湖南省娄底市2017届高考仿真模拟（二模）数学试题（理）含答案

娄底市 2017 届高考仿真模拟试卷 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 1,3M ， 1,3,5N ，则满足 M X N 的集合 X 的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2若复数 z 满足 i 1 1 （ i 为虚数单位），则 z （ ） A 2i B 2i C 1 2i D 1 2i 3“ 1a ”是“直线 30ax y 的倾斜角大于4”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知数列 ，公差为 d （ *）的等差数列，若 81 是该数列中的一项，则公差 d 不可能是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 5给出关于双曲线的三个命题： 双曲线 22194的渐近线方程是 23； 若点 2,3 在焦距为 4 的双曲线 221上，则此双曲线的离心率 2e ； 若点 F 、 B 分别是双曲线 221的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段 中点一定不在此双曲线的渐近线上 . 其中正确的命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 6记不等式 组 103 3 010 所表示的平面区域为 D ，若对任意 00,x y D，不等式0020x y c 恒成立，则 c 的取值范围是（ ） A ,4 B ,2 C 1,4 D ,1 7将函数 0y x x 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 （ 0, ），得到曲线 C ，若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都仍然是一个函数的图 象，则 的最大值为（ ） A B2C3D48在体积为 V 的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是 2 的等腰直角三角形，则 V 的最小值是（ ） A 43 B 32C 3 D 12 9我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作数书九章中提出了计算多项式 11x a x a x 10a x aL 的值的秦九韶算法，即将 12n n nf x a x a x a x 10a x a，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值 将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ） Aiv vx aB iv v x aCiv a x vD iv a x v10已知函数 2 s i n 1f x x （ 0 ，2）， 1f ， 1f ，若 的最小值为 34，且 14对称，则函数 ） A 2 , 22 ， B 3 , 32 ， C 52 , 22 ， D 53 , 32 ， 11过正方体1 1 1 1A B C D A B C D的顶点 A 作平面 a ，使棱 在直线与平面 a 所成角都相等，则这样的平面 a 可以作（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 12已知函数 上的奇函数，且当 0x 时， 1 xf x x e ，则对任意，函数 F x f f x m ） A 3 个 B 4 个 C 6 个 D 9 个 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若 2 s i n 1 8aa x x d x ，则 a 14若 21 0 50 1 211x x a a x a x 1010 1 L，则5a 15已知 3ar ， 4br ， 0若向量 足 0a c b c r r r r ，则 取值范围是 16已知各项都为整数的数列 2a，且对任意的 *，满足1 12 2n，23 2 1n ，则2017a 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知 ， 2， 120A， c o s 3 s i . （ ）求边 长； （ ）设 D 是 上一点，且 面积为 334，求 的正弦值 . 18某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表： 质量指标值 m 185m 185 205m 205m 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取 200 件，检测后得到如下的频率分布直方图： （ ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品 92%”的规定？ （ ）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取 8 件，再从这 8 件产品中随机抽取 4件，求抽取的 4 件产品中，一、二、三等品都有的概率； （ ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后在抽样检测 ，产品质量指标值 X 近似满足 2 1 8 ,1 4 0，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？ 19如图，四棱锥 P 的底面 平行四边形，侧面 边长为 2 的正三角形， D 7 , 3. （ ）求证：平面 平面 （ ）设 Q 是棱 的点，当 平面 ，求二面角 A 的余弦值 . 20已知椭圆 E ： 221（ 0 ）的离心率为 23，1F、2焦点，且存在直线 l ，使1F、2l 的对称点恰好是圆 C ：224x y 22 5 4 0m y m （ ， 0m ）的一条直径的四个端点 . （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设直线 l 与抛物线 2 2y （ 0p ）相交于 A 、 B 两点，射线1分别相交于点 M 、 N 否存在数集 D ，当且仅当 时，总存在 m ，使点1N 为直径的圆内？若存在，求出数集 D ；若不存在，请说明理由 . 21已知函数 x， 1g x k x. （ ）证明： ，直线 y g x 都不是曲线 y f x 的切线； （ ）若 2e, ，使 12f x g x成立，求实数 k 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分 22选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，曲线1m t （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2 c o . （ ）写出曲线2 （ ）设点 P 、 Q 分别在1C、2 最小值为 1，求 m 的值 . 