北京市初二数学竞赛初赛试题(1992)

初二初赛试题 一、选择题(每小题 6 分，满分 36 分) 1已知 是等边三角形的一个内角， 是顶角为 30的等腰三角形的一个底角， 是等腰直角三角形的一个底角则( ) (A)b0，则 = ba 4化简表达式 ,所得的结果等于 433|1760|6 5在边长为 1cm 的正ABC 中，P 0为 BC 边上一点，作 P0 P1CA 于点 P1，作 P1P2AB 于点 P2，作 P2P3BC 于点 P3如果点 P3恰与点 P0重合，则P 1P2P3的面积是 cm 2 二、(15 分)证明恒等式：a 4+b4+(a+b)4=2(a2+ab+b2)2 三、(15 分)在六张纸片的正面分别写上整数 l、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上 16 这六个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个数请你证明：所得的六个数中至少有两 个是相同的 四、(15 分)如图所示，在等腰ABC 中，延长边 AB 到点 D，延长边 CA 到点 E，连结 DE，恰有 AD=BC=CE=DE求证： BAC=100 五、(15 分)l 与 0 交替排列，组成下面形成的一串数 101，10101，1010101，101010101 请你回答，在这串数中有多少个质数?并请证明你的论断 2002 年北京市初二数学竞赛初赛 一、选择题(满分 36 分) 1计算 ( )8016401320 A B c D67597 22002 年 8 月，将在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示， 它是由四个相同的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积是 13，小正方 形的面积是 1，直角三角形的较长 直角边为 a，较短直角边为 b，则 a3+b4的值等于( ) A35 B43 C89 D97 3若 20022002200215(n 个 2002)被 15 整除，则 n 的最小值等 于( ) A2 155 C4 D5 4两个边长为 3，4，5 的直角三角形纸片，可以拼成 n 种不同的凸四边形，则 n 的值等于( ) A6 B5 C4 D3 5已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于( ) A2 度 153 度 C5 度 D7 度 6a 4+4 分解因式的结果是( ) A(a 2+2a2)(a 22a+2) B(a 2+2a-2)(a22a2) C(a 2+2a+2)(a22a2) D(a 2+2a+2)(a22a+2) 二、填空题(满分 64 分，每小题 8 分) 1计算：(1 )20022(1+ )200l2(1+ )2000333 2如图所示，AC=10，BC=l7，CDAB 于点 D，CD=8，求ABC 的面积 3实数 a，b 满足 abO，且使得 ，求 a+b 的值baa11 4在梯形 ABCD 中，下底 BC=10 cm，腰 CD=55 cm，如果ABC=50，ADC=100，求上底 AD 的长 5已知实数 x，y,z 满足 ，求 的值yxzzyx yxzzyx 22 6如图所示，P 是边长为 8 的正方形 ABCD 形外一点，PB=PC，PBD 的面积等于 48，求PBC 的面积 7正数 m，n 满足 m+4 2 4 +4n=3，求 的值nmn208nm 8一个正整数除以 5，7，9 及 11 的余数依次是 1，2，3，4求满足上述条件的最小的正整数 2002 年北京市初二数学竞赛初赛 一、选择题 1C 2B 3B 4C 5A 6D 二、填空题 10 284 3-2 445 50 632 7 81731401 2002 年北京市中学生数学竞赛复赛 一、填空题(满分 40 分，每小题 8 分) 1已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=O，则(x-y-z) 2002= 2如图所示，A 在线段 BG 上，四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正 方形，面积分别为 7 cm2和 11 cm2，则三角形 CDE 的面积等于 cm 2 3化简： = 32 4如图所示，四边形 ABCD 是正 方形，E 为 BF 上一点，四边形 AEFC 恰是一个菱形，则EAB= 5有 6 个学生，每人拥有的书中没有相同的，但每两个人都恰好有 一本相同的书，每本书也恰好两 个学生拥有，则这 6 个学生共有不同的书 本 二、(满分 15 分)已知 abc0，证明：四个数 中至少有一个不小于 6,)(,)(,(, 3333 abccabcca 三、(满分 15 分)如图所示，ABC 是正三角形，A 1B1 C1的三条边 A1B1、B lC1、C 1 A1交ABC 各边分别于 C2、C 3，A 2、A 3，B 2、B 3已知 A2C3=C2B3=B2 A3，且 C2C32+B2B32=A2A32。请你证明： A l B1C 1A1 四、(满分 15 分)从三位数 100，101，102，499，500 中任意取出 n 个不同的数，使得总能找到其中三个数，它们的数字 和相同试确定 n 的最小值，并说明理由。 