加强高等数学 中的概念教学 师范学院高等数学教研部

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 加强高等数学中的概念教学 师范学 院高等数学教研部 加强高等数学中的概念教学 师范学院高等数学教研部 陈志惠 摘要:为了让大一新生尽快适应高等数 学的学习,本人认为加强高等数学中的概 念教学是一个起关键作用的环节。 对于刚迈进大学的理工科的学生来说， 高等数学是首当其冲的一门重要的基础 课。很多新生一时还难以适应，常常产 生各种各样的问题。如何帮助学生度过 这一“非常时期 ”，使之尽快适应大学的 学习生活学好高等数学这门主要的基础 课？笔者认为，加强高等数学中的概念 教学是一个起关键作用的环节。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 一、正确理解数学概念是学好高等数 学的前提 无论是初等数学还是高等数学总是从 繁杂纷纭的客观世界中抽象出一系列的 数学概念，然后以这些概念为基础，进 行合理的判断和推理，引出一些定理和 公式，形成一个理论体系，然后把“这 些符合论理的结论” 应用到新的应用领 域或实际问题中，因此可以说，概念是 数学的基础，概念教学应成为高等数学 教学的核心与重点，它是教师教好与学 生学好高等数学的关键。只有当教师深 刻全面地理解了概念的内涵与本质之后， 才能透彻地讲解给出来，学生才能很好 的接受，才能以此为基础进行推理、判 断、分析等思维活动，理解数学理论体 系的来龙去脉，掌握运算的技能技巧。 从而获得应用数学方法去分析问题与解 决问题的能力。 在初等数学中，大多数概念都比教具 体直观，学生容易接受，再加上课时较 多，进度较慢，教师由浅入深，亦步亦 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 趋，使一般学生都不会对接受新概念感 到很困难。即使有一些学生不重视概念 学习只注意计算方法与技巧，但在长期 与大量的练习中，由于反复接触，潜移 默化，不知不觉地对概念由知之不多过 度到知之较多，逐步掌握了概念。但在 学习高等数学时，情况发生了很大的改 变，高等数学是研究变量的数学，常常 需要用运动的观点来讨论，因此更显得 抽象、复杂。例如极限、导数、积分等 概念都是初学者所不能透彻理解的，加 上大学里的教学进度快，反复练习的机 会少。难免会使一些新生感到不适应， 概念掌握不好，以致于以概念为基础的 理论及计算方法当然也就很难学好。因 此能不能用有限的时间加强概念教学就 成为提高教学质量的关键。 二、注重概念的引入是学习概念的先 导 众所周知，数学概念都是由客观实际 或客观规律抽象出来的。很多概念都可 以在实际中找到它的“ 原型 ”。例如：从 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 曲线切线的斜率、变速直线运动的速度 的计算等问题抽象出导数概念。从求曲 边梯形的面积、变速直线运动的路程等 问题抽象出定积分的概念，这种方法符 合学生的认识规律，学生只有透彻地理 解解决这些问题的思路，才能真正地理 解概念的实质及价值。因此，教师不能 认为花费一定时间讲解这些背景是没有 价值的、是在浪费有限的时间，因而便 三言两语草草了事或者根本不讲背景， 直接拿出定义，接着便是计算，一个例 题接着一个例题，这是不妥当的。再者 从客观实例引进概念，也为以后应用这 些概念及有关理论去解决应用问题作了 一定的准备。 值得注意的是并非每一个概念都要求 由实例引入，教师可灵活掌握。对于一 些较易理解的概念也可以从已知的概念 引出新的概念。例如：无穷小量可由极 限概念中当极限值为零时来得到，连续 概念也可由极限概念中极限值等于函数 值来得到。而原函数的概念自然而然的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 可由导数的逆运算引出。这些概念对于 学生来说都是不难接受的。 总之，不论是由实例抽象出概念还是 由旧知识直接引出新概念，教师的主要 目的应该放在使学生理解概念的形成， 掌握概念的内涵上，所以所用的例子都 不宜太复杂或者专业性太强，否则会造 成喧宾夺主，反而影响概念的形成与引 出。 