2017年新课标Ⅰ高考数学试卷押题卷(A)含答案解析

2017 新课标全国卷 数学 押题卷 A 2017 年 考试大纲修订内容： 1. 进一步加强对数学“双基” 即基本知识，基本 技能的考查，强调数学思想方法的应用，注重数学能力的考查 . 2. 全国卷采用 12 个选择题， 4 道填空题， 5 道必选题，另外加后面的 2 选 1（极坐标与参数方程，和绝对值不等式两道题目中选做其中一道），共 150 分，用时 2 个小时 . 3. 2017 年新考纲变化有：（ 1）注重数学文化的考查；（ 2）试卷最后的选做题由原来的 2选 1 变成 2 选 1，删掉了平面几何的选考 . 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 第 1卷 一、选择题（共 7小题，每小题 6分，满分 42分） 1. 在选择题中常考查的知识点 （ 1）基础题 集合与简易逻辑，充分必要条件，复数的引入，三视图，已经各种视图，数列，程序框图，函数图像及性质等 （ 2）中档题 统计概率，三角函数，不等式与线性规划，直线与圆的位置关系，立体几何中的点，线，面的关系等。 （ 3）爬坡题 利用导数研究函数，圆锥曲线，以及函数综合问题 . 2. 本押题卷严格按照新课标要求的高考考点和题量、分值 出题，严格遵照新考纲要求，体现考纲遍变化，注重双基考查，体现数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，部分题目为原创试题 . 1 已知集合， | 1B x x，则 “ 且 ” 成立的充要条件是（ ） A. 11x B. 1x C. 1x D. 11x 【解析】 由已知条件 ,可以得到 “ 且 ” 的等价条件，也就是充要条件 . 【解答】 若满足 ，则 1x ，若 ，则 1x ，所以满足题意的 x 的范围是11x 且 ” 的等价条件 选项 . 【说明】本题考查集合和运算与充要条件 . 2 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 1 i 1 ，则 z 的共轭复数是（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 【 解析 】 由条件 1 i 1 ，根据复数的运算，可以得到复数 z，进一步得到其共轭复数 . 【 解答 】 由题意得， 1111 iz i i z ， 则 z 的共轭复数是 i ，故选 D. 【说明】 本题考查复数的运算 . 3 在等差数列 1 3 5 8 1 02 3 3 6a a a a a ，则6a（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【 解析 】 根据等差数列的基本性质， 从而得到 6，进一步得， 2，于是得到 . 【 解答 】 由等差数列的性质可知： 1 3 5 8 1 0 3 9 3 9 6 6 62 3 2 3 3 2 6 6 2 1 2 3 6 , 3a a a a a a a a a a a a . 本题选择 【说明】本题考查等差数列的基本性质 . 4 假设 小明订了一份报纸，送报人可能在早上 6： 30 7： 30 之间把报纸送到，小明离家的时间在早上 7： 00 8： 00之间，则他在离开家之前能拿到报纸的概率（） A. 13B. 18C. 23D. 78【解析】 将送报人到达的时间与小明离家的时间作为点的坐标，该坐标（ x， y）充满一个区域，而满足条件“ 小明 在离开家之前能拿到 报纸 ”的点（ x， y）则在另一个区域，根据几何概型得到概率 . 【 解答 】 设送报人到达的时间为 x，小明离家的时间为 y，记小明离家前能拿到报纸为事件A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明离家时间，建立平面直角坐标系，小明离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明在离开家前能得到报纸，即事件 以 11111 72221 1 8 故选 C 【说明】 此题为几何概型，将送报人时间和 小明离家时间建立直角坐标系，分析可得试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得时间 后由几何概型的公式即可解得答案 5 已知圆 22:1C x y，点 P 为直线 142上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线, , ,B A B 为切点 ，则直线 过定点 .（ ） A. 11,24B. 11,42C. 3 ,04D. 30,4【 解析 】 对于点，根据题意得到四点共圆，从而 以 直径的圆的方程为 2 22 22224m y m ，将该圆与 圆 22:1C x y联立，两式相减得到相交弦所在直线方程 . 