南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学(含答案)

南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数 学 2016.05 注 意 事 项 ： 1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本 试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写 在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸 参 考 公 式 样本数据 x1，x 2，x n 的方差 s2 (xi )2，其中 xi 1n x x 1n 一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的 指 定 位 置 上 ） 1已知全集 U1，2，3，a，集合 M1，3 若 UM2，5，则实数 a 的值为 _ 2设复数 z 满足 z(1i)2 4i，其中 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数为 z 3甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续 5 轮比赛的成绩（单位：环）如下表： 选手 第 1 轮 第 2 轮 第 3 轮 第 4 轮 第 5 轮 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是 _ 4从 2 个白球，2 个红球，1 个黄球这 5 个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红 球的概率是 _ 5执行如图所示的伪代码，输出的结果是 6已知 ， 是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ，m 给出下列命题： lm； lm ； ml； lm 其中正确的命题是 (填写所有正确命题的序号) _ S1 I2 While S100 II 2 SSI End While Print I （第 5 题图） 2 7设数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn2a n2，则 a8a6 8设 F 是双曲线的一个焦点，点 P 在双曲线上，且线段 PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端 点，则双曲线的离心率为 _ 9如图，已知 A，B 分别是函数 f(x) sinx(0)在 y 轴右侧图象上的第一个最高点和第 3 一个最低点，且AOB ，则该函数的周期是 2 _ 10已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)2 x2，则不等式 f(x1) 2 的解集是 _ 11如图，在梯形 ABCD 中， ABCD，AB 4，AD3，CD2， 2 若 3，则 AM MD AC BM AB AD _ 12在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：(xa) 2( ya3) 21( a0)，点 N 为圆 M 上任意一 点若以 N 为圆心，ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点，则 a 的最小值 为 _ 13设函数 f(x) g(x)f( x)b若存在实数 b，使得函数 g(x)恰有 3 个零点，则实数 a 的 取值范围为 _ 14若实数 x，y 满足 2x2xy y 21，则 的最大值为 x 2y5x2 2xy 2y2 _ 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把 答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 在ABC 中，已知 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边若向量 m( a，cosA)，向量 n(cosC，c)，且 mn3bcosB O y x A B（第 9 题图） A B CD M （第 11 题图） 高三数学试卷第 3 页 共 17 页 （1）求 cosB 的值； （2）若 a，b，c 成等比数列，求 的值 1tanA 1tanC 16(本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D 为棱 BC 上一点 （1）若 ABAC ，D 为棱 BC 的中点，求证：平面 ADC1平面 BCC1B1； （2）若 A1B平面 ADC1，求 的值 BDDC 17 (本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ， x2a2 y2b2 点(2，1)在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l 与圆 O：x 2y 22 相切，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点 若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，求OPQ 的面积； 求证： OPOQ （第 16 题图） A B C D A1 B1 C1 O x y F P Q （第 17 题图） 4 18(本小题满分 