最新数学思想与方法练习题知识点复习考点归纳总结参考.doc

电大考试电大小抄电大复习资料数学思想与方法练习题一、 填空题：1、九章算术注重实用，不注意逻辑结构，采用“问题一答案一算法”的体例，即每章首先提出问题，然后给出答案，对有些问题给出解题的方法与计算步骤。2、算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是，首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。它们区别在于算术解题参与的量必须是已经的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处列方程。3、数学证明的功用：核实命题，理解命题，发现命题。4、康托尔集合理论的概括原则是集合是指满足某一条件p(x)的x 全体，即x| p(x)引起数学的第三次危机的根本原因是逻辑上矛盾的概括原则。5、请抽象概括出平面上从一点出发引条射线可以构成小于平角的角最多个数的计算公式 6、猜想具有两个显著的特点：具有一定的科学性；具有一定的推测性，即结论可能正确也可能错误。7、化归方法就是把待解决的问题通过某种转化过程归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题解的一种手段和方法。8、计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数。计算的重要意义更加凸现，主要表现在以下几个方面：(1)、推动了数学的应用；(2)、加快了科学的数学化进程；(3)促进了数学自身的发展。9、算法有多项式算法和指数型算法两大类10、数学模型是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以分为概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型三类11、分类应遵循下列原则：不重复；无遗漏；按同一标准分类；按层次逐步分类。12、数形结合方法，是在研究数学问题时由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。13、学生理解数学思想方法要经历潜意识阶段、明朗化阶段、深化理解三个阶段。14、数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。15、数学知识与数学思想方法是贯穿在数学教材里的两条线。数学知识是一条明线，直接用文字明明白白地写在教材里，反映着知识间的纵向联系；数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要人们加以分析、提炼才能使之显露出来。16、为了处理17世纪的四类主要科学问题，牛顿和莱布尼兹分别以物理学和几何为背景用无穷小量方法建立了微积分。17、人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象18、类比法是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法。类比法是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性。19、公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。20、因为运用数学模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路。因此，我们说数学模型方法是一种迂回式化归。21、特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：利用特殊值(图形)解选择题；利用特殊化探求问题结论；利用特例检验一般结果；利用特殊化探索解题思路。22、已知两个瓶子所装酒精溶液重量相同，在一个瓶子中酒精与水的重量之比是p:1，在另一个瓶子中是q:1，若把两瓶溶液混合在一起，则混合液中酒精与水的重量之比是 ( b ) (a) (b) (c) (d) 23、数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在(1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识(2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用(3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。24、公理化的思想导源于古希腊，机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学。数学机械化思想是我国古代数学的精髓，它与源于西方的公理化思想，对于数学的发展都发挥了巨大作用。25、法国的布尔巴基学派利用数学内在联系和公理化方法从数学的各个分支中提炼出各种数学结构。从而用数学结构实现了数学的统一。26、公理化的意义：(1)它把数学带入了严密阶段。(2)它把逻辑的严密赋予了某些自然科学领域。(3)它体现了人类认识的主观能动性。27、从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。28、数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有确定的、必然选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。二、 简答题1、简述提高小学数学课堂教学效益应注意的几个问题？答：(1)激发学生学习数学的内在动机。