如何证明面面 垂直(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 如何证明面面垂直(精选多篇) 如何证明面面垂直 设 p 是三角 形 abc 所在平面外的一点，p 到 a,b,c 三 点的距离相等,角 bac 为直角，求证：平 面 pcb 垂直平面 abc 过 p 作 pq面 abc 于 q，则 q 为 p 在面 abc 的投影，因为 p 到 a，b，c 的距离相等，所以有 qa=qb=qc，即 q 为 三角形 abc 的中心，因为角 bac 为直， 所以 q 在线段 bc 上，所以在面 pcb 上 有线段 pq平面 abc，故平面 pcb平 面 abc 2 证明一个面上的一条线垂直另一 个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内, -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的 两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相 垂直。 这是解析几何的方法。 2 一、初中部分 1 利用直角三角形中两锐角互余 证明 由直角三角形的定义与三角形的 内角和定理可知直角三角形的两个锐角 和等于 90，即直角三角形的两个锐角 互余。 2 勾股定理逆定理 3 圆周角定理的推论：直径所对 的圆周角是直角，一个三角形的一边中 线等于这边的一半，则这个三角形是直 角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 共面时，两直线经过平移后相交成直角， 则称两条直线互相垂直。 1 向量法两条直线的方向向量数 量积为 0 2 斜率两条直线斜率积为-1 3 线面垂直，则这条直线垂直于 该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边， 那么它也垂直于另外一边 4 三垂线定理在平面内的一条直 线，如果和穿过这个平面的一条斜线在 这个平面内的射影垂直，那么它也和这 条斜线垂直。 5 三垂线定理逆定理如果平面内 一条直线和平面的一条斜线垂直，那么 这条直线也垂直于这条斜线在平面内的 射影。 3 高中立体几何的证明主要是平 行关系与垂直关系的证明。方法如下： .平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 共点的两条直线平行。2.公理 4。3.线面 平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂 直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共 点。2.平面外的一条直线与平面内的一 条直线平行。3.两平面平行，一个平面 内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。 2.一个平面内的两条相交直线分别与另 一平面平行。 .垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为 90。 2.一条直线与一个平面垂直，那么这条 直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平 面内的任一直线垂直。2.一条直线与一 个平面内的两条相交直线都垂直。3.面 面垂直的性质。4.两条平行直线中的一 条垂直与一个平面，那么另一直线也与 此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平 行平面中的一个，那么这条直线也与另 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为 直二面角。2.一个平面过另一平面的垂 线，那么这两个平面垂直。 怎样证明面面垂直 如果一平 面经过另一平面的垂线，那么这两个平 面垂直。 为方便，下面#后的代表向量。 #cd=#bd-#bc,#ac=#bc- #ba,#ad=#bd-#ba. 对角线的点积： #ac#bd=#bd=#bc#bd-#ba#bd 两组对边平方和分别为： ab2+cd2=ab2+2=ab2+bd2+bc2- 2#bd#bc ad2+bc2=2+bc2=bd2+ba2+bc2- 2#bd#ba 则 ab2+cd2=ad2+bc2 等价于 #bd#bc=#bd#ba 等价于#ac#bd=0 所以原命题成立，空间四边形对 角线垂直的充要条件是两组对边的平方 和相等 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 证明一个面上的一条线垂直另一 个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内, 即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的 两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相 垂直。 这是解析几何的方法。 2 一、初中部分 1 利用直角三角形中两锐角互余 证明 由直角三角形的定义与三角形的 内角和定理可知直角三角形的两个锐角 和等于 90，即直角三角形的两个锐角 互余。 2 勾股定理逆定理 3 圆周角定理的推论：直径所对 的圆周角是直角，一个三角形的一边中 线等于这边的一半，则这个三角形是直 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不 共面时，两直线经过平移后相交成直角， 则称两条直线互相垂直。 如果一平面经过另一平面的垂线， 那么这两个平面垂直。 1 向量法两条直线的方向向量数 量积为 0 2 斜率两条直线斜率积为-1 3 线面垂直，则这条直线垂直于 该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边， 那么它也垂直于另外一边 4 三垂线定理在平面内的一条直 线，如果和穿过这个平面的一条斜线在 这个平面内的射影垂直，那么它也和这 条斜线垂直。 5 三垂线定理逆定理如果平面内 一条直线和平面的一条斜线垂直，那么 这条直线也垂直于这条斜线在平面内的 射影。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 3 高中立体几何的证明主要是平 行关系与垂直关系的证明。方法如下： .平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公 共点的两条直线平行。2.公理 4。3.线面 平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂 直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共 点。2.平面外的一条直线与平面内的一 条直线平行。