【解 答 】 设 4 2 , , ,P m m P A P B 是圆 C 的切线， ,C A P A C B P B A B 是圆 C 与以 直 径 的 两 圆 的 公 共 弦 ， 可 得 以 直 径 的 圆 的 方 程 为 2 22 22224m y m ， 又 221 ， - 得 : 2 2 1A B m x m y ，可得 11,42满足上式，即 定点 11,42，故选 B. 【说明】本题考查直线与圆的位置关系，如直线与圆相切，以及两个圆相交的相交弦方程 . 6 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 144 【 解析 】 根据三视图恢复几何体的原貌，即可得到几何体的体积 . 【解 答 】 由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图： 其中 ， ， ， 平面 ， 几 何 体 的 体 积1 2 6 6 6 4 832V C. 【说明】本题考查三视图以及几何体的体积 . 7 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【 解析 】 本题可以充分利用选项的渐近线以及函数在一定的区域上的符号即可以判断，如：当 当时，恒有 ,故排除选项 【解 答 】 因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除 C；当时，恒有，故排除 D；时，故可排除 B；故选 A. 【说明】本题考查函数的图像 . 8 设 1, 0a b c ，给出下列四个结论： 1 ； ； l o g l o c b c ； b c a . 其中所有的正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【 解析 】 根据不同的比较，构造相关的函数，如需判断“ ”的真假，可以构造函数，需判断“ l o g l o c b c ”的真假，可以构 造函数 . 【解 答 】 因为 1, 0a b c ，所以 为增函数，故 0=1，故错误 函数 为减函数，故 ，所以正确 函数 增函数，故 a c b c ，故 l o g ( ) l o g ( )c b c ，故正确 函数 为增函数， a c b c ，故 b c a ，故错误 【说明】本题考查 幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及相关图像性质 9 当 4n 时，执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 30 【 解析 】 逐步执行框图中的循环体，直到跳出循环体，可以得到 . 【解 答 】 第一次循环， 2, 2，第二次循环， 6, 3，第三次循环， 14, 4，第四次循环， 30, 5， 54 结束循环，输出 30s ，故选 D 【说明】本题考查程序框 图 . 10 已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的左、右两个焦点分别为12,线段12 ，若122M F M F b，该双曲线的离心率为 e ，则 2e （ ） A. 2 B. 212C. 3 2 22D. 512 【解析】 由已知条件求出圆的方程和直线方程 ,联立求出在第一象限的交点 由两点间距离公式 ,求出离心率的平方 . 涉及的公式有双曲线中 2 2 2 , cb c a ,两点间距离公式 , 求根公式等 . 【解 答 】 以线段12 2 2x y c ,双曲线经过第一象限的渐近线方程为 联立方程 2 2 2x y ,求得 ,M ,因为122M F M F b,所以有 2222 2a c b a c b b 又 2 2 2 , cb c a ,平方化简得 4210 ,由求根公式有 2 512e (负值舍去 ). 【说明】 本题主要 以 双曲线的离心率 为载体设问，考查双曲线的定义以及双曲线与直线的位置关系 . 11 把平面图形 M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形 M 叫做图形 M 在这个平面上的射影，如图，在长方体 中， 5， 4， 3，则 在平面 的射影的面积是（ ） A. 2 34 B. 252C. 10 D. 30 【 解析 】 解决本题的关键找到点 D 在平面 的射影在面 面 交线上，进而利用三角形 “ 等底同高 ” 即等面积法可解决问题 . 【解 答 】 在长方体 中， 5， 4， 3， 223 4 5 ，223 5 3 4 ， 225 4 4 1 ，由题意可知点 D 在平面 的射影在面 面 交线上，则 在平面 的射影与 等底同高，故其面积为 1 2 3 42S B C E B ，故选 A. 