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北京市西城区 20112012 学年度第一学期期末试卷 高三数学(文科) 2012.1 第卷 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1复数 i()( ) (A) (B) 1i(C) 1i(D) 1i 2若向量 (3,)a, (0,2)b,则与 ab共线的向量可以是( ) (A) 1(B) 13(C) (3,1)(D) (1,3) 3.下列函数中,既是偶函数又在 (0,)单调递增的函数是( ) (A) 1yx(B) |exy (C) 23(D) cos 4 “直线 l的方程为 0xy”是“直线 l平分圆 21xy的周长”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 5一个几何体的主视图和左视图如图所示,则这个 几何体的俯视图不可能是( ) (A) (B) (C) (D) 6执行如图所示的程序框图,输出的 S值为( ) (A) 3 (B) (C) 10 (D) 5 主视图 左视图 7已知 0ab,给出下列四个不等式: 2; 12ab; ab; 32ab 其中一定成立的不等式为( ) (A)、 (B)、 (C)、 (D)、 8有限集合 P中元素的个数记作 card()P.已知 card()10M, A, BM,AB ,且 card()2A, 3B.若集合 X满足 ,且 X,X ,则集合 的个数是( ) (A) 672(B) 640(C) 84(D) 352 第卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9函数 2()logfx的定义域是_. 10双曲线 169y的一个焦点到其渐近线的距离是_ 11若曲线 3yxa在原点处的切线方程是 20xy,则实数 a_ 12在 ABC中,三个内角 A, B, C的对边分别为 , b, c若 5, 4B,tan2 ,则 c_ 13已知 n是公比为 的等比数列,若 316a,则 1a ;2211naa _ 14设 0,不等式组 2,0xy 所表示的平面区域是 W给出下列三个结论: 当 1时, W的面积为 3; 0,使 是直角三角形区域; 设点 (,)Pxy,对于 有 4yx 其中,所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 2()3sinicosfxxx, ,2. ()求 2的值; ()求 ()fx的最大值和最小值. 16.(本小题满分 13 分) 某种零件按质量标准分为 5,4321五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20个,对其等 级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 345 频率 0.5m0.15.n ()在抽取的 2个零件中,等级为 的恰有 2个,求 nm,; ()在()的条件下,从等级为 3和 的所有零件中,任意抽取 2个,求抽取的 2个零 件等级恰好相同的概率. 17 (本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 1CBA的侧棱长和底面边长均为 2, D是 BC的中点 ()求证: D平面 ; ()求证: 1平面 1; ()求三棱锥 ABC的体积 18.(本小题满分 13 分) 已知函数 21()lnfxax,其中 aR. ()求 的单调区间; ()若 )(xf在 0,1上的最大值是 1,求 的值. 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 :C 21(0)xyab 的一个焦点是 (1,0)F,且离心率为 12. ()求椭圆 的方程; ()设经过点 F的直线交椭圆 C于 ,MN两点,线段 的垂直平分线交 y轴于点0(,)Py ,求 0的取值范围. 20.(本小题满分 13 分) 已知数列 12:,nnAa .如果数列 12:,nnBb 满足 1nba, 11kkab, 其中 ,3k ,则称 为 A的“衍生数列”. ()写出数列 4:,5的“衍生数列” 4; ()若 n为偶数,且 n的“衍生数列”是 nB,证明: 1nba; ()若 为奇数,且 A的“衍生数列”是 , 的“衍生数列”是 nC,.依次将数列 nA, B, nC,的首项取出,构 成数列 1:,abc . 证明: 是等差数列. 北京市西城区 2011 2012 学年度第一学期期末 高三数学(文科)参考答案及评分标准 2012.