力学第二版课后答案漆安慎高等教育出版社

目 录 第 01 章 物理学、力学、数学 0 1 第 02 章 质点运动学 0 5 第 03 章 动量定理及其守恒定律 15 第 04 章 动能和势能 2 8 第 05 章 角动量及其规律 3 8 第 06 章 万有引力定律 4 2 第 07 章 刚体力学 4 5 第 08 章 弹性体的应力和应变 5 6 第 09 章 振动 6 0 第 10 章 波动 6 8 第 11 章 流体力学 7 5 力学习题剖析 吉林师范大学物 理学院 祝风 编写 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 1 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解 答 1 求下列函数的导数 1043 2 += xxy 100c os8s i n7/1 += xxxy )/ ()( bxabaxy += 21s i n xy += xey s i n= xey x 100+= xx x eey xey xxx xxxy bxabay xxxxy xy =+= = += += += += = 100100)1( c os 1/1c os 2)1()1c os ( )/ ()( s i n8c os7)2/ (1 46 s i n 22 2/12 21 2/12 222 解： 2 已知某地段地形的 海拔高 度 h 因水平坐标 x 而变， h = 1 0 0- 0 . 0 00 1x 2 ( 1- 0. 0 0 5 x 2 ) ， 度量 x 和 h 的单位为米。问何处的高度将取极大值 和极小值，在这些地方的高度为多少？ 解 ： 先 求出 h ( x ) 对 x 的一阶导数和二阶导数： 426436 43647242 102106)102102( 102102)1051010( 2 2 = =+= xxx xxxx d xdd x hd d xdd xd h 令 d h / dx = 0 ，解 得 在 x = 0, 10, - 10 处 可 能 有 极 值 。 d 2 h / dx 2 | x= 0 0, x = 10 是极 小 值 点 ， h( 1 0) = 9 9. 00 05 米；显然， x = - 10 亦是极小值点， h ( - 10 ) = h ( 10 ) . 3 求下列不定积分 + dxxdxxx x )2()13( 23 + + + + dxx dx dxx ex dxx dxe dxbaxdx dxxxdxe x x x ba x d xx x x xx x x l n2 2 2 1 13 )12(c os)11( c oss i n )s i n( )c os( s i n)2( 2 2 2 解： += +=+= += += +=+= += +=+=+ += += += +=+ +=+=+ +=+=+ + + + + cxxx ddx cxxdxxx dx cexdedxx e cxxx dx dxx cbaxbaxdbax cexdedxe cbaxbaxdbaxdxbax car c t gxxdxdxdx cxxx dxx dxdxxx cex dxxdxedxe cxdxxdxdxx cxxxdxx dxdxxdxxx x x xxx aaba xd x xxx aa x d x x x x x x x x xd xxx x x x x 2 21l n 412121 2 21 2 21 3 31 22 22/11 2 21 2 21 2 11 11 11 1 2 2/313 3 312l n2 2x2 2 2 34 4 133 )( l n)( l nl n)12( 2s i n)2c os1(c os)11( )( s i n)( s i ns i nc oss i n )()( )2( )c os ()()s i n()s i n( s i nc osc oss i n)c os( s i n 2l n3 23)2( 2)2( 3)13( 222 22 2 2 2 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 2 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解 答 4. 