【说明】 本题主要考查了图形 M 在图形 M 在这个平面上的射影的概念，本质为线面垂直判定的延伸，考查了学生理解转化问题和空间想象的能力 . 12 函数 ( 0 )0ln x 与 1 12g x x a 的图象上存在关于 y 轴对称的点 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A. , 3 2 B. 3 2, C. ,e D. , e 【 解析 】 首先转化题意， 要使函数与 1 12g x x a 的图象上存在关于 y 轴对称的点，只需 y 轴的对称的函数 1 12h x x a 图象与 y f x 的图象有交点 ，从而利用数形结合即可得到本题的答案 . 【解 答 】 要使函数与 1 12g x x a 的图象上存在关于 y 轴对称的点，只需 y 轴的对 称 的 函 数 1 12h x x a 图象与 y f x 的 图 象 有 交 点 即 可 ， 即 设 1 12y x a 与 相切时，切点为 00, 0011,22 ，又点 2,1,2a两点连 线斜率 1l n 2 12 . 3 2 l n 222 ，由图知 a 的取值范围是 3 2, 时，函数 1 12h x x a 图象与 y f x 的图象有交点，即 a 范围是 3 2, 时，函数 ( 0 )0ln x 与 1 12g x x a 的图象上存在关于 y 轴对称的点，故选 B. 【说明】 本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想 于难题 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） . 1. 在 填空 题中常考查的知识点 （ 1）基础题 二项式定理，平面向量 . （ 2）中档题 不等式，线性规划 . （ 3）爬坡题 立体几何，推理与论证 . 2. 本押题卷严格按照新课标要求的高考考点和题量、分值 出题，严格遵照新考纲要求，体现考纲遍变化，注重双 基考查，体现数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，部分题目为原创试题 . 13 在数列中，则 _ 【 解析 】 由等比数列定义可得数列的首项和公比 ,进一步得到 【 解 答 】 由题意得 数列 为公比为 3的等比数列 ,因此 从而正确答案为 54. 14 已知向量 a 是单位向量，向量 2, 2 3b 若 2a a b，则 a ， b 的夹角为_ 【 解析 】 由向量的垂直以及向量的数量积，体现条件， 12c o s , ,23a b a b . 【解 答 】 22 2 22 2 0 2 0 2 1 1 2 2 3 c o s , 0a a b a a b a a b a b 12c o s , ,23a b a b ,则 a ， b 的夹角为 23 . 15 二项式 2 的展开式中所有二项式系数和为 64，则展开式中的常数项为 160 ，则 a _ 【 解析 】 由 题 设 得 2 64n ，则 6n ， 进 一 步 得 到 常 数 项 的 表 达 式 ， 即 3 6 3 362 1 6 0 ， 也即 3 11 . 【解 答 】 由 题设 可得 2 64n ，则 6n ；由于展开式中的通项公式是 1166 6 3221 6 622r r r x a x a C x ，令 30 可得 3r ， 由 题 意 3 6 3 362 1 6 0 ，即 336 20，也即 3 11 ，应填答案 1 。 16 已知实数 ,134，则 231的取值范围是（ ） A. 2,113B . 3,11 C. 3,112D. 1,11 【 解析 】 根 据线性约束条件得到可行域，而 2123 其中 11表示两点 , 1, 1 所确定直线的斜率 . 【解 答 】 2123 其中 11表示两点 , 1, 1 所确定直线的 斜率，由图知，m i n m a 1 1 4, 5 ,1 3 4 1 0P B P Ak k k k 所以 11的取值范围是1 2 3, 5 ,41 的取值范围是 3,11 选 C. 【说明】本题考查线性规划，以及直线的斜率的几何意义 . 三、解答题（本大题共 5小题，共 60分 明过程或演算步骤 .） 1. 在 填空 题中常考查的知识点 （ 1）基础题 三角函数，二选一的选做题 . （ 2）中档题 统计概率，立体几何 （ 3）爬坡题 圆锥曲线，导数综合 . 2. 本押题卷严格按照新课标要求的高考考点和题量、分值出题，严格遵照新考纲要求，体现考纲遍变化，注重双基考查，体现数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，部分题目为原创试题 . 17 已知 2 , 2 s co sx x ， s i n , c o x x ， 函数 c o s ,f x a b . （ ）求函数 （ ）若 三内角 A 、 B 、 C 的 对边分别是 a 、 b 、 c ，且 1,求 取值范 围 . 