16 分) 如图，某森林公园有一直角梯形区域 ABCD，其四条边均为道路，ADBC，ADC90， AB5 千米，BC 8 千米，CD 3 千米现甲、乙两管理员同时从 地出发匀速前往 DA 地，甲的路线是 AD，速度为 6 千米/小时，乙的路线是 ABCD，速度为 v 千米/小时 （1）若甲、乙两管理员到达 D 的时间相差不超过 15 分钟，求乙的速度 v 的取值范围； （2）已知对讲机有效通话的最大距离是 5 千米若乙先到达 D，且乙从 A 到 D 的过程中 始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度 v 的取值范围 19(本小题满分 16 分) 设函数 f(x)x 3mx 2m(m0) （1）当 m1 时，求函数 f(x)的单调减区间； （2）设 g(x)|f(x)|，求函数 g(x)在区间0 ，m 上的最大值； （3）若存在 t0，使得函数 f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数 f(x)的图象在这两 点处的两条切线都经过点(2 ， t)，试求 m 的取值范围 20(本小题满分 16 分) 已知数列a n的前 n 项的和为 Sn，记 bn Sn+1n （1）若a n是首项为 a，公差为 d 的等差数列，其中 a，d 均为正数 当 3b1，2b 2，b 3 成等差数列时，求 的值； ad 求证：存在唯一的正整数 n，使得 an+1b na n+2 （2）设数列a n是公比为 q(q2) 的等比数列，若存在 r，t(r，tN *，rt)使得 ，求 q 的值 btbr t 2r 2 （第 18 题图） CB A D 高三数学试卷第 5 页 共 17 页 南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 2016.05 注 意 事 项 ： 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案 写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指 定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 如图，已知半圆 O 的半径为 2，P 是直径 BC 延长线上的一点，PA 与半圆 O 相切于点 A， H 是 OC 的中点，AHBC （1）求证：AC 是PAH 的平分线； （2）求 PC 的长 B选修 42：矩阵与变换 已知曲线 C：x 22xy2y 21，矩阵 A 所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲线 C1，求曲线 1 21 0 C1 的方程 A PO H C （第 21 题 A 图） B 6 C选修 44：坐标系与参数方程 设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合已知椭圆 C 的参数方 程为 （ 为参数） ，点 M 的极坐标为(1， )若 P 是椭圆 C 上任意一点，试求 PM x 2cos，y sin ) 2 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标 D选修 45：不等式选讲 求函数 f(x)5 的最大值x 8 2x 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 从 0，1，2，3，4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记 X 为所组成的三位数各位 数字之和 （1）求 X 是奇数的概率； （2）求 X 的概率分布列及数学期望 23 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x0，y 0)在曲线 yx 2(x0) 上已知 A(0，1)，P n(x ，y )，n 0 n 0 nN*记直线 APn 的斜率为 kn （1）若 k12，求 P1 的坐标； （2）若 k1 为偶数，求证：k n 为偶数 高三数学试卷第 7 页 共 17 页 南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的 指 定 位 置 上 ） 15 23i 30.02 4 58 6 35 74 8 94 101，3 11 123 5 32 13(1 ，2) 14 1e2 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把 答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 解：（1）因为 mn3bcosB，所以 acosCccosA3bcosB 由正弦定理，得 sinAcosCsin CcosA3sinBcosB， 3 分 所以 sin(AC)3sinBcosB ，所以 sinB3sinBcosB 因为 B 是ABC 的内角，所以 sinB0，所以 cosB 7 分 13 （2）因为 a，b，c 成等比数列，所以 b2ac 由正弦定理，得 sin2BsinAsinC 9 分 因为 cosB ， B 是ABC 的内角，所以 13 8 sinB 11 分 又 1tanA 1tanC cosAsinA cosCsinC cosAsinC sinAcosCsinAsinC sin(A C)sinAsinC sinBsinAsinC sinBsin2B 1sinB 14 分 16(本小题满分 14 分) 证明：（1）因为 ABAC，点 D 为 BC 