北京市9区2012届高三上学期期末考试试题数1

北京市西城区 20112012 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2012.1 第卷 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1复数 i()（ ） （A） （B） 1i（C） 1i（D） 1i 2若向量 (3,)a， (0,2)b，则与 ab共线的向量可以是（ ） （A） 1（B） 13（C） (3,1)（D） (1,3) 3.下列函数中，既是偶函数又在 (0,)单调递增的函数是（ ） （A） 1yx（B） |exy （C） 23（D） cos 4 “直线 l的方程为 0xy”是“直线 l平分圆 21xy的周长”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 5一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个 几何体的俯视图不可能是（ ） （A） （B） （C） （D） 6执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ） （A） 3 （B） （C） 10 （D） 5 主视图 左视图 7已知 0ab，给出下列四个不等式： 2； 12ab； ab； 32ab 其中一定成立的不等式为（ ） （A）、 （B）、 （C）、 （D）、 8有限集合 P中元素的个数记作 card()P.已知 card()10M， A， BM，AB ，且 card()2A， 3B.若集合 X满足 ，且 X，X ，则集合 的个数是（ ） （A） 672（B） 640（C） 84（D） 352 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9函数 2()logfx的定义域是_. 10双曲线 169y的一个焦点到其渐近线的距离是_ 11若曲线 3yxa在原点处的切线方程是 20xy，则实数 a_ 12在 ABC中，三个内角 A， B， C的对边分别为 ， b， c若 5， 4B，tan2 ，则 c_ 13已知 n是公比为 的等比数列，若 316a，则 1a ；2211naa _ 14设 0，不等式组 2,0xy 所表示的平面区域是 W给出下列三个结论： 当 1时， W的面积为 3； 0，使 是直角三角形区域； 设点 (,)Pxy,对于 有 4yx 其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 2()3sinicosfxxx， ,2. （）求 2的值； （）求 ()fx的最大值和最小值. 16.（本小题满分 13 分） 某种零件按质量标准分为 5,4321五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级 345 频率 0.5m0.15.n （）在抽取的 2个零件中，等级为 的恰有 2个，求 nm,； （）在（）的条件下，从等级为 3和 的所有零件中，任意抽取 2个，求抽取的 2个零 件等级恰好相同的概率. 17 （本小题满分 14 分） 如图，正三棱柱 1CBA的侧棱长和底面边长均为 2， D是 BC的中点 （）求证： D平面 ； （）求证： 1平面 1； （）求三棱锥 ABC的体积 18.（本小题满分 13 分） 已知函数 21()lnfxax，其中 aR. （）求 的单调区间； （）若 )(xf在 0,1上的最大值是 1，求 的值. 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 :C 21(0)xyab 的一个焦点是 (1,0)F，且离心率为 12. （）求椭圆 的方程； （）设经过点 F的直线交椭圆 C于 ,MN两点，线段 的垂直平分线交 y轴于点0(,)Py ，求 0的取值范围. 20.（本小题满分 13 分） 已知数列 12:,nnAa .如果数列 12:,nnBb 满足 1nba， 11kkab， 其中 ,3k ，则称 为 A的“衍生数列”. （）写出数列 4:,5的“衍生数列” 4； （）若 n为偶数，且 n的“衍生数列”是 nB，证明： 1nba； （）若 为奇数，且 A的“衍生数列”是 ， 的“衍生数列”是 nC，.依次将数列 nA， B， nC，的首项取出，构 成数列 1:,abc . 证明： 是等差数列. 北京市西城区 2011 2012 学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2012.