【解析】 （ I）利用向量夹角公式，代入已知，化简后可得 s i n 26f x x6 ，由此解得 2 1 2kx k Z .（ （ 1）可得 s i n 2 16f A A ，由 此 求 得 3A. 利 用 正 弦 定 理 ， 将 化 为2 s i n s i ns i n s i n 3 2 s i ns i n s i n 6 ，根据 203B可求得取值范围为 1,2 . 【解答】 （ ）由条件可知 : 2 c o s s i n 2 s i n c o b x x x x 2 c o s s i n c o s c o s s i n 2 s i n c o s c o s s i n s i 6 6x x x x x x 223 s i n c o s c o s 3 s i n c o s s i nx x x x x x 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n 2 6x x x 2 s i n 2 6c o s , s i n 226x a b 所以函数 s i n 2 06x ,得2 12, （ ）由正弦定理得 s i n s i ns i nb c B 由（ ） s i n 26f x x ，而 2，得 s i n 2 16A 2 2 ,62A k k Z ，又 0,A ，得3A A B C 23 代入上式化简得： 2 33s i n s i n 3 s i ns i n c o s i ns i n s i n s i n 6B B A A 又在 中，有 203B ， 56 6 6B ，则有 1 s i n 126B 即： 12. 【说明】本题考查向量的运算，以及利用正弦定理解三角形 . 18 如图，四棱锥 P 中，底面 矩形，面 底面 且 边长为 2 的等边三角形， 1 3 , 在 ，且 （ 1）求证 :M 是 中点； （ 2）在 是否存在点 F ，使二面角 F 为 直角？若存在，求出 不存在，说明理由 . 【解析】 (1)连 E 可得 E 是 点，再根据 得 ,E 进而根据中位线定理可得结果； (2)取 点 O ，由（ 1）知 ,E 两垂直 . 以 O 为原点， ,E 在直线分别为 x 轴 ,y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，求出面 一个法向量 n ，用 表示面 一个法向量 m ，由 0可得结果 . 【解答】 (1)证明：连 E ，连 矩形， E 是 点 且 面 面 交线， ,P A M E M是 中点 . (2)取 点 O ，由（ 1）知 ,E 两垂直 . 以 O 为原点， ,E 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 （ 如 图 ）， 则 各 点 坐 标 为 1 3 31 , 0 , 0 , 1 , 3 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 3 , 0 , 0 , 0 , 3 , , ,2 2 2A B D C P M . 设存在 F 满足要求，且 ，则由 P 得： 1 , 0 , 3F ，面 一个法向量为 231, ,33n，面 一个法向量为 221 , ,3 3m，由 0，得 421093 ，解得 38， 故存在 F ，使二面角 F 为直角，此时 38 【说明】本题考查立体几何中线面的综合关系，以及二面角的求法 . 19 某品牌汽车的 4S 店，对最近 100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表 所示 期付款的频率为 店经销一辆该品牌汽车，若顾客分 3期付款，其利润为 1万元；分 6期或 9期付款，其利润为 2万元；分 12 期付款，其利润为 3万元 . 付款方式 分 3期 分 6期 分 9期 分 12期 频数 20 20 a b （ 1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取 3为顾客，求事件 A ： “ 至多有 1位采用分 6期付款 “ 的概率 （ 2）按分层抽样方式从这 100 为顾客中抽取 5 人，再从抽取的 5 人中随机抽取 3人，记该店在这 3 人身上赚取的总利润为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 E . 【解析】 （ 1）依据题设运用二项分布公式求解；（ 2）借助题设求出随机变量的分布列，再依据数学期望公式 【解答】 （ 1）由题意， 1 0 0 0 0a ， 1 0 0 2 0 2 0 4 0 2 0b ， 则表中分 6期付款购车的顾客频率 15p， 所以 3231 11211 125P A p C p . （ 2）按分层抽样的 方式抽取的 5人中，有 1位分 3期付款，有 3位分 6期或 9期付款，有 1位分 12期付款 . 