求下列定积分 41 2 83 2/ 0 2/ 02 12/ 0 2 1 0 1 0 1 1 4 3 21 4/ 6/ 4/ 6/2121 4/ 6/ 22 1 2 1 1 1 1 2 211 l n1 3 2/1 2/1 2/1 2/1 1 1 0 5 51 1 0 5 51 41 0 4 353 24 2 1 2 132 2 1 2 1 2/12 1 2/ 0 21 0 1 14/ 6/ 2 1 1 1 l n12/1 2/1 1 1 0 42 1 )2c os1(3)s i n3( 454/| |2s i n)2(2c os2c os 2l n|)l n()( 5.1|)l n1()l n1()l n1( 60|a r c s i n )1(|)1()1()1()1( |)1 )s i n3(2c os)( )1()1 2 2 23 2 2 +=+=+ = = +=+=+ =+=+= = = = + + + + + dxxx dxdxxx ar c t gxdx xxx dx dx eexedxe xxdxdx x eeededxee xxdxdxxdxx dxxxdxx dxdxe dxdxeedxx x x x x e ee x x x d x xxxxx xx x e x xxd x xx （解： （ 示这些定积分。的函数图形上用面积表 并在以及、计算 xxf x dxx dxx dx s i n)( ,s i ns i ns i n.5 2/ 2/ 0 2/ 2/ 0 = 解： 1|c oss i n 20 2/ 0 = xx dx = 2/ 2/ 0 2/ 0s i n1s i n x dxx dx 6 计 算由 y = 3x 和 y = x 2 所围成的平面图形的面积。 解：如图所示， 令 3 x = x 2 , 得两 条 曲 线 交 点的 x 坐标： x = 0 , 3 . 面积 5.4|)( 3 3 0 3 3 12 2 3 3 0 3 0 2 = = xx dxxx dxA 7 求 曲线 y = x 2 + 2 , y = 2x , x = 0 和 x = 2 诸线所包围的面积。 解 ： 面积 A 3 8 2 0 23 31 2 0 2 0 2 |)2( 2)2( = += += xxx x dxdxx 8 一物 体沿直线运 动的速度为 v = v 0 + a t , v 0 和 a 为常量，求物体 在 t 1 至 t 2 时间内 的 位移。 解 ： 位移 S += 2 1 )( 0t t dtatv y - / 2 + - 0 / 2 x y 0 3 x y A 0 2 x v v 0 t t 1 t 2 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 3 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解 答 )()(|)( 2122211202210 21 ttattvattv t t +=+= 第 1 章物理学力学数学 矢量习题解答 4 第 1 章物理学力学数学 矢量习题解 答 1 2 3 4 5 6 7 略 8 二 矢 量如 图 所示 A = 4, B = 5, = 2 5 , = 3 6 . 8 7 , 直接根据 矢量标积 定义和正交分解法求 。BA 解：直接用矢量标积定义： 4)90c os ( =+= A BBA 用正交分解法： A x = 4c os = 3. 6 A y = 4s i n = 1. 7, B x = 5c os ( 9 0 + ) = - 5 s i n = - 3 , B y = 5s i n ( 90 + ) = 5c os = 4 447.1)3(6.3 =+=+= yyxx BABABA 9 的夹角。与求已知 B,22, AkjiBjiA +=+= 解：由标积定义 ，而A BBABABAA BBA = ),c os (),c os ( = =+=+= 135),),c os ( 3,32)2(1,21)1( 2 2 23 3 22222 BABA BABA 两矢量夹角（ 10 已 BAkjiBAkjiBA 与求，知 ,4453 +=+=+ 的夹角。 解：将已知两式相 加，可求得 ；再将已知两式相jiA 5.05.3 += 减，可求得 ，5.35.05.3.5.45.0 22 +=+= AkjiB +=+= )5.0(5.3,64.4)1(5.4)5.0( 222 BAB y B A 0 x 0 . 5 4. 5 = 0. 5 。 = 24.88),(,0308.0),c os ( BABA A BBA 夹角 11 已知 .,0 ACCBBACBA =+ 求证 证 明 ： 用 已 知 等 式 分 别 叉 乘 0=+ ACABAACBA 有, 其 中 ，.0,0 =+=+ CCCBCABCBBBA ACCBBACCBBAA = 均为零，, 1 2 计 算以 P ( 3 , 0, 8 ) 、 Q ( 5 , 10 , 7) 、 R ( 0 , 2, - 1 ) 为顶点的三角形的面积 。 