柯西不等式

柯西不等式的证明及应用 （河西学院数学系 01（ 2）班 甘肃张掖 734000） 摘要 ：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。 关键词 ：柯西不等式 证明 应用 中图分类号 ： of 34000） is a in is it to as 西（ 等式 12 22211 222221222221 nn 2,1, 等号当且仅当 021 或ii 时成立（ k 为常数， 2,1 ）现将它的证明介绍如下： 证明 1：构造二次函数 2222211)( nn = 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 22n n na a a x a b a b a b x b b b 2212 0a a 0恒成立 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 24 4 0n n na b a b a b a a a b b b 即 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2n n na b a b a b a a a b b b 当且仅当 0 1, 2x b x i n 即12 b b 时等号成立 证明（ 2）数学归纳法 （ 1）当 1n 时 左式 = 211 211 左式 =右式 当 2n 时， 右式 222 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2a a b b a b a b a b a b 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 22a b a b a a b b a b a b 右式 仅当即 2 1 1 2a b a b即12等号成立 故 1,2n 时 不等式成立 （ 2）假设 ,2 时，不等式成立 即 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2k k ka b a b a b a a a b b b 当 ii ， k 为常数， 1, 2 或12 0ka a a 时等号成立 设 2 2 212 ka a a 2 2 212 kb b b 1 1 2 2 a b a b a b 则 2 2 2 2 21 1 1 1 1k k k k ka b b a b 22 2 21 1 1 1 1 12 k k k k k a b a b C a b 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 1k k k ka a a a b b b b 21 1 2 2 1 1k k k ka b a b a b a b 当 ii ， k 为常数， 1, 2 或12 0ka a a 时等号成立 即 1时不等式成立 综合（ 1）（ 2）可知不等 式成立 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题 例 1 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 3 。 已知点 00,直线 :l 0x y C 220 设点 p 是直线 l 上的任意一点， 则 0x x C （ 1） 221 2 0 1 0 1p p x x y y （ 2） 点12p 到直线 l 的距离，求（ 2）式有最小值，有 2222 0 1 0 1 0 1 0 1x x y y x x y y 0 0 1 1x y C x y C 由（ 1）（ 2）得： 22 1 2 0 0p p x y C 即 001222x y （ 3） 当且仅当 0 1 0 1:y y x x 12p p l（ 3）式取等号 即点到直线的距离公式 即 001222x y 2） 证明不等式 例 2 4 已知正数 , 证明 2 2 23 3 33 证明：利用柯西不等式 23 1 3 1 3 122 2 2 2 2 2 2 2 2a b c a a b b c c 2 2 23 3 32 2 2a b c a b c 23 3 3a b c a b c 1 又因为 2 2 2a b c a b b c c a 在此不等式两边同乘以 2，再加上 2 2 2得： 2 2 23a b c a b c 22 2 2 3 3 3 2 2 23a b c a b c a b c 故 2 2 23 3 33 3） 解三角形的相关问题 例 3 设 p 是 的一点， , p 到三边 ,R 是 接圆的半径，证明2 2 212x y z a b 证明：由柯西不等式得， 1 1 1x y z a x b y c za b c 1 1 1a x b y c 记 S 为 面积，则 22 42a b c a b ca x b y c z S 12 2a b c a b b c c ax y z a b b c c aR a b c R 2 2 212 故不等式成立。 4） 求最值 例 45 已知实数 ,d 满足 3a b c d ， 2 2 2 22 3 6 5a b c d 试求 a 的最值 解：由柯西不等式得，有 22 2 2 1 1 12 3 6 2 3 6b c d b c d 即 22 2 22 3 6b c d b c d 由条件可得， 2253 解得， 12a当且仅当 2 3 61 2 1 3 1 6b c d 时等号成立， 代入 111, ,36b c d 时， a 211, ,33b c d 时 a 5）利用柯西不等式解方程 5 例 5在实数集内解方程 2 2 2 948 6 2 4 3 9x y zx y y 解：由柯西不等式，得 2 2 22 2 2 28 6 2 4 8 6 2 4x y z x y y 222 2 2 28 6 2 4x y z 29 6 4 3 6 4 1 4 4 3 94 又 2 28 6 2 4 3 9x y y 2 2 22 2 2 28 6 2 4 8 6 2 4x y z x y z 即不等式 中只有等号成立 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 8 6 2 4x y z它与 8 6 2 4 3 9x y y 联立，可得 613x 926y 1813z 6）用柯西不等式解释样本线性相关系数 67 在 概 率 论 与 数 理 统 计 一 书 中 ， 在 线 性 回 归 中 ， 有 样 本 相 关 系 数 12211()()x y yx x y yr= ，并指出 1r 且 r 越接近于 1，相关程度越大， r 越接近 于 0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 现记x x，y y，则， 12211r= ，由柯西不等式有， 1r 当 1r 时， 2 221 1 1n n ni i i ii i ia b a b 此时， i b kx x a ， k 为常数。点 ,2,1 均在直线 y y k x x 上， r 当 1r 时， 2 221 1 1n n ni i i ii i ia b a b 即 2 221 1 10n n ni i i ii i ia b a b 而 22221 1 1 1n n ni i i i i j j ii i i i j na b a b a b a b 21 0i j j ii j n a b a b 0i j j ia b a b , 为常数。 此时，此时， i b kx x a ， k 为常数 点 , y y k x x 附近，所以 r 越接近于 1，相关程度越大 当 0r 时， ,而，找不到合适的常数 k ，使得点 , y y k x x 附近。所以， r 越接近于 0，则相 关程度越小。 致谢 ：在本文的写作过程中，得到了马统一老师的精心指导，在此表示衷心的感谢。 参考文献 ： 1 柯西不等式的微小改动 J 数学通报 2002 第三期