在教学过程中，教师要重视数学思想方法的教学，使学生认识到数学的价值。(2)教师要研究学生，研究教材、用好教材。教师要认真研究教材、研究学生，对进入教材的现代数学观念要由浅入深、从感性到理性的形式逐步加以渗透。脱离学生实际的强调一次将概念讲深讲透，深挖洞做难题、怪题是不可取。用好教材，就是充分挖掘教材的教育资源，利用教材提供的范例开展合作学习。(3)认真研究练习题的数量问题。教师要研究习题、精选习题，力求用较少的数学问题对学生进行思维训练达到收效最佳的作用。这样的问题应该设计得使学生参与的练习实践显多样化。题目可以是常规的，也可以是非常规的，在题中可以出现多余信息或缺少信息，或有多种答案等多种情况。让学生在练习中学会分析信息，利用信息去解决问题。(4)正确区分问题、习题、考题。充分挖掘数学问题的教育价值，规避习题、考题的负面效果。2、简述国家数学课程标准的几个主要特点。答2001年6月教育部推行了试用的九年义务教育阶段国家数学课程标准(实验稿)，充分体现了数学课程改革与发展的内涵、特点和具体目标，并呈现下列八个特点：第一、把“现实数学”作为数学课程的一项内容。即为学生准备的数学应该是与现实世界密切联系的数学，且能够在实际中得到应用的数学。第二、把“数学化”作为数学课程的一个目标。学生学习数学化的过程是将学生的现实数学进一步提高、抽象的过程。 第三、把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教，给学生提供“再创造”的机会。 第四、把“问题解决”作为数学教学的一种模式。数学课程标准在“学段目标”中的“解决问题”方面的具体阐述，实际上提出了“问题解决”的教学模式，即：情境问题探索结论反思。 第五、把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。要求学生掌握基本的数学思想方法。 第六、把“数学活动”作为数学课程的一个方面。强调学生的数学活动，注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”。第七、把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。要让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”。第八、把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。3、以教学“循环小数”的概念为例，说明抽象过程的三个基本环节的具体情况。提示：（1）把“都有无限多个数位”这一现象分离出来；（2）提纯“从某一小数位起，一个或几个数字依次不断地重复出现”这一共同属性；（3）简略即给出定义（略）。4、在平面上从一点出发引出3条射线，可以构成小于平角的角最多有多少个？引4条呢？5条呢？请你抽象概括出平面上从一点出发引条射线可以构成小于平角的角最多个数的计算公式。提示：。5、有一个正方体的表面积涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，凡是切面都是白色的。问小正方体中三面红的有几块？两面红的有几块？一面红的有几块？各面都是白的有几块？提示：设切的刀数为，那么三面红的块数是8，两面红的块数为，一面红的块数为，各面都是白的块数为。6、叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠性？答类比推理通常可用下列形式来表示：a具有性质b具有性质因此，b也可能具有性质。其中，分别相同或相似。欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：(1)a与b共同(或相似)的属性尽可能地多些；(2)这些共同(或相似)的属性应是类比对象a与b的主要属性；(3)这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的；(4)可迁移的属性d应该是和属于同一类型。符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。7、试比较归纳猜想与类比猜想的异同。答归纳猜想与类比猜想的共同点是：他们都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其结论具有或然性，或者经过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以反驳。归纳猜想与类比猜想的不同点是：归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，是一种由特殊到一般的推理形式，其思维步骤为“特例归纳猜测”。类比猜想是运用类比法得到的猜想，是一种由特殊到特殊的推理形式，其思维步骤为“联想类比猜测”。8、算法有哪几个特点？答：算法具有下列特点：(1)有限性；即一个算法必须在有限步之内终止。(2)确定性；即算法的每一步都有精确的定义，而且动作的规定是严格无歧义的。(3)输入；即算法在运行前一般要具备初始信息或者初始数据。(4)输出；即算法在终止时一般应有确定的结果，并且输出信息与输入信息之间存在着一定的逻辑关系。(5)有效性；如果使用一个算法从它的初始数据出发，能够得到最终结果，那么这个算法对于这些初始数据而言就是有效的；如果对某些数据而言虽然可以应用某一算法，但是却得不到结果，那么该算法对这些初始数据而言就是无效的。9、简述算法的意义。答：算法具有非常重要的意义。数学中的许多问题都可以归结为寻找算法或判断有无算法的问题，因此，算法对数学中的许多问题的解决有着决定性作用。另外，算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。