23选修 4等式选讲 已知函数 2f x x a 1 . （ ）证明： 34 （ ）若 4 13f ，求 a 的取值范围 . 娄底市 2017 届高考仿真模拟试卷 数学（理科）参考答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 3 14 251 15 0,5 16 20172 三、解答题 17解：（ ）因为 120A，所以 60 ，由 c o s 3 s i 得 c o s 3 s i n 6 0 313 c o s s i 33c o s s i . 即 c o s 3 s i ，从而 3， 又 0 60B ，所以 30B， 6 0 3 0 ，所以 2C. （ ）由已知得 12 D 33s 0 4 ，所以 332在 ， 由余弦定理得 2 2 2 2A D A C C D A C 7 ， 72 再由正弦定理得s i n s i A D C ，故 s i n 2 7s i C 18解：（ ）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0 . 2 0 0 0 . 3 0 0 0 . 2 6 00 0 9 0 0 5 ，由于该估计值小于 不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品 92%”的规定 . （ ）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为 在样本中用分层抽样方法抽取的 8 件产品中，一等品 3 件，二等品 4 件，三等品 1 件 件产品中随机抽取 4 件，一、二、三等品都有的情形有 2 种：一等品 2 件，二等品 1 件，三等品 1 件；一等品 1 件，二等品 2 件， 三等品 1 件 1 1 2 13 4 1 3 4 148C C C C C 37 . （ ）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为 1 7 0 0 . 0 2 5 1 8 0 0 . 1 1 9 0 0 . 2 2 0 0 0 . 3 2 1 0 0 . 2 6 2 2 0 0 . 0 9 2 3 0 0 5 2 0 0 ， “质量提升月”活动后，产品质量指标值 X 近似满足 2 1 8 ,1 4 0，则 218. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了 19解：（ ）取 中点 O ，连接 因为 边长为 2 的正三角形，所以 3， D ， 又 7A B B D，所以 D ，且 22 6O B A B O A ， 于是 2 2 29O B O P P B ，从而 B ， 由得 平面 而 平面 所以平面 平面 （ ）连结 设 D E ，则 E 为 中点，连结 当 平面 ，Q ，所以 Q 是 中点 . 由（ ）知， 两垂直，分别以 在直线为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，则 0, 6, 0B 、 2, 6 , 0C 、 1,0,0D 、 0, 0, 3P ， 由 P 、 C 坐标得 631, ,22Q，从而 1, 6 , 0 630 , ,22 设 ,n x y zr 是平面 一个法向量，则由 00n Q r 6063 022， 取 1y ，得 6 , 1, 2n r ，易知平面 一个法向量是 1 0, 0,1n 所以111c o s , r 3， 由图可知，二面角 A 的平面角为钝角，故所求余弦值为 23. 20解：（ ）将圆 C 的方程配方得： 2224x m y m ，所以其圆心为 2,C m m ，半径为 2. 由题设知，椭圆的焦距 2c 等于圆 C 的直径，所以 2c ， 又 23ce a，所以 3a ，从而 2 2 2 5b a c ，故椭圆 E 的方程为 22195. （ ）因为1F、2l 的对称点恰好是圆 C 的一条直径的两个端 点，所以直线 l 是线段 O 是坐标原点），故 l 方程为 522 ，与 2 2y 联立得：22 2 5 0y p y p m ，由其判别式 0 得 10 0， 设 11,A x y， 22,B x y，则12y y p ，12 52y y . 从而 1212 2 5 1 52 2 2m p m， 21212 2422516m. 因为1 2,0 ，所以 1 1 12,F A x y 1 2 22,F B x y注意到1以 点1N 为直径的圆内11 0F M F N 1 0F A F B 1 2 1 22 2 0x x y y 1 2 1 2 1 224x x x x y y 2250 1 0 24 m p m 4 4 0p ， 当且仅当 21 0 0 2 p 1 0 0 4 0p 即 5p 时，总存在 m ，使成立 . 又当 5p 时，由韦达定理知方程 225 1 0 24 m p m 4 4 0p 的两根均为正数，故使成立的 0m ，从而满足 . 故存在数集 5,D ，当且仅当 时，总存在 m ，使点1N 为直径的圆内 . 21解：（ ） 0,1 1, ， 2x ，直线 y g x 过定点 1,0 ， 若直线 y g x 与曲线 y f x 相切于点 000, x（ 0 0x 且 0 1x ），则 0 20x 000，即 00 0 ， 设 h x x x ， 0,x ，则 1 10 ，所以 0, 上单调递增，又 10h ，从而当且仅当0 1x 时，成立，这与0 1x 矛盾 . 所以， ，直线 y g x 都不是曲线 y f x 的切线； （ ） 12f x g x即 11l n 2x ，令 1k ， 2e,， 则 2e, ，使 12f x g x成立 m ， 2l n 1 211l n l n 21 1 1l n 2 4 ， （ 1）当 14k时， 0x ， x 在 2e,e上为减函数，于是 2m i n 2 2e k， 由 2 2 得 12k，满足 14k，所以 12k符合题意； （ 2）当 14k时，由 21124y t k 及 1x的单调性知 211l n 2x x 14 k在 2e,e上为增函数，所以 2 ，即 14k x k ， 若 0k，即 0k ，则 0x ，所以 x 在 2e,e上为增函数，于是 m in e e 1k 1e 2 ，不合题意； 若 0k，即 104k则由 ， 2 1k 及 x 的单调性知存在唯一 20 e, ，使 0 0x ，且当 0e,， 0x ， x 为减函数；当 20 ,x x e时， 0x ， x 为增函数； 所以 0m 0 001，由 0 0011l n 2x 得000111 l n 2 01 1x 0 1 1 12 2 2 4x ，这与 104k矛盾，不合题意 . 综上可知， k 的取值范围是 1,2. 22解：（ ） 4 c o 即 2 3 c o s 2 s i n ，所以2 2 3 c o s 2 ，将 x ， y ，