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. C； 2. D； 3. B； 4. A； 5. D； 6. C ； 7. A； 8. A . 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. |1x； 10.3； 11.2； 12. 2； 13.2， 1(4)n； 14. 、. 注：13 题第一问 2 分，第二问 3 分；14 题多选、少选、错选均不给分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分 13 分） （）解： 2233()3sinicos42f. 4 分 （）解： 1()coiin()fxxx（ . 8 分 因为 ,2，所以 253,. 9 分 当 3x，即 x时， )(xf的最大值为 3； 11 分 当 2，即 1时， f的最小值为 12. 13 分 16.（本小题满分 13 分） （）解：由频率分布表得 0.5.10351mn， 即 .4mn. 2 分 由抽取的 2个零件中，等级为 的恰有 2个， 得 1.0. 4 分 所以 453. 5 分 （）解：由（）得，等级为 的零件有 个，记作 123,x；等级为 的零件有 2个， 记作 12,y. 从 3,x中任意抽取 2个零件，所有可能的结果为：1213212313212(,)(),(),(),(),xyxyxyxy 共计 10种. 9 分 记事件 A为“从零件 12312,xy中任取 件，其等级相等”. 则 包含的基本事件为 312()(,),xy共 4 个. 11 分 故所求概率为 4)0.1P. 13 分 17.（本小题满分 14 分） （）证明：因为 1CBA是正三棱柱， 所以 1平面 . 又 D平面 ， 所以 A1. 3 分 因为 BC是正三角形， D是 BC的中点， 所以 ， 4 分 所以 平面 1. 5 分 （）证明：连结 A，交 于点 O，连结 . 由 1CB是正三棱柱， 得 四边形 为矩形， 为 1AC的中点. 又 D为 中点，所以 D为 B 中位线， 所以 1A ， 8 分 因为 O平面 1， 平面 1， 所以 1B平面 C. 10 分 （）解：因为 11DBAV， 12 分 所以 11233CADBCS. 14 分 18.（本小题满分 13 分） （）解： 2(),(0,)axf . 3 分 当 0时， f，从而函数 (xf在 ),0上单调递增 . 4 分 当 a时，令 ()0fx，解得 1a，舍去 1a. 5 分 此时， f与 的情况如下： x1(0,)a1(,)a)f0(x 1()fa 所以， ()fx的单调增区间是 1(0,)a；单调减区间是 ),1(a.7 分 （） 当 0a时，由（）得函数 xf在 ,(上的最大值为 2f. 令 12，得 2，这与 0矛盾，舍去 2. 9 分 当 0a时， 1a，由（）得函数 )(xf在 1,0上的最大值为 (1)2af. 令 12，得 2，这与 0矛盾，舍去 2a. 10 分 当 a时， 10a，由（）得函数 )(xf在 1,0上的最大值为 1()fa. 令 1()f，解得 e，适合 1. 12 分 综上，当 xf在 (0,上的最大值是 时， ea. 13 分 19.（本小题满分 14 分） （）解：设椭圆 C的半焦距是 c.依题意，得 1c. 1 分 因为椭圆 的离心率为 12， 所以 2ac， 3bac. 3 分 故椭圆 C的方程为 214xy . 4 分 （）解：当 MN轴时，显然 0. 5 分 当 与 x轴不垂直时，可设直线 MN的方程为 (1)0ykx. 由 2 (1),34yk 消去 y整理得 348)43(222 . 7 分 设 12(,)(,)MxyN，线段 N的中点为 3(,)Qxy. 则 122834k. 8 分 所以 1232xk， 323(1)4kyx. 线段 MN的垂直平分线方程为 )(22kk. 在上述方程中令 0x，得 ky43120. 10 分 当 0k时， 34k；当 0k时， 34k. 所以 012y，或 012y. 12 分 综上， 0的取值范围是 3,. 13 分 20.（本小题满分 13 分） （）解： 4:5,27B. 3 分 （）证明： 因为 1nba，22 ，33 ， 11nnba ， 由于 为偶数，将上述 个等式中的第 2,46,n 这 2个式子都乘以 1，相加得123113()()()()()()n nbaaa 即 1nba， 1n. 8 分 （）证明：对于数列 nA及其“衍生数列” nB， 因为 1b