柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西 不等式 各种形式的 证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西 (研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为 等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，1 2 1 22 , , , ,n a a a b b c b d 令 ， 得 二 维 形 式 22222 等号成立条件： 扩展： 22 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3n n n na a a a b b b b a b a b a b a b 等号成立条件：1 1 2 20 0 0: : : , 1 , 2 , 3 , ,i i i b a ba b a b a ba b i n 当 或 时 ， 和 都 等 于 ，不 考 虑二维形式的证明： 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2222, , ,220=a b c d a b c d Ra c b d a d b ca c a b c d b d a d a b c d b ca c b d a d b ca c b da d b ca d b c 等 号 在 且 仅 在即 时 成 立三角形式 222 2 2 2a b c d a c b da d b c 等 号 成 立 条 件 ：三角形式的证明 ： 2221 1 1n n nk k k kk k ka b a b 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 222222 2 2 2222 - 2a b c d a b c d a b c da b c d a c b da a c c b b d da c b da b c d a c b d 注 ： 表 示 绝 对 值两 边 开 根 号 ， 得向量形式 1 2 3 1 2 3= , , , , , , , , 2=a a a b b b b n N ，等 号 成 立 条 件 ： 为 零 向 量 ， 或向量形式的证明 ： 1 2 3 1 2 31 1 2 2 3 32 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 32 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3= , , , , , , , , ,c o s ,c o s ,c o s , 1n n nm a a a a n b b b bm n a b a b a b a b m n m na a a a b b b b m b a b a b a b a a a a b b b b 令一般形式 211212 nk 1 1 2 2: : :n n i ia b a b a b a b 等 号 成 立 条 件 ： ， 或 、 均 为 零 。一般形式的证明： 211212 nk 证明： 2 2 2 2 22= / 2=/2i j j ii i j j j j i ia b a b na b a b a b a 不 等 式 左 边 共 项不 等 式 右 边共 项用 均 值 不 等 式 容 易 证 明 ，不 等 式 左 边 不 等 式 右 边 ， 得 证 。推广形式 (卡尔松 不等式 )： 卡尔松不等式表述为： 在 m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11 1 1 11 2 31 1 1 1,mn n m m m nm m m mm m m mi i i i ni i i ix x x x x x x x xx x x xm n N 其 中 ，或者 ： 1 11111,mi j i n N x R 其 中 ， ，或者 1 1 2 21111y x y x x y 注 ： 表 示 ， ， ， x 的 乘 积 ， 其 余 同 理推广形式的证明： 推广形式 证法一： 1 1 1 2 2 211211 2 1 21 2 1 211211 2 1 21 2 1 2112,+n n x y A x y A x A x x A A A A A y y A A A A A 记由 平 均 不 等 式 得同 理 可 得上 述 个 不 等 式 叠 加 ， 得1 11211111121 1 2 211+ A x yx y x y x 即即， 证 毕或者 推广形式 证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 111111221111111111 111111111m mj n j i j x j x j 由 均 值 不 等 式同 理 有以 上 各 式 相 加 得上 式 也 即11111111,1mj k j 该 式 整 理 ， 得 ：得 卡 尔 松 不 等 式 ， 证 毕付：柯西（ 等式相关证明方法： 22211 222221222221 nn 2,1, 等号当且仅当 021 或ii 时成立（ k 为常数， 2,1 ）现将它的证明介绍如下： 证明 1：构造二次函数 2222211)( nn = 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 22n n na a a x a b a b a b x b b b 2212 0a a 0恒成立 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 24 4 0n n na b a b a b a a a b b b 即 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2n n na b a b a b a a a b b b 当且仅当 0 1, 2x b x i n 即12 b b 时等号成立 证明（ 2） 数学归纳法 （ 1）当 1n 时 左式 = 211 211 左式 =右式 当 2n 时， 右式 222 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2a a b b a b a b a b a b 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 22a b a b a a b b a b a b 右式 仅当即 2 1 1 2a b a b即12等号成立 故 1,2n 时 不等式成立 （ 2）假设 ,2 时，不等式成立 即 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2k k ka b a b a b a a a b b b 当 ii ， k 为常数， 1, 2 或12 0ka a a 时等号成立 设 2 2 212 ka a a 2 2 212 kb b b 1 1 2 2 a b a b a b 则 2 2 2 2 21 1 1 1 1k k k k ka b b a b 22 2 21 1 1 1 1 12 k k k k k a b a b C a b 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 1k k k ka a a a b b b b 21 1 2 2 1 1k k k ka b a b a b a b 当 ii ， k 为常数， 1, 2 或12 0ka a a 时等号成立 即 1时不等式成立 综合（ 1）（ 2）可知不等式成立 二、柯西不等式的应用 1、巧拆常数证不等式 例 1：设 a、 b、 c 为正数且互不相等。