解：据矢积定义， P R Q 的面积 =O PO RP RP QP RA = | ,|21 =+ O PO QP Qkji ,923 .kji 102 + kji kji P QP R 342188 1102 923 = = 3.48,6.96342188| 2 6.9 6222 =+= AP R QP QP R 面积 13 化简下面诸式 y R ( 0 , 2, - 1 ) Q ( 5, 1 0, 7 ) o x z P ( 3 , 0, 8 ) 第 1 章物理学力学数学 矢量习题解答 5 第 1 章物理学力学数学 矢量习题解 答 解： BCBAABACCCBA + )()()( 0=+= BCBAABACCBCA )()()( kjikkijkji + ikijikjk 22 =+= )()()()2( BACBACBA + CA BCACABABCBCA BACBABACBACA = += += 2 )()()()(2 1 4 计算下面诸式 解： )()()( ikjjikkji + 3 =+= jjkkii 0)()( = AABABA 1 5 求证： )() ) ()( CBABCABA =+ 证明： ) ) ()( BCABA + j i k j i k )()( )()()()( )()()()( )()( CBABCA BBCBBABCAAAB BCBBABBCABAA BCBABBCBAA = += += += 1 6 .,)21( 222 d t Add tAdt kjeitA ，求已知 += 解： jeitkjeit ttd tdd tAd 4)21 ( 2 =+= jeijeit ttdtddt Ad 4)4(22 += 1 7 已知 ，jtitBktjttieA t 34,)4(3 23 +=+= )( BAdtd 求 解： zzyyxx BABABABA += 242 32 31212 )4(343 ttet tttte t t += = )31212()( 242 ttetBA td tdd td += ttett t 648)2(12 32 += 第 2 章质点运动学习题解答 5 第 2 章质点运动学习题解答 第二章基本知识小结 基本概念 2 2)( dt rd dt vda dt rdvtrr = )()()( tatvtr （向右箭头表示求导运算，向左箭头表示 积分运算，积分运 算需初 始条件： ）000 , vvrrtt = 直角坐标系 与 x , y, z, 222 zyxrkzjyixr +=+= r 轴夹角的余弦分别为 .rzryrx /,/,/ 与 x, y , z 轴夹vvvvvkvjvivv zyxzyx , 222 +=+= 角的余弦分别为 .vvvvvv zyx /,/,/ 与 x, y , z 轴 夹aaaaakajaiaa zyxzyx , 222 +=+= 角的余弦分别为 ./,/,/ aaaaaa zyx 2 2 2 2 2 2 , , dt zd dt dva dt yd dt dva dt xd dt dva dt dzv dt dyv dt dxv zzyyxx zyx = = ),(),(),( zyxzyx aaavvvzyx 自然坐标系 |,) ;( vvdtdsvvvsrr = y y V o x o x z z 2 2 222 , va dt sd dt dvaaaanaaa nnn =+=+= )()()( tatvts 极坐标系 22, vvvvrvvrrr rr +=+= dt drv dt drv r = , 相对运动 对于两个相对平动的参考系 （时空变换）,0 ttrrr =+= （速度变换）0 vvv += （加速度变换）0 aaa += 若两个参考系相对做匀速直线运动，则为 伽利略变换，在图示 情况下，则有： zzyyxx zzyyxx aaaaaa vvvvVvv ttzzyyV txx = = = , , , 第 2 章质点运动学习题解答 6 第 2 章质点运动学习题解答 2. 1. 1 质点运动学方程为： jitr 5)23( += , 求质点轨迹并用图表示 .jtitr )14()32( += 解： 轨迹方程为 的直线 .,5,23 =+= ytx 5=y ，消去参数 t 得轨迹方程14,32 = tytx 0534 =+ yx 2. 1. 2 质点运动 学方 程为 . 求质点轨 迹；kjeier tt 2 22 += 求自 t = - 1 到 t = 1 质点的位移。 解： 由运动学方程可知： ， 所1,2, 22 = x yzeyex tt 以，质点是在 z = 2 平面内的第一像限的一条双曲线上运动。 jeeieerrr )()()1()1( 2222 += 。所以，位移大小：ji 2537.72537.7 += = = = =+=+= 900a r c c os|a r c c osz 45)2 2a r c c os (|a r c c osy 135)2 2a r c c os (|a r c c osx ,22537.72537.7)2537.7()()(| 2222 r z r y r x yxr 轴夹角与 轴夹角与 轴夹角与 2. 