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电大考试电大小抄电大复习资料数学分析专题研究学习辅导（四）第一章 集合与映射（四） 有关二元关系部分 典型例题解析 例1 设集合a= 1, 2, 3, 4上的二元关系r= (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)，s= (1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)，用定义求. 思路 求复合关系，就是要分别将r中有序对(a, b)的第2个元素b与s中的每个有序对(c, d)的第1个元素进行比较，若它们相同（即b=c），则可组成中的1个元素(a, d)，否则不能. 幂关系的求法与复合关系类似. 求关系r的逆关系，只要把r中的每个有序对的两个元素交换位置，就能得到中的所有有序对. 解 = (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) (1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4) = (1, 3), (1, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 2) =(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) =(1, 1), (1, 3), (2, 4), (3, 4) = (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) =(1, 1), (1, 2), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3) =(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) =(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2) =(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4) = (2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4) =(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4) =(1, 1), (3, 1), (4, 2), (4, 3)注：由例1可知，关系的复合运算不满足交换率，即. 例2 对于以下给定的集合a、b和关系f，判断是否构成映射f：. 如果是，试说明f：是否为单射、满射或双射的. （1）a=1, 2, 3, 4, 5，b=6, 7, 8, 9, 10，f =(1, 8), (3, 9), (4, 10), (2, 6), (5, 9)； （2）a=1, 2, 3, 4, 5，b=6, 7, 8, 9, 10，f =(1, 7), (2, 6), (4, 5), (1, 9), (5, 10)； （3）a=1, 2, 3, 4, 5，b=6, 7, 8, 9, 10，f =(1, 8), (3, 10), (2, 6), (4, 9) （4）a=b=r，f (x) = x3，（r）； （5）a=b=r，（ r）； 思路 首先按照1.2节的定义2.5，判断a、b和f是否构成映射，即判断f是否具有单值性以及dom(f )是否等于a. 然后再按照定义2.6，说明f：具有的性质. 解 （1）因为dom(f ) = a，且对任意（i=1, 2, 3, 4, 5），都有唯一的，使(i, j ). 所以a、b和f能构成函数f：. 因为存在3, 5a，且35，但映射f (3)= f (5) = 9，所以f：不是单射的； 又因为集合b中的元素7不属于f的值域，即f (a)b，所以f：不是满射的. xf (x)123-1-3-2123-2-1-3图1-1 （2）因为对1a，存在7, 9b，有f (1)= 7，f (1)= 9，即f不满足映射定义的单值性条件. 所以a、b和f不能构成映射f：. （3）因为domf =1, 2, 3, 4a，所以a、b和f不能构成映射f：. （4）因为对r，都有唯一的r，使(x, ). 所以a、b和f能构成映射f：. 由图1-12可知，f：，f (x)= x3是双射的. （5）因为对r，都有唯一的r，使. 所以a、b和f能构成映射f：. 因为该映射在x 0处，f (-x)= f (x)，且f (r) r，所以映射f：不是单射的，也不是满射的. 例3 证明：若f：xy，a，by，则(a- b) =(a)-(b) 证明 x(a- b)，y(a- b)，即ya但yb，使得y = f (x)，从而有 x(a)但x(b)，故x(a)-(b) (a-b)(a) -(b) 又 x(a)-(b)，由于x(a)但x(b)，从而f (x)a但f (x)b，即f (x)(a-b)，故x(a- b) (a) -(b)(a-b) 因此，(a- b) =(a)-(b) 例4 设有映射f:aa. 若aa, f(a)=a, 则称映射f是恒等映射，表示为. 设有两个映射f:ab, g:ba. 若gf =, 则f是单射，g是满射. 证明 (1) 证明映射f是单射. 