算法在科学技术中的意义主要体现在如下几个方面：(1)用于表述科学结论的一种形式；(2)作为表述一个复杂过程的方法；(3)减轻脑力劳动的一种手段；(4)作为研究和解决新问题的手段；(5)作为一种基本的数学工具。10、简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。答数学教学中引起“分类讨论”的原因有：数学中的许多概念的定义是分类给出的，因此涉及到这些概念时要分类讨论。数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，进行这类运算时要分类讨论。有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达，必须全面考虑各种不同的位置关系，需要分类讨论。许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值不同，会使问题出现不同的结果。因此需要对字母参数的取值情况进行讨论。11、什么是数形结合方法？答数形结合方法，是在研究数学问题时由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。12、为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用？答因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。正是数与形之间的内在联系，决定了数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用。13、叙述特殊化的含义，并举例说明。答所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。举例略。14、描述用特殊化解决问题的过程。答可用框图表示。见教材中图10-3-1。15、特殊化方法在数学教学中有哪些应用？答特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：利用特殊值(图形)解选择题；利用特殊化探求问题结论；利用特例检验一般结果；利用特殊化探索解题思路。16、试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。答数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在：(1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。(2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。(3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求17、简述数学思想方法教学应注意哪些事项？答：数学思想方法教学应注意以下事项：(1)把数学思想方法的教学纳入教学目标；(2)重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标；(3)做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作；(4)不同数学思想方法应有不同的教学要求；(5)注意不同数学思想方法的综合应用。18、数学机械化的含义是什么？简单叙说数学机械化的意义。答：数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有确定的、必然选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。数学机械化的意义在于：(1)数学机械化与公理化一样，对于数学的发展具有巨大现在意义。数学机械化使得一些数学分支成为重要的研究方向，甚至成为数学的主流。这是因为，抽象的数学概念和结论，往往难于掌握和运用。当把抽象的概念变成具体可算的过程，将易于接受和适宜应用。运用机械化思想考察数学，将引导数学家重新认识数学对象，建立新的模式，从而发现新的结论。(2)数学机械化对于数学发展历程的认识具有深渊的历史意义。公理化的思想导源于古希腊，机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学。数学机械化思想是我国古代数学的精髓，它与源于西方的公理化思想，对于数学的发展都发挥了巨大作用。19、简单叙说哥德尔不完备性定理对数学产生的影响。答：(1)它推翻了数学的所有重要领域能被完全公理化这个强烈的信念。(2)它摧毁了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望。(3)它对数学基础研究及数理逻辑的现代发展产生了重大的影响。(4)它导致了重新评价某些普遍认可的数学哲学。20、什么是统一性和数学的统一性？法国的布尔巴基学派是如何来实现数学的统一？答：所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支相固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。法国的布尔巴基学派利用数学内在联系和公理化方法从数学的各个分支中提炼出各种数学结构。从而用数学结构实现了数学的统一。21、简单说明社会科学数学化的主要原因？答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。22、简单叙说科学证明的结果与数学证明的结果的区别。答：科学证明依赖于观察、实验和理解力，因此经其证明的结果存在着可疑成分，并且常常随着时间的推移，这些结果可能会被拓展或否定。数学证明是以一些基本概念和基本公理为基础，使用合乎逻辑的推理去决定判断是否正确。