1. 3 质点运动 学方 程为 . 求质点轨 迹；jtitr )32(4 2 += 求质点自 t = 0 至 t = 1 的位移 . 解： ，消去参数 t 得：32,4 2 += tytx 2)3( = yx jijjirrr 24354)0()1( +=+= 2. 2. 1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为 = 7.33,4100 11 mR 0. 75s 后测 得 ， R 1 , R 2= 3.29,4240 22 mR 均在铅直面内，求 飞机瞬时速率的近似值和飞 行 方向（ 角） 解： ，在图示的 矢量tRt RRvv = 12 三角形中，应用余弦定理，可求得： m RRRRR 58.349 4.4c os42004100242404100 )c os (2 22 2121 2 2 2 1 = += += smtRvv /8.46575.0/58.349/ = 据正弦定理： )180s i n(/)s i n(/ 1221 = RR = = 89.34,41.111180,931.0 58.349/4.4s i n4240/)s i n()180s i n( 1 2121 RR x y 5 x y5/ 3 5/ 4 R 1R 1 R 2 R 1 2 第 2 章质点运动学习题解答 7 第 2 章质点运动学习题解答 2. 2. 2 一圆柱体沿抛物线轨道运动， 抛 物线轨 道 为 y = x 2 / 200 ( 长度：毫米 ) 。第一次观察到圆柱 体 在 x = 249m m 处， 经 过 时 间 2 m s 后， 圆 柱 体 移 到 x = 234m m 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。 解：由于 t 很小，所以， ，trvv = 其 中 ， 15249234,2 12 =+= xxxjyixrm st 2.36200/)249234(200/)( 22212212 = xxyyy 。其大小jijtyitxv 1.185.7)/()/( =+ ；与 x 轴夹角m sm mv /6.19)1.18()5.7(| 22 =+= = 5.112)38265.0a r c c os (6.19 5.7a r c c osa r c c os vv x 2. 2. 3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m ；另一人在 广 州听同一演奏 的转 播，广 州离 北 京 2320km ，收听者离收 音 机 2m ， 问谁先听到声音？声速为 340m / s ，电 磁波传播的速率为 3. 0 10 8 m / s . 解：声音传播情况如图所示， 北京人听到演奏声音所需时间： st 05.0340/171 = 广州人听到演奏声音所需时间： st 0136.03402100.3 102320 8 32 + = 2. 2. 5 火车进入弯道时减速，最 初列车向正北以 90km / h 速率行 驶 ， 3m i n 后以 70km / h 速率向北偏西 30 方 向行驶，求列车的平均加速度。 解： tvt vva = 12 对矢量三角形应用余弦定理： smhk m vvvvv /69.12/69.45 37090709030c os2 22212221 = +=+= ， 由 正 弦 定 理 ：2/07.0603 69.12 smtva = = 30s i ns i n 2 vv = 50,766.069.45/5.070/30s i ns i n 2 vv 2. 2. 6 ， R 为正常数，求 t = 0, / 2ktjtRitRr 2s i nc os += 时的速度和加速度。 ，求 t = 0, 1 时的速 度ktjtitr 65.43 32 += 和加速度（写出正交分解式）。 解： kjtRitRdtrdv 2c oss i n/ += y x0 x 1 x 2 17m 340m / s 2320km , 3 10 8 m / s 340m / s 2m v 230 v 1 = 90km / h v 2 = 70km / h v 西 北 第 2 章质点运动学习题解答 8 第 2 章质点运动学习题解答 jRakiRv iRakjRvjtRitRdtvda tt tt |,2| ,|,2|.s i nc os/ 2/2/ 00 =+= =+= = = ；ktjdtvdaktjtidtrdv 369/,1893/ 2 +=+= kjakjivjaiv tttt 369|,1893|,9|,3| 1100 +=+= = 2. 3. 