对任意的bb，如果存在a1，a2a，使f (a1) = b，f (a2) = b，即f (a1) = b = f (a2). 因为 a1=(a1)=(gf )(a1)= g(f (a1) = g(f (a2) =(gf )(a2) =(a2)= a2 . 所以f是单射的. (2) 证明映射g是满射. 因为(gf )(a)=(a)= a，所以gf是满射的. 又对任意的ca，由gf是满射的可知，存在aa，使(gf )(a) = c. 那么存在bb，使f (a) = b，g(b) = c. 所以存在bb，使g(b) = c，即g是满射的. 例5 设函数f：ab，g：bc，且gf：ac，证明：若f 和g都是单射的，则gf 也是单射的. 证明 因为对任意的a1，a2a，如果a1a2，那么由f 是单射的可知，f (a1) f (a2). 而由g是单射的可知，g (f (a1)g( f (a2). 所以，由a1a2可得 (gf) (a1)( gf ) (a2) ，即gf是单射的. 例6 设f：rr，；g：rr，. 求gf ，f g. 如果f 和g存在逆映射，求它们的逆映射. 解：（1）求gf和f g (gf )(a)= g(f (a)+2 =； (f g)(a)= f(g(a) = f (a+2) = （2）求逆映射. 因为映射f：rr， 不是满射的. 所以f：rr不是双射，由1.2节注2.1可知，f不存在逆映射. 又因为g：rr，g(a) = a +2即是满射的，又是单射的. 所以g：rr是双射，因此g存在逆映射，其逆映射为：rr，. 例7 设r1和r2是集合a上的任意关系，试证明或用反例推翻下列论断： （1）若r1和r2都是反身的，则也是反身的； （2）若r1和r2都是对称的，则也是对称的； （3）若r1和r2都是传递的，则也是传递的. 思路 做这类题目时，必须深入理解相关的概念，这样才能做出正确的判断；在此基础上进行证明或举出反例. 证 （1）因为对任意，若r1和r2都是a上的反身关系，则 (a, a)，(a, a)所以，(a, a)，即也是反身的. 故该论断正确. （2）例如，设a=a, b, c，当r1=(a, b), (b, a), (c, c)，r2=(b, c), (c, b)，r1与r2都是对称的，但是=(a, c), (c, b)已不是对称的，故该论断不正确. （3）例如，设集合a=a, b, c，当r1=(a, b), (b, c), (a, c)，r2=(b, c), (c, a), (b, a)，r1和r2都是传递的. 但是，由= (a, a), (a, c), (b, a) 得 (b, a)，(a, c) ，且(b, c)，故不是传递的，即该论断不正确. 例8 设集合a=a, b, c, d, e，a上的关于等价关系r的等价类为： a = a, b, c， d = d, e求：（1）等价关系r； （2）画出关系图. 思路 由等价关系的定义可知，等价关系r同时是反身的、对称的和传递的. 又由定义3.2知道，等价类中的任意两个元素都有关系. 因此，写a上的等价关系r的步骤为： 写出a上的恒同关系ia，使r是反身的； 分别写出等价类a、d中各元素两两之间的关系，使r具有对称性和传递性； 求、结果的并集，得到所求的等价关系. 解 （1）因为等价关系r是反身的，所以，ia=(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e). 又因为a，b，c在同一个等价类中，所以(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) 同样，因为d，e在同一个类中，所以(d, e), (e, d) 由此可得r = ia(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (d, e), (e, d) （2）r的关系图如图1-13所示.abc图1-2de 例9 设r为集合a中的对称的、传递的关系，证明r为等价关系dom(r)=a. 证明 先证“”. 因为r为等价关系，即r为反身的，i(a)r. 所以，dom(r)=a. 再证“”. 因为dom(r)=a，那么，对aa，有(a, a)r，或ba，使(a, b)r，由r为对称的和传递的，得(a, b)r, (a, a)r，即r为反身的. 所以，r为等价关系. 例10 设集合a=2, 3, 4, 6, 8, 12, 24，da为a上的整除关系. （1）写出集合a中的最大元，最小元，极大元，极小元； （2）写出a的子集b=2, 3, 6, 12的上界，下界，最小上界，最大下界. 思路 最大元与极大元是不一样的. a的最大元应该大于等于a中其它各元素. a的极大元应该不小于a中其它各元素，即它大于等于a中的一些元素，而与a中另一些元素无关系. 最大元不一定存在，如果存在，必定唯一. 在非空有限集合a中，极大元必定存在，但不一定唯一. 类似地，最小元与极小元也有这种区别. 集合b的最大元一定是b的上界，而且是b的最小上界. 同样，集合b的最小元一定是b的下界，而且是b的最大下界. 解 （1）因为 da=(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (2, 12), (2, 24), (3, 3), (3, 6), (3, 12), (3, 24), (4, 4), (4, 8), (4, 12), (4,