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C; 2. D; 3. B; 4. A; 5. D; 6. C ; 7. A; 8. A . 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. |1x; 10.3; 11.2; 12. 2; 13.2, 1(4)n; 14. 、. 注:13 题第一问 2 分,第二问 3 分;14 题多选、少选、错选均不给分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15.(本小题满分 13 分) ()解: 2233()3sinicos42f. 4 分 ()解: 1()coiin()fxxx( . 8 分 因为 ,2,所以 253,. 9 分 当 3x,即 x时, )(xf的最大值为 3; 11 分 当 2,即 1时, f的最小值为 12. 13 分 16.(本小题满分 13 分) ()解:由频率分布表得 0.5.10351mn, 即 .4mn. 2 分 由抽取的 2个零件中,等级为 的恰有 2个, 得 1.0. 4 分 所以 453. 5 分 ()解:由()得,等级为 的零件有 个,记作 123,x;等级为 的零件有 2个, 记作 12,y. 从 3,x中任意抽取 2个零件,所有可能的结果为:1213212313212(,)(),(),(),(),xyxyxyxy 共计 10种. 9 分 记事件 A为“从零件 12312,xy中任取 件,其等级相等”. 则 包含的基本事件为 312()(,),xy共 4 个. 11 分 故所求概率为 4)0.1P. 13 分 17.(本小题满分 14 分) ()证明:因为 1CBA是正三棱柱, 所以 1平面 . 又 D平面 , 所以 A1. 3 分 因为 BC是正三角形, D是 BC的中点, 所以 , 4 分 所以 平面 1. 5 分 ()证明:连结 A,交 于点 O,连结 . 由 1CB是正三棱柱, 得 四边形 为矩形, 为 1AC的中点. 又 D为 中点,所以 D为 B 中位线, 所以 1A , 8 分 因为 O平面 1, 平面 1, 所以 1B平面 C. 10 分 ()解:因为 11DBAV, 12 分 所以 11233CADBCS. 14 分 18.(本小题满分 13 分) ()解: 2(),(0,)axf . 3 分 当 0时, f,从而函数 (xf在 ),0上单调递增 . 4 分 当 a时,令 ()0fx,解得 1a,舍去 1a. 5 分 此时, f与 的情况如下: x1(0,)a1(,)a)f0(x 1()fa 所以, ()fx的单调增区间是 1(0,)a;单调减区间是 ),1(a.7 分 () 当 0a时,由()得函数 xf在 ,(上的最大值为 2f. 令 12,得 2,这与 0矛盾,舍去 2. 9 分 当 0a时, 1a,由()得函数 )(xf在 1,0上的最大值为 (1)2af. 令 12,得 2,这与 0矛盾,舍去 2a. 10 分 当 a时, 10a,由()得函数 )(xf在 1,0上的最大值为 1()fa. 令 1()f,解得 e,适合 1. 12 分 综上,当 xf在 (0,上的最大值是 时, ea. 13 分 19.(本小题满分 14 分) ()解:设椭圆 C的半焦距是 c.依题意,得 1c. 1 分 因为椭圆 的离心率为 12, 所以 2ac, 3bac. 3 分 故椭圆 C的方程为 214xy . 4 分 ()解:当 MN轴时,显然 0. 5 分 当 与 x轴不垂直时,可设直线 MN的方程为 (1)0ykx. 由 2 (1),34yk 消去 y整理得 348)43(222 . 7 分 设 12(,)(,)MxyN,线段 N的中点为 3(,)Qxy. 则 122834k. 8 分 所以 1232xk, 323(1)4kyx. 线段 MN的垂直平分线方程为 )(22kk. 在上述方程中令 0x,得 ky43120. 10 分 当 0k时, 34k;当 0k时, 34k. 所以 012y,或 012y. 12 分 综上, 0的取值范围是 3,. 13 分 20.(本小题满分 13 分) ()解: 4:5,27B. 3 分 ()证明: 因为 1nba,22 ,33 , 11nnba , 由于 为偶数,将上述 个等式中的第 2,46,n 这 2个式子都乘以 1,相加得123113()()()()()()n nbaaa 即 1nba, 1n. 8 分 ()证明:对于数列 nA及其“衍生数列” nB, 因为 1b

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