1 图中 a 、 b 和 c 表示 质 点沿直线运动 三种 不同情 况下 的 x- t 图像， 试 说明每种运动 的 特点（即速度 ，计 时起点 时质 点的位置坐标 ，质 点位于 坐标 原点的时刻） 解：质点直线运动的速度 ，在 x- t 图像中为 曲d td xv /= 线斜率。 由于三种图像都是直线， 因此三种运动都是匀速直线运动 ， 设直线与 x 轴正向夹角为 ，则速度 txt gv = / 对于 a 种运动： st gtmxsmt gv xt 55.113020|,20|,/3120 00 = = 对于 b 种运动： st gtmxm st gv xt 32.1730/10|,10|,3/330 001 = = 对于 c 种运动： mt gxstm st gv tx 254525|,25|,145 001 = = 2. 3. 2 质点直线运动的运动学方程为 x = ac os t , a 为 正 常 数 ， 求质 点 速度和加速度，并讨论运动特点（有无周 期性，运动范围， 速度变 化情况等） 解 ： tadtdvatadtdxvtax xxx c os/,s i n/,c os = 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围： aaaavaaxa xx , 2. 3. 3 跳伞运动员的速度为 ， v 铅直向下， , q 为q t q t e ev + = 1 1 正常量， 求其加速度，讨论时间足够长时 （即 t ） 速度、加速 度 的变化趋势。 解： 22 )1( 2 )1( ) (1()1( )11( q t q t q t q tq t tq tq t q t q t e qe e qeeqee e e dt d dt dva +=+ += + = 因为 v 0 ， a 0 ，所以， 跳伞员做加速直线运动，但当 t 时 ， v ， a 0 ，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。 2. 3. 4 直线运行的高速 列车在电 子计算机控制下减速进站。 列 车原 运 行速率为 v 0 = 180k m / h ， 其 速率变化 规 律如图所示。 求 列车行至 x = 1. 5k m 时 的加速度。 v( km / h) v= v 0 c os x/ 5 x( km )1.5 v 0 10 20 30 10 20 30 45 120 -10 -20 0 x( m ) t ( s ) a b c 第 2 章质点运动学习题解答 9 第 2 章质点运动学习题解答 解： .s i n/) ,5/c os ( 5050 xvdxdvxvv = ，将 v 0 = 180k m / h, x = 1. 5k m 代入d xd vd td xd xd v va = xv 52201 01 s i n= 222 101 /75.0/9676108s i n18014.3 smhk ma = 2. 3. 5 在水平桌面上放置 A 、 B 两 物体，用一根不可伸长的绳索按图示 的装置把它们连接起来， C 点与桌面 固定， 已 知物体 A 的加速度 a A = 0. 5g ， 求物体 B 的加速度。 解：设整个绳长为 L ，取图示坐标 o- x ，则 3x A + ( - 4x B ) = L 对时间求两次导数， 3 a A = 4 a B ，所以 a B = 3 a A / 4= 3 0. 5g/ 4 = 3g/ 8 2. 3. 6 质点沿直线的运动学方程为 x= 10t + 3t 2 . 将坐标原点沿 o - x 正方向移动 2m ，运动学方程如何？初速度有无变化？ 将计时起 点前移 1s ，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？ 加速度变不变？ 解： x= 10t + 3t 2 ， v= dx/ dt = 10+ 6t ， a = dv/ dt = 6 ， t = 0 时， x= 0, v= 10 将坐标原点向 x 轴正向移动 2m ，即令 x = x- 2 ， x= x + 2 ，则运 动学方程为： x = 1 0t + 3t 2 - 2 ， v = dx / dt = 10+ 6t ， v = v 将计时起点前移 1s ，即令 t = t + 1 ， t = t - 1 ，则运动学方程变为 ： x = 10( t - 1) + 3( t - 1) 2 = 10t 10 + 3t 2 - 6t + 3 = 4t + 3t 2 7 v = dx/ dt = 4+ 6t ， t = 0 时， x= - 7 ， v = 4 ，加速度 a 不变。 2. 4. 1 质点从坐标原点出发时开始计时， 沿 x 轴运动，其 加速度 a x = 2t ( c m s -2 ) ，求在下列两种情况下质点的运动学方程 ，出发 后 6s 时 质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。 