3.两平面平行，一个平面 内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。 2.一个平面内的两条相交直线分别与另 一平面平行。 .垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为 90。 2.一条直线与一个平面垂直，那么这条 直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平 面内的任一直线垂直。2.一条直线与一 个平面内的两条相交直线都垂直。3.面 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 面垂直的性质。4.两条平行直线中的一 条垂直与一个平面，那么另一直线也与 此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平 行平面中的一个，那么这条直线也与另 一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为 直二面角。2.一个平面过另一平面的垂 线，那么这两个平面垂直。 第四节 利用空间向量求二面角 及证明面面垂直 一、二面角 二面角?l? ，若? 的一个法向量 为 m，?的一个法向量为 n，则 cos?,?，二面角的大小为?m,n?或?m,n? 例 1如图，正三棱柱 abc?a1b1c1 中，e 为 bb1 的中点， aa1?a1b1，求平面 a1ec 与平面 a1b1c1 所成锐角的大小。 例 2如图，在四棱锥 v-abcd vad 是正三角形 ,平面 vad底面 abcd 证明 ab平面 vad； 求面 vad 与面 vbd 所成的二面角 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 的大小 练习：如图，棱长为 1 的正方体 abcd?a1b1c1d1 中，e 是 cc1 的中点， 求二面角 b?b 1e?d 的余弦值。 12 二证面面垂直 若平面? 的一个法向量为，平面 ? 的一个法向量为，且? ，则 ?。 例 3在四棱锥 p-abcd 中，侧面 pcd 是正三角形，且与底面 abcd 垂直， 已知底面是面积为 23 的菱形， ?adc?600 ，m 是 pb 的中点。 求证：pa?cd 求二面角 p?ab?d 的度数； 求证： 平面 pab?平面 cdm。 练习：已知四棱锥 p-abcd 中，底 面 abcd 是菱形，?dab?60?,pd?平面 abcd，pd=ad，点 e 为 ab 的中点，点 f 为 pd 的中点。 证明平面 ped平面 pab； 求二面角 p-ab-f 的平面角的余弦 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 值. 作业： 1如图，在长方体 abcd?a1b1c1d1 中， 已知 ab?4,ad?3,aa1?2,e,f 分别是 线段 ab,bc 上的点，且 eb?fb?1。 求二 面角 c-de-c1 的正切值； 求直线 ec1 与 fd1 所成角的余弦 值。 13 2已知四棱锥 p-abcd 的底面为 直角梯形，ab dc ，?dab?90?,pa? 底面 abcd，且 pa=ad=dc= ab=1，m 是 pb 的中点。 2 证明：面 pad面 pcd； 求 ac 与 pb 所成的角； 求面 amc 与面 bmc 所成二面角 的大小。 3已知四棱锥 p-abcd 的底面是 边长为 2 的正方形，侧棱 pa?底面 abcd，pa2，m、n 分别是 ad、bc 的中 点，mq?pd 于 q -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 求证：平面 pmn?平面 pad； 求 pm 与平面 pcd 所成角的正弦 值； 求二面角 p?mn?q 的余弦值。 4如图，在直三棱柱 abca1b1c1 中，abbc， d、e 分别为 bb1、ac1 的中点 证明：ed 为异面直线 bb1 与 ac1 的公垂线； 设 aa1ac2ab ，求二面 角 a1adc1 的大小 14 c b1 d e c a b 5 如图，已知正方形 abcd 和 矩形 acef 所在的平面互 相垂直，ab=，af=1，m 是线段 ef 的中点。 求证：am/平面 bde； 求二面角 a?df?b 的大小； -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 试在线段 ac 上确定一点 p，使得 pf 与 bc 所成的角是 60?。 6如图 1，已知 abcd 是上下 底边长分别为 2 和 6，高为的等腰梯形， 将它沿对称轴 oo1 折成直二面角，如图 2. 证明：acbo1； 求二面角 o-ac-o1 的大小。 7如图，已知四棱锥 p-abcd 的 底面 abcd 为 等腰梯形， abdc,acbd,ac 与 bd 相交于点 o，且 顶点 p 在底面上的射影恰为点 o，又 bo=2,po=,pbpd. 求异面直线 pd 与 bc 所成角的余弦值； 求二面角 p-ab-c 的 大小； 设点 m 在棱 pc 上，且 pc平 面 bmd. 15 pm ?,问?为何值时， mc 数学面面垂直例题 例 4 答案： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 例 8 答案：取 ac 的中点为 o，连 接 op、ob。 ao=oc,pa=pc,故 po 垂直 ac 本节课学生学习的起点是如何利 用判定定理证明线面、面面垂直。障碍 点是线线、线面、面面垂直的相互转化， 并能灵活应用相互转化。因此本节课的 重点是如何灵活应用线线、线面、面面 垂直的相互转化完成垂直关系的证明 课题：垂直关系 教学分析 垂直关系是一种非常重要的位置 关系，它不仅应用较多，而且是平行关 系的转化手段，可以说垂直关系是立体 几何的核心内容之一，也是高考热点内 容。 垂直的性质定理在立体几何中有 着特殊的地位和作用。在巩固线线垂直 和面面垂直的基础上，讨论垂直的性质 定理及其应用时，要注意是立体几何最 难的定理，往往是一个复杂问题的开端， 先由面面垂直转化为线面垂直，否则无 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 法解决问题。 三维目标 1.探究垂直的判定定理，培养学 生的空间想象能力。 2.掌握垂直的判定定理的应用， 培养学生分析问题、解决问题的能力。 3.探究垂直的性质定理，进一步 培养学生的空间想象能力。 4.垂直的性质定理的应用，培养 学生的推理能力。 5.通过垂直的性质定理的学习， 培养学生的转化思想。 重点难点 教学重点:垂直关系的判定定理及 其应用 垂直的性质定理 教学难点:应用判定定理解决问题 定义如果一条直线和一个平面内的 任意一条直线都垂直，则直线与平面垂 直。 判定定理如果一条直线和一 个平面内的两条相交直线都垂直，则直 线与平面垂直。 -精选财经经济类资料