求证： 2 2 2 2a b b c a c a b c . a b c、 、 均为正数 1 1 1292=b b c a ca b c a b b c a c 为 证 结 论 正 确 ， 只 需 证 :而为证结论正确，只需证： 又 29 (1 1 1) 只 需 证 : 21 1 121 1 11 1 1 9b b c a ca b b c a ca b b c a c 又 a b c、 、 互不相等，所以不能取等 原不等式成立，证毕。 2、求某些 特殊 函数最值 例 2： 3 5 4 9y x x 求 函 数 的 最 大 值 。 函数的定义域为 5， 9, 0y 3 5 4 93 2 4 2 2 5 2 95 * 2 1 04 5 = 3 9 6 . 4 4y x x x 函 数 仅 在 ， 即 时 取 到3、 用柯西不等式推 导点到直线的距离公式。 已知点 00,直线 :l 0x y C 220 设点 p 是直线 l 上的任意一点， 则 0x x C （ 1） 221 2 0 1 0 1p p x x y y （ 2） 点12p 到直线 l 的距离，求（ 2）式有最小值，有 2222 0 1 0 1 0 1 0 1x x y y x x y y 0 0 1 1x y C x y C 由（ 1）（ 2）得： 22 1 2 0 0p p x y C 即 001222x y （ 3） 当且仅当 0 1 0 1:y y x x 12p p l（ 3）式取等号 即点到直线的距离公式 即 001222x y 4、 证明不等式 例 3 已知正数 , 证明 2 2 23 3 33 证明：利用柯西不等式 23 1 3 1 3 122 2 2 2 2 2 2 2 2a b c a a b b c c 2 2 23 3 32 2 2a b c a b c 23 3 3a b c a b c 1 又因为 2 2 2a b c a b b c c a 在此不等式两边同乘以 2，再加上 2 2 2得： 2 2 23a b c a b c 22 2 2 3 3 3 2 2 23a b c a b c a b c 故 2 2 23 3 33 5、 解三角形的相关问题 例 4 设 p 是 的一点， , p 到三边 ,R 是 接圆的半径，证明2 2 212x y z a b 证明：由柯西不等式得， 1 1 1x y z a x b y c za b c 1 1 1a x b y c 记 S 为 面积，则 22 42a b c a b ca x b y c z S 12 2a b c a b b c c ax y z a b b c c aR a b c R 2 2 212 故不等式成立。 6、 求最值 例 5 已知实数 ,d 满足 3a b c d ， 2 2 2 22 3 6 5a b c d 试求 a 的最值 解：由柯西不等式得，有 22 2 2 1 1 12 3 6 2 3 6b c d b c d 即 22 2 22 3 6b c d b c d 由条件可得， 2253 解得， 12a当且仅当 2 3 61 2 1 3 1 6b c d 时等号成立， 代入 111, ,36b c d 时， a 211, ,33b c d 时 a 7、利用柯西不等式解方程 例 6 在实数集内解方程 2 2 2 948 6 2 4 3 9x y zx y y 解：由柯西不等式，得 2 2 22 2 2 28 6 2 4 8 6 2 4x y z x y y 222 2 2 28 6 2 4x y z 29 6 4 3 6 4 1 4 4 3 94 又 2 28 6 2 4 3 9x y y 2 2 22 2 2 28 6 2 4 8 6 2 4x y z x y z 即不等式 中只有等号成立 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 8 6 2 4x y z它与 8 6 2 4 3 9x y y 联立，可得 613x 926y 1813z 8、用柯西不等式解释样本线性相关系数 在线性回归中，有样本相关系数 12211()()x y yx x y yr= ，并指出 1r 且 r 越接近于 1，相关程度越大， r 越接近于 0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 现记x x，y y，则， 12211r= ，由柯西不等式有， 1r 当 1r 时， 2 221 1 1n n ni i i ii i ia b a b 此时， i b kx x a ， k 为常数。点 ,2,1 均在直线 y y k x x 上， r 当 1r 时， 2 221 1 1n n ni i i ii i ia b a b 即 2 221 1 10n n ni i i ii i ia b a b 而 22221 1 1 1n n ni i i i i j j ii i i i j na b a b a b a b 21 0i j j ii j n a b a b 0i j j ia b a b , 为常数。 此时，此时， i b kx x a ， k 为常数 点 , y y k x x 附近，所以 r 越接近于 1，相关程度越大 当 0r 时， ,而，找不到合适的常数 k ，使得点 , y y k x x 附近。所以， r 越接近于 0，则相关程度越小。 9、 关于不等式 22222 )()( 的几何背景 几何背景 ： 如图，在三角形 ， ,(),( ， 则 , 2222 Q（ c， d） .)()( 22 O P（ a， b） 将以上三式代入余弦定理 c o 并化简，可得 2222co s 或 .)( )(c 因为 1 ，所以， 1)()(22222 于是 22222 )()( . 柯西不等式的相关内容简介 （ 1） 赫尔德 (等式 )111()()(2211121121 当 2 ，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。 （ 2） 平面三角不等式（柯西