初速度 v 0 = 0 ； 初 速度 v 0 的大小为 9c m / s ，方向与加速度方向相反。 解： 20 0 ,2,2 0 tvvt dtdvt dtdtadv xtv v xxx x += 3 3100 2 0 0 0 2 0 ,)( ttvxdttdtvdxdttvdtvdx ttx x +=+=+= c mxtxtvv x 726)6(;,0 23133120 = 时， c mxSmxxx 7272)0()6( = 路程 ttxtvv x 9,99 33120 = 时， c mxxx 18)0()6( = 令 v x = 0 ， 由 速度表达式可求出对应时刻 t = 3 ， 由于 3 秒前质点 沿 x 轴反向运动， 3 秒后质点沿 x 轴正向运动，所以路程： c m xxxxxxS 543618)393(218 )3(2)6(|)3()6(|)0()3(| 3 3 1 =+= =+= 2. 4. 2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为： v x = - 3 s i nt ，求 t 1 = 3 至 t 2 = 5 时间内的位移。 解： = 5 3 s i n3,s i n3 5 3 t dtdxt dtdtvdx x x x mxxx 82.3)3c os5( c os335 = 2. 4. 3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为 a x = - A 2 c os t . 在 t = 0 时 ， v x = 0, x = A ， 其中 A , 均为正常数。 求 此 质 AB a A 0. 5g 0 x 第 2 章质点运动学习题解答 10 第 2 章质点运动学习题解答 点的运动学方程。 解： ，t dtAdvtAdtdva xxx c os,c os/ 22 = = tv tx tt dAt dtAdvx 00 02 )(c osc os tAxtAtAAx tt dAt dtAdx t dtAdxdtdxtAv t ttx A x c os) ,1( c os|c os )(s i ns i n s i n,/s i n 0 00 = = = 2. 4. 4 飞机着陆时为尽 快停止 采用降 落伞制 动，刚 着陆时 ， t = 0 时速度为 v 0 ， 且坐标 x= 0 ， 假设其加速度为 a x = - bv x 2 ， b= 常量， 求 飞机速度和坐标随时间的变化规律。 解 ： btvdtbdvvdtbvdtadv xx vvxtv v xxxxx = 0 0 |, 1 0 22 btv vv v btvbt vbtvv xxx v 000 000 1, 1,11,11 += += )1l n(1 ,1 )1(11,1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 btvbx btv btvd bbtv dtvdx btv dtvdtvdx ttx x += + += +=+= 2. 4. 5 在 195m 长的坡道上，一人骑自行车 以 18km / h 的速度和 - 20c m / s 2 的加 速 度 上 坡 ， 另 一 自 行 车 同 时 以 5. 4km / h 的初 速 度 和 0. 2m / s 2 的加速度下坡，问： 经多长时间两人相遇？ 两人相遇时 各走过多长的路程？ 解： 以 上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标 o- x ， 用 脚 标 1 表示上坡者，用脚标 2 表示下坡者。 两人的加速度实际上是相同的： 221 /2.0 smaa = smhk mvvsmhk mvv xxxxt /5.1/4.5,/5/18 195,00 2 021 01 2 021 01 = = 时，初始条件： 根据匀变速直线运动公式： 22 2212 02 22 1211 01 1.05.1195195 1.05 tttatvx tttatvx =+= =+= 令 x 1 = x 2 ，可求得相遇时间： 5t = 195- 1. 5t , t = 195/ 6. 5= 30s 对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单 方向直线运动，据 上坡者的速度表达式： v 1 = 5- 0. 2t ，令 v 1 = 0 ，求得对应时刻 t = 25s ， 所 以， 上 坡者在 25s 前是在上坡，但 25s 后却再下坡。 因 此， 上坡者 在 30s 内走过的路程： m xxxxxxS 65)301.0305()251.0255(2 )30()25(2|)25()30(|)0()25(| 22 1111111 = =+= 对于下坡者， 因为做单方向直线运动， 所以 30s 内走过的路程 ： mxxxxS 13560195)30()0(|)0()30(| 22222 = 2. 