随机变量 可能取的值是 5， 6， 7， 则 1 1 3 253 3510 ， 1 1 3 253 3710， 46 1 5 7 10P P P ， 所以随机变量 的分布列为 5 6 7 p 5 0 . 3 6 0 . 4 7 0 . 3 6E （万元）即为所求 . 【说明】本题考查事件的独立性，抽样方法以及随机变量的分布列与期望 . 20 已知12椭圆 221的左、右焦点， O 为坐标原点，点 212P，在椭圆上，线段2y 轴的交点 M 满足2 0 M （ ）求椭圆的标准方程； （ ）圆 O 是以12直线 :l y kx m与圆 O 相切，并与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，当 B ，且满足 2334时，求 面积 S 的取值范围 【解析】 （ ）先利用平面向量共线得到 M 是线段2利用三角形的中位线和待定系数法进行 求解；（ ）先利用直线与圆相切得到 221，再联立直线和椭圆的方程，得到关于 x 的一元二次方程，再利用平面向量的数量积和判别式为正、三角形的面积公式得到有关表达式，再利用函数的单调性进行求解 . 【解答】 （ ）因为2 0 M，所以 M 是线段2以 1212 F ，所以1 1 2 F,所以 1c ，又因为222 2 2111 2b c1 2 1 2 222 2 2111, . 12 F F P F P b c ， 解得 2 2 22 , 1 , 1a b c ，所以椭圆的标准方程为 2 2 12x y. （ ）因为直线 :l y kx m与 O 相切，所以2 11，即 221 联立 2 2 1 2x yy kx m得 2 2 21 2 4 2 2 0k x k m x m . 设 1 1 2 2A x y B x y， ， ，因为直线 l 与椭圆交于不同的两 点 A 、 B ， 所以 21 2 1 2224 2 20 1 2 1 2k m mx x x ， ， 221 2 1 2 2212y k x m k x m k ， 21 2 1 2 2112 O B x x y y k ，又因为 2334 ，所以 222 1 33 1 2 4 解得 21 12 k. 42212 42211 1122 41 B k x ， 设 42u k k，则 3 2 22 14 4 14 ，单调递增， 所以 3 24S S S，即 6243S【说明】本题考查直线与椭圆的位置关系 . 21 已知函数 x e x . （ 1）求函数 （ 2）如果对于任意的 0,2x ， f x 恒成立，求实数 k 的取值范围； （ 3）设函数 c o x f x e x， 2 0 1 5 2 0 1 7,22x ，过点 1 ,02M 作函数 各切点的横坐标按从小到大构成数列 数列 【 解析 】 （ 1）求出导数，然后根据导数大于零和小于零求出对应的单调区间，（ 2）构造辅助函数 g x f x ，将问题转化为求此函数的最小值问题，然后根据 3）把 ()析式代入 ()出其导数，设出切点，求出切点的坐标，写出切线方程，得到关于切点横坐标的三角方程，利用函数图像分析得到切点的横坐标的对称性， 最后结合给出的范围得到 【解析】 s i n c o x e x x 2 s i 的 增 区 间 为 32 , 244k k k Z ；减区间为 372 , 244k k k Z . 令 g x f x x 要使 f x 恒成立，只需当 0,2x 时， s i n c o x e x x k 令 s i n c o x e x x，则 2 c o s 0xh x e x 对 0,2x 恒成立 在 0,2x 上是增函数，则 21,h x e 当 1k 时， 0 恒成立， ,2x 上为增函数 m i n 00g x g ， 1k满足题意； 当 21 时， 0 在 0,2x 上有实根0x, ,2x 上是增函数 则当 00,， 0 ， 0 00g x g 不符合题意； 当 2 时， 0 恒成立， ,2x 上为减函数， 00g x g 不符合题意 1k，即 ,1k . c o x f x e x co x x 2 c o x e x 设切点坐标为 00 0 0, s i n c o e x x，则切线斜 率为 0002 c o x e x 从而切线方程为 0 00s i n c o e x x 0 002 c o x x x 0 00s i n c o x x 0 0012 c o s 2xe x x 00t a n 2 2 令1 2 2 2，这两个函数的图象均关于点 ,02对称，则它们交点的横坐标也关于2x 对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列 成对出现，又在 2 0 1 5 2 0 1 7,22共有 1008对，每 对和为 . 100