它依赖于逻辑，是演绎证明，因此经其证明的结果具有绝对性，经得起时间的考验。23、叙说变量数学产生的基本过程。答：第一、解析几何的产生两位法国数学家笛卡尔和费尔马从不同的角度建立了解析几何，费尔马从方程出发研究其轨迹，而笛卡尔从轨迹出发来寻找其方程。但是这却恰好是解析几何基本原理两个方面。二、函数概念的形成实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，从而引出了函数概念。第三、微积分的产生为了处理17世纪的四类主要科学问题，牛顿和莱布尼兹分别以物理学和几何为背景用无穷小量方法建立了微积分。24、比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙说确定数学的局限答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。25、简单叙说几何原本思想方法的特点。答：（1）封闭的演绎体系因为在几何原本中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此几何原本是一个封闭的演绎体系。另外，几何原本的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，几何原本是一个封闭的演绎体系。（2）抽象化的内容几何原本中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此几何原本的内容是抽象的。（3）公理化的方法几何原本的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入 和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。26、简单叙说九章算术思想方法的特点？答：（1）开放的归纳体系从九章算术的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。在九章算术中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个九章算术。另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入九章算术。因此，九章算术是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是九章算术思想方法上的特点之一。（3）模型化的方法九章算术各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。27、举例说明反例在数学教学中的应用。答反例在数学教学中的应用有：(1)在评判学生对提问的回答或批改作业时，可用举反例指出其中的错误。(2)在概念教学中，为了加深学生对概念本质属性的理解，可以针对学生的错误理解，举出反例让学生辨析。(3)在定理、法则学习中，学生往往会因为死记结论或者错误类比，不注意定理、法则的条件，而导致错误。运用反例可有效地纠正这类错误。三、 计算题1、下面的归纳法各属于哪一种？说明理由并判断所得结论是否正确。(1)因为时，是质素，时，是质数，时，是质数，时，是质数；所以，当是任何一位数时，都是质数。(2)因为时，是质数，时，是质数，时，是质数，时，是质数；所以，当是任何自然数时，都是质数。答在(1)中所用的是完全归纳法，因为在(1)中对一位数的各种情况：，2，3，9都一一考察过，并且证实都是质数，从而得出结论：当是任何一位数时，都是质数。这个结论是正确的。在(2)中所用的是不完全归纳法，因为在(2)中仅对一位数的各种情况逐一考察，并且证实都是质数；而对二位数、三位数等其他自然数并未加以考察，就得出一般性的结论：当是任何自然数时，都是质数。这个结论是错误的；因为当时，=121就不是质数。2、一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间的经营实践，经理得到数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房率为65%；如果每间客房定价为120元，住房率为75%；如果每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天收入提高，问每间住房的定价应是多少？解(1)、弄清实际问题加以化简。经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设：设每间客房的最高定价为160元；根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长；设旅馆每间客房定价相等。(2)、建立数学模型。根据题意，设表示旅馆一天的总收入，为与160元相比降低的房价。由假设，可得每降低1元房价，住房率增加为因此一天的总收入为()由于。于是问题归结为：当时，求的最大值点，即求解(3)、模型求解。将()左边除以(1500.005)得由于常数因子对求最大值没有影响，因此可化为求的最大值点。利用配方法得易知当=25时最大，因此可知最大收入对应的住房定价为160元25元=135元相应的住房率为0.55+0.00525=67.5%最大收入为15013567.5%=13668.75(元)(4)、检验。容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实是最大的，这可从下面表格中看出。定价160元140元120元100元135元收入13200元13650元13500元12750元13668.75元如果为了便于管理，那么定价140元也是可以的，因为这时它与最高收入只差18.75元。