4. 6 站台上送行的人，在 火车开动时站在第一节车厢的最前面 ， 火车开动后经过 t = 24s ，火 车第一节车厢的末尾从此人的前面通过 ， x 0 195 a 1 a 2v 1 0 v 2 0 2 1 0 x 第 2 章质点运动学习题解答 11 第 2 章质点运动学习题解答 问第七节车厢驶过他面前需要多长时间 ? 火车做匀加速运动。 解：设每节车厢长 为 L ，以地为参考系，以人所在 点为原点建 立图示坐标 o- x ，以第一节车厢的前端点为研究对象， t = 0 时，前端 点的坐标 x= 0 ，速度 v= 0 ，据匀加速运动公式： ， 令 x= L ， 求 得 ： ， 221 atx = 22 242)( 2 Lt La = 22 24/L tx = 令 x= 6L ，可求得第 6 节车厢尾端通过人时所需时间 t 6 ： 624,246,24/6 62222 = tttL tL 令 x= 7L ，可求得第 7 节车厢尾端通过人时所需时间 t 7 ： 724,247,24/7 72222 = tttL tL 因此，第 7 节车厢通过人所需时间： sttt 71.4)67(2467 = 2. 4. 7 在同一铅直线上相 隔 h 的两点以同样速 率 v 0 上抛二石子，但在高处的石子早 t 0 秒被抛出，求此二 石 子何时何处相遇？ 解：以地 为 参考 系， 建 立图 示坐 标 o- y 。 据 题 意 ， 设 t = 0 时，上面石子坐 标 y 1 = h , 速度 v 1 = v 0 ； t = t 0 时，下 面石子坐标 y 2 = 0 ， v 2 = v 0 解法 1 ：根据匀变速直线运动的规律，可知 4121 2 )()(, )()( 2 02 0 22 0 00 0 2 02100 2 21021 2 021002 2 2101 gtgthgvhy t g v gt ht ttgttvgttvhyy ttgttvygttvhy += += =+= =+= 相遇时石子坐标 得，代入或中，可求求得相遇时间 有令 解法 2 ： 可 根据速度、 加 速度的导数定义和初始条件， 通 过积 分 得到 、 ，然后求解。 2. 4. 8 电梯以 1. 0m / s 的匀速率下降，小 孩在电梯中跳离地板 0. 5 0m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？ 解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖 直上抛运动，他从起 跳到再次落到地板所需时间，是他从最高 处自由下落到地板 所需时 间的 2 倍。由自由落体运动公式： ，可求得从最高出落到221 gth = 地板所需时间： ，所以小孩做shgt 32.05.0/8.92/2 = 竖直上抛所需时间为 0. 64s ，在此时间内电梯对地下落距离： L = 1. 0 0. 64 = 0. 64 m 2. 5. 1 质点在 o- xy 平面内运动 , 其加速度为 ，jtita s i nc os = 位置和速度的初始条件为： t = 0 时， ，求质点的运动学irjv , = 方程并画出轨迹。 解： y h 0 第 2 章质点运动学习题解答 12 第 2 章质点运动学习题解答 jtitjtitir t dtjt dtirddtjtitdtvrd jtitjtitjv t dtjt dtivddtjtitdtavd ttr i ttv j s i nc oss i n)1( c os c oss i n,)c oss i n( c oss i n)1( c oss i n s i nc os,)s i nc os( 00 00 +=+= +=+= +=+= = 1 s i n,c os 22 =+ = yx tytx 2. 5. 2 在同一竖直面内的同一水平线上 A 、 B 两点分别以 30 、 60 为发射角同时抛出两球， 欲 使两小球相遇时都在自己的轨道的最 高 点，求 A 、 B 两点间的距离。已知小球在 A 点的发射速度 v A = 9. 8 米 / 秒。 解：以 A 点为原点建立图示坐 标系，取 发射时 刻为计时 起点， 两点间距离为 S ，初始条件如图所示。 据斜抛规律有： gtvvgtvv Stvxtvx B OB yA OA y B OBA OA = += 60s i n30s i n 60c os30c os 满足题中条件，在最高点相遇，必有 v A y = v B y = 0, x A = x B mc t ggvS tvvS vvgvt A O B OA O A OB OA O 83.2)605.030( c os2, )60c os30c os( 60s i n/30s i n,/30s i n,0, 2 = = = 代入中得：把 ，得令 令 2. 