 则 故直线 AB 经过(5,-6)这个定点 13 分10566xyxy 21解：（）当 n1 时，a 13 当 n2 时，因为 a1 n 22n， a2 a32 ann 1 所以 a1 (n1) 22(n1) a2 a32 an 1n 2 得 2n1，所以 an(2n1) n1 （n2，nN *） 3 ann 1 分 又 a13 也适合上式， 所以 an(2n1) n1 (nN *) 4 分 （）当 4 时，a n(2n1) 4n1 （反证法）假设存在 ar，a s，a t 成等比数列， 则(2r 1) 4r1 (2t1) 4t1 (2 s1) 2 42s2 整理得(2r1) (2t1) 4 rt 2s (2s1) 2 由奇偶性知 rt2s0 所以(2r1) (2t1) (rt1) 2，即(rt) 20这与 rt 矛盾， 故不存在这样的正整数 r，s，t，使得 ar，a s，a t 成等比数列 8 分 （）S n357 2 (2n1) n1 当 1 时，S n357(2n1) n 22n 10 分 当 1 时，S