如果每间客房定价为180元，住房率为45%，其相应收入只有12150元。由此可见假设是合理的。实际上二次函数在之内只有一个极值点。3、构造几何图形，求tg150的值。解一作rtbcd，使c=90，bdc=30，延长cd到a，使da=bd，则a=15。设bc=1，则bd=da=2，cd=，于是tg15=tga=。解二作rtabc，使c=90，a=30；再作a的平分线ad，则dac=15设bc=1，则ab=2，ac=，dc=actg15=tg15，bd=1tg15由三角形内角平分线性质得ab:ac=bd:cd，于是；。解三作正方形abcd。分别在边ab、ad上取点e、f，使ecb=15，fcd=15，则ce=cf，cef为等边三角形，且ae=af。设bc=1，则be=tg15，ae=1tg15。由勾股定理知；即 ；解得。4、某人步行5小时，先沿着平路走，以后上了山，然后又沿着原来的路线走回原地。已知他在平路上每小时走4千米，上山时每小时走3千米，下山时每小时走6千米。求走过的总路程。解设为某人走过的全部路程，为上山走的路程，则，即。5、对于任意给出的7个正整数，证明其中至少有两个数，它们的和或差能被10整除。证明全体正整数按个位数字分成下面6类：(0)，(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5)；其中(0)表示数10，20，30，；(1，9)表示数1，9，11，19，21，29，；(5)表示数5，15，25，；等等。由鸽笼原理可知，任意7个正整数其中必有2个属于同一类，而属于同一类的这两个数，它们的和或者差一定能被10整除。6、判断下列命题的正误：(1)有理数可分为有限小数和无限小数。( )(2)有限小数必为有理数。( )(3)有理数必为有限小数。( )(4)整数可以分为正整数、负整数。( )答(1)错误。因为无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数，而无限不循环小数是无理数，所以因分类标准不当导致错误。(2)正确。(3)错误。有理数中应包括无限循环小数。(4)错误。遗漏了非正非负整数零，不符合分类必须“无遗漏”的原则。7、已知aob及点p，连接op，若p点不在ob边上，且bop表示以ob为始边、按逆时针方向旋转到op的角，试比较aob与bop的大小。提示：分p点在aob内部，在oa边上，在aob外部三种情况分别进行讨论。8、解方程的最大整数。解先从的定义入手估计的取值范围，然后划分成若干小区间求解。根据的定义，由原方程得；即。解不等式得。由于原方程的解包含在的解中，因此可将划分为四个小区间来求解：(1)当时，原方程为。(2)当时，原方程为(3)当时，原方程为(4)当时，显然满足原方程。所以，原方程的解为。9、一个由父亲、母亲、叔叔以及个小孩组成的家庭，欲去某地旅游。甲旅行社的收费标准是：如果买四张全票，则其余人按半票优惠。乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的优惠。这两家旅行社的原价均为每人元。试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费总额更优惠？解根据题意，甲旅行社的收费总额为乙旅行社的收费总额为在同一直角坐标系中画出的图像。可知：当孩子数时，乙旅行社收费优惠；当孩子数时，两个旅行社收费相同；当孩子数时，甲旅行社收费优惠。10、设三角形的三边长分别为，试求此三角形的最大角。解(1)要求三角形的最大角，需要先判定哪一边最大。不妨用特殊值进行试探。令m=2，则。因此，可能是最大边长，但是这种猜测的正确性需要进一步证明。(2)证明为最大边长：由于是三角形的三边长，于是有。而当m1时，。所以，确为最大边长。(3)用余弦定理求最大角a：由，故最大角a=120。四、 教学设计1、利用下列材料，请你设计一个“分类法”教学片断。材料：提示：所设计的教学片断要求(1)依据给定的材料设计一个学生动手操作的活动，让学生分一分，想一想，说一说，充分展示学生对分类的思考，交流各种不同分法的依据，并通过反思不同分法找出分类的标准；(2)体现教师引导学生归纳概括“分类方法”的过程，并开展学法指导，使学生获得“单一标准下分类方法”的策略。2、假定学生已有了除法商的不变性知识经验，在学习分数的性质时，请你设计一个孕育“类比法”教学片断。提示：所设计的教学片断要求(1)以小组合作探究的形式，让学生举例说明除法的被除数和除数与分数的分子和分母之间存在什么样的关系(相似关系)？商与分数又有什么关系(相似关系)？那么与被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数其商不变相似的结论又是什么呢？通过一系列层层递进式的问题情境，把学生的思维导向分数与商相似的特征上来，创设学生自主探究分数的性质的全过程；(2)教学设计要体现教师引导学生归纳概括“分数的性质”的过程，并重视学习方法指导，使学生初步领会用“类比法”获取新知识的策略。答 (一)、列表类比(教师引导，师生共同描述除法的性质，再由学生通过类比归纳出分数的性质)除法分数除法的表示：ab分数的表示：除法的性质(一)：若m0，则(am)(bm)= ab分数的性质(一)：若m0，则除法的性质(二)：若m0，则(am)(bm)= ab分数的性质(二)：若m0，则除法的性质(三)：abc=a(bc)分数的性质(三)：除法的性质(四)：(ab)(cd)= (ad)(bc)分数的性质(四)：注：性质（三）、（四）作为扩展学习内容(应根据学生的实际情况取舍)3、利用下列材料，请你设计一个“数形结合”教学片断。材料：如图13-3-18所示，相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。(1)分别连接各点，组成下面12个图形，你发