五、(满分 15 分)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与 2002 的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例； 若不能够，请说明理由 四、在 100，101，102，499，500 这 401 个数中，数字和为 1 的只有 100 这一个数，数字和最大为 22 的只有 499 这一个 数其余的 399 个数的数字和都在 2 到 2l 之间 由抽屉原则，在这 399 个数，任取 202+l=4 1 个数，必存在三个数，它的数字和相同 考虑在 100 到 500 这 401 个整数中，任取 43 个数，必存在三个数，它们的数字和相同最小值可能是 43 下面说明，取如下的 42 个数： 100；101，110；102，120；103，1 30；104，1 40； 105，1 50；1 06，160，107，1 70；108，l 80； 109，190；1 1 9，19 1；129，1 92；1 39，193； 1 49，194；1 59，195；169，1 96；1 79、1 97； 1 89， l 98；469，4 96；479，497；489，498；499 它们当中没有三个数的数字和相同，所以 n 的最小值是 43 五、不能找到这样的四个正整数使得它们中任两个数积与 2002 的和都是完全平方数理由如下： 偶数的平方能被 4 整除，奇数的平方被 4 除余 1，也就是正整数的平方被 4 除余 O 或 1若存在正整数 nl，n 2，n 3，满足 ninj+2002=m2；ij=l，2，3，4 m 是正整数；因为 2002 被 4 除余 2，所以 ninj被 4 除应余 2 或 3 (1)若正整数 nl，n 2，n 3n 4中有两个是偶数，不妨设 n1n 2是偶数，则 n1n2+2002 被 4 除余 2与正整数的平方被 4 除余 O 或 1 不符，所以正整数 n1n 2，n 3， n 4中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数 (2)在这三个奇数中，被 4 除的余数可分为余 1 或 3 两类，根据抽屉原则：，必有两个奇数属于同一类。则它们的乘积被 4 除余 1，与 ninj 被 4 除余 2 或 3 的结论矛盾 综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与 2002 的和都是完全平方数 2003 年北京市初二数学竞赛复赛 一、填空题(每小题 8 分，共 40 分) 1若(2x-1) 5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+ a1x+a0，则 a2+a4= 2在ABC 中，M 是边 AC 的中点，P 为 AM 上一点，过 P 作 PKAB 交 BM 于 X，交 BC 于 K若 PX=2，XK=3，则 AB= 3a、b、c 是非负实数，并且满足 3a+2b+c=5，2a+b-3c=1设 m=3a+b-7c，记 x 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值则 xy= 4在ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，AB= ， AD= ，AC= 则ABC= 262 5已知 xyz=1，x+y+z=2，x 2+y2+z2=16则 = 二、(15 分)若正数 a、b、c 满足 a+c=2b，求证： 三、(15 分)一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等试确定这个直角三角形三边的长 四、(15 分)如图，以ABC 的三边为边分别向形外作正方形 ABDE、CAFG、BCHK连结 EF、GH、KD求证：以 EF、GH、KD 为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于ABC 面积的 3 倍 五、(15 分)13 位运动员，他们着装的运动服号码分别是 l13 号问：这 13 名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相 邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于 3 且不大于 57 如果能，试举一例；如果不能，请说明理由 参考答案 一、1一 120 令 x=0，得 a0=-1 令 x=1，得 a5+a4+a3+a2+a1+a0=1； 令 x=-1，得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243 后面两式相加得 a4+a2+a0=-121因此，a2+a4=-120 五、不能办到理由如下： 假设能够排成一个圆圈，使得号码满足题设要求我们将号码数分为 A、B 两组： A=1，2，3，11，12，13，B=4，5，6，7，8，9，lO 显然，A 组中的任两个数的差要么小于 3，要么大于 5，所以，在排成的圆圈中 A 组中的任两个数都不能相邻也就是说， A 组中的任两个数之间至少都要插放一个 B 组中的数但 A 组中有 6 个间隔，B 组中有 7 个数，所以，排好后有且只有一个间 隔插放了 B 组中的两个数 我们将 B 组中每个数能与 A 组中的数之差的绝对值不小于 3，且不大于 5 的配成可相邻放置的一对，则有 (4，1)；(5，1)，(5，2)；(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，11)； (7，2)，(7，3)，(7，11)，(7，12)； (8，3)，(8，11