三、数学概念的定义是概念属性的体 现 高等数学中的概念的具体内涵通常用 定义的形式给出，有的概念还同时规定 了所采用的符号。当教师以实际问题或 学生的原有知识为基础抽象出概念以后， 就应引导学生理解定义所指出概念的本 质属性，从正面和反面等不通角度去反 复领会，并利用自己的语言正确地叙述 概念。 以导数的定义为例，教师应该使学生 层层深入，理解以下各点： 第一、由于函数 在点 处的导数是函 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 数增量 与自变量增量 之比当 时的极 限，所以该函数必须在 处及其一个领 域内有定义，否则就不可导，比如： 与 在 处就不可导。 第二、函数增量与自变量的增量有不 同的表示法。因此导数定义式也有不同 的表示法。如： 在 处的导数可以分别 表示为 与 等。当极限不存在时此函数 在该点不可导。 第三、定义同时给出了求导数的三个 步骤：求函数增量 求函数增量与 自变量增量之比 求极限 ，告诉学生 按照这三步就可以求出一些简单函数的 导数。 高等数学中有不少概念的定义都 明确指出了计算的方法与步骤，除上述 导数外，连续概念、定积分概念、级数 收敛性概念等都是如此。教师在进行这 类概念教学时应该花费一些力气按定义 指明的方法与步骤进行有关的计算，以 加强学生对这一概念的理解。同时教师 也应向学生指出按定义直接进行计算一 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 般是很困难的，因此有必要研究其性质 及别的计算法则，这样做就可以唤起学 生强烈的求知欲望。 当然高等数学中并非所有的概念 都是如此，有些概念的定义只是明确了 概念的内涵，而并没有给出计算方法与 步骤，如极限的精确定义、原函数与不 定积分等等。教师在这类概念的教学中， 为了加深学生的理解，一般都要按定义 作一些验证工作，如：证明 ，证明 和 都是 的原函数。 学生在学习高等数学时往往有一个不 良习惯，轻概念重计算，以为学习高等 数学无非就是要会计算、会做题。常常 有这样的事情发生，有的学生学完了高 等数学也知道 却说不清楚符号 所表示 的确切含义，更有甚者学完了高等数学 却不知道微商是什么。因此从始至终抓 紧概念的教学是很重要的，这不仅要熟 记定义的条文、定理的条件和结论，更 重要的是透彻地掌握其本质。 四、在概念系统中学习概念 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 教师经常会遇到这样的情况，有的学 生学习一个概念时，以为明白了定义的 本质，但是若把这个概念与其它有关概 念放在一起时，就糊涂了，比如极限、 连续、可导、可微之间的关系，教师都 会给学生讲清楚，但学生一碰到下面的 问题就举棋不定，不知道从何写起: 设 1) 取何值时， 在 处连续？ 2) 取何值时， 在 处可导？ 3) 取何值时， 的导数在 处连 续？ 为什么会出现这种情况呢？一方面是 学生还没有真正领会概念的本质，有的 学生当时弄清楚了但缺乏巩固措施，不 久就忘了。另一方面是学生习惯孤立地 学习概念，不善于把相关概念相比教， 找出它们之间的联系与区别。因此，在 进行概念思维时就会出现“断线” 现象， 无从下笔，或者写不清楚。要解决这个 问题，教师必须在概念系统中教会概念， 学生必须在概念系统中学会概念。数学 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 是由概念与命题等内容按一定的逻辑关 系组成的知识体系。概念与概念之间总 有一定的内在联系，特别是一些相近的 概念，其联系更为突出，学生最易混淆。 因此，教师在进行概念教学时要不时的 将这些概念与前面所学过的相近概念相 比教，找出它们的联系与区别，前面说 的极限、连续、导数、可微是如此，在 此之后的四个中值定理更是如此。 总之，把概念放在概念系统中教学是 教师应当把握的教学规律。教师每讲一 个新概念，首先必须对这一概念的地位、 作用以及与其它概念的联系做到心中有 数，使学生对已学过的概念能做到融会 贯通，同时，又为今后要学的新概念埋 下“伏”笔。 最后要说明的是，对于工科高等数学 中的