5. 3 迫击炮的发射角为 60 发射速率 150m / s ， 炮弹 击 中 倾 角 为 Y v A O v B O 30 60 A S B x 30 的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹 着点到发射点的距离 O A . 解： 以发射点为原点， 建立图示坐标 o- x ， 斜抛物体的轨迹方 程 为 （ 见 教 材 ）： 2 22 0 c os2 xv gx t gy = 本题， = 60 ， v 0 = 150m / s ， A 点坐标 x A , y A 应满足轨迹方程， 所 以 ： 22 0 2 22 0 23 60c os260 AAAAA xv gxx v gt gxy = = 另外，根据图中几何关系，可知： O AO Ax A 2 330c os = ，代入 中，有：O AO Ay A 2130s i n = mgvO AO Av gO AO A 15318.93 150232,2 3 22022 0 2 3 2 1 = 2. 5. 4 轰炸机沿与铅直方 向成 53 俯冲时，在 763m 的高度投放炸弹，炸弹在离 开飞 机 5. 0s 时击中目标，不计空气阻力： 轰炸机的速率是多少？ 炸弹在飞 行中通过的水平距离是多少？ 炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水 平和铅直方向的分量是多少？ 解： 以投放点为原点， 建立图示坐标 o- xy , 设炸弹初速度（即轰炸机速 度） 为 v 0 . 由于炸 弹在飞行过程中的加速度 ，所以 炸 弹 在 xjga = 方向做匀速直线运动，在 y 方向做竖直下抛运 动，有 x y x y A 60 30 v 0 x y 0 v 053 第 2 章质点运动学习题解答 13 第 2 章质点运动学习题解答 2 2100 00 53c os53s i n 53c os53s i n gttvytvx gtvvvv yx += += 令 t = 5. 0s ， y= 763m ，由 可求得轰炸机的速率： smtgtyv /86.21256081.0 58.95.076353c os 5.0 220 = 将 v 0 代入 中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量： smv x /17053s i n86.212 = 令 t = 5 ，由 可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量： smv y /1.17758.953c os86.212 =+= 2. 5. 5 雷达监测员正在监视 一越来越 近的抛 射体，在 某一时刻， 他给出这样的信息： 抛射体达到最大高度且正以速 率 v 沿水平方 向运动； 观测员到抛射体的直线距离是 l ； 观测员观测抛体的 视 线与水平方向成 角。问： 抛射体命中点到观测者的距离 D 等于 多少？ 何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才 命中目标？何种 情况下抛体在未达到观察员 以前就 命中目标？ 解：以抛体所达 最大高 度处为 计时起点和坐标原点，建立 图示坐 标 o- xy ， 抛体以速度 v 做平抛运动 . 设命中时间为 t 1 ， 由 自由落体公式 ： gltgtl /s i n2,s i n 12121 = 命中点 x 坐标为： ， 由 图中几何关系 ，glvv tx /s i n211 = 观测者的 x 坐标： 。所以，观测者与命中点间的距离：c os2 lx = |/s i n2c os| 12 glvlxxD = 当 x 1 x 2 ，即 时，则抛体在飞越观察员后 s i n2c os l glv 才命中目标。 2. 6. 1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时 间范围内，其运动学方程为 S = 80t - t 2 （ m , s ） ， t = 0 时，列车在图中 O 点，此圆 弧形 轨道 的半 径 r = 1500m ，求列车 驶 过 O 点以后前 进 至 1200m 处的速率及加速度。 解： S = 80t - t 2 v= dS / dt = 8 0- 2t 令 S = 1200 ，由 可 求 得 对 应 时 间 ： ssttt 20,60,01200802 =+ 求得 将 t = 60 代入 中 ， v= - 40 ，不 合 题 意 ， 舍去；将 t = 20 代入 中， v= 40m / s ，此即列车前进到 1200m 处的速 率