中点，所以 ADBC 2 分 因为 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，所以 BB1平面 ABC 因为 AD平面 ABC，所以 BB1AD 4 分 因为 BCBB 1B ，BC 平面 BCC1B1，BB 1平面 BCC1B1， 所以 AD平面 BCC1B1 因为 AD平面 ADC1，所以平面 ADC1平面 BCC1B1 6 分 (2)连结 A1C，交 AC1 于 O，连结 OD，所以 O 为 AC1 中点 8 分 因为 A1B平面 ADC1，A 1B平面 A1BC，平面 ADC1平面 A1BCOD， 所以 A1BOD 12 分 因为 O 为 AC1 中点，所以 D 为 BC 中点， 所以 1 BDDC 14 分 17(本小题满分 14 分) 解：（1）由题意，得 ， 1，解得 a26，b 23 ca 4a2 1b2 所以椭圆的方程为 1 x26 y23 2 分 （2）解法一 椭圆 C 的右焦点 F( ，0) 3 设切线方程为 yk (x )，即 kxy k0，3 3 高三数学试卷第 9 页 共 17 页 所以 ，解得 k ，所以切线方程为 y (x )4 分2 2 2 3 由方程组 解得 或 所以点 P，Q 的坐标分别为( ， )，( ， )， 所以 PQ 6 分 因为 O 到直线 PQ 的距离为 ，所以OPQ 的面积为 2 因为椭圆的对称性，当切线方程为 y (x )时， OPQ 的面积也为 2 3 综上所述，OPQ 的面积为 8 分 解法二 椭圆 C 的右焦点 F( ，0) 3 设切线方程为 yk (x )，即 kxy k0，3 3 所以 ，解得 k ，所以切线方程为 y (x )4 分2 2 2 3 把切线方程 y (x )代入椭圆 C 的方程，消去 y 得 5x28 x602 3 3 设 P(x1，y 1) ，Q(x 2，y 2)，则有 x1x 2 由椭圆定义可得，PQPF FQ 2ae( x1x 2) 2 6 分 6 因为 O 到直线 PQ 的距离为 ，所以OPQ 的面积为 2 因为椭圆的对称性，当切线方程为 y (x )时，所以 O PQ 的面积为 2 3 综上所述，OPQ 的面积为 8 分 解法一：(i)若直线 PQ 的斜率不存在，则直线 PQ 的方程为 x 或 x 2 2 当 x 时，P ( ， )，Q ( ， ) 2 2 2 2 2 因为 0，所以 OPOQOP OQ 当 x 时，同理可得 OPOQ 2 10 分 10 (ii) 若直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程为 ykx m，即 kxym0 因为直线与圆相切，所以 ，即 m22k 22 2 将直线 PQ 方程代入椭圆方程，得 (12k 2) x24kmx2m 260. 设 P(x1，y 1) ，Q(x 2，y 2)，则有 x1x 2 ，x 1x2 12 4km1 2k2 2m2 61 2k2 分 因为 x 1x2y 1y2x 1x2(kx 1m )(kx2m)(1k 2)x1x2km(x 1x 2)m 2OP OQ (1k 2) km ( )m 2 2m2 61 2k2 4km1 2k2 将 m22k 22 代入上式可得 0，所以 OPOQOP OQ 综上所述，OPOQ 14 分 解法二：设切点 T(x0，y 0)，则其切线方程为 x0xy 0y20，且 x y 2 2 0 2 0 (i)当 y00 时，则直线 PQ 的直线方程为 x 或 x 2 2 当 x 时，P ( ， )，Q ( ， ) 2 2 2 2 2 因为 0，所以 OPOQOP OQ 当 x 时，同理可得 OPOQ 10 2 分 (ii) 当 y00 时， 由方程组 消去 y 得(2 x y )x28x 0x86y 02 0 2 0 2 0 设 P(x1，y 1) ，Q(x 2，y 2)，则有 x1x 2 ，x 1x2 12 分 所以 x 1x2y 1y2x 1x2 OP OQ (2 x0x1)(2 x0x2)y02 因为 x y 2，代入上式可得 0，所以 OPOQ2 0 2 0 OP OQ 综上所述，OPOQ 14 分 18(本小题满分 16 分) 解：(1)由题意，可得 AD12 千米 由题可知| | ， 2 126 16v 14 分 高三数学试卷第 11 页 共 17 页 解得 v 4 649 647 分 (2) 解法一：经过 t 小时，甲、乙之间的距离的平方为 f(t) 由于先乙到达 D 地，故 2，即 v8 6 16v 分 当 0vt5，即 0t 时， 5v f(t)(6 t)2(vt) 226tvtcosDAB( v2 v36) t 2 485 因为 v2 v360，所以当 t 时，f(t )取最大值， 485 5v 所以(v 2 v36)( )225，解得 v 9 分 485 5v 154 当 5vt13，即 t 时， 5v 13v f(t)( vt16t) 29(v6) 2 (t )29 1v 6 因为 v8，所以 ，(v6) 20，所以当 t 时，f (t)取最大值， 1v 6 5v 13v 所以(v 6) 2 ( )2925，解得 v 13 分 13v 1v 6 398 394 当 13vt16， t 时， 13v 16v f(t)(12 6t) 2(16vt) 2， 因为 126t0，16vt0，所以当 f(t)在( ， )递减，所以当 t 时，f(t)取最大值， 13v 16v 13v (126 )2(16 v )2 25，解得 v 13v 13v 398 394 因为 v8，所以 8v 16 分 394 解法二：设经过 t 小时，甲、乙之间的距离的平方为 f(t) 由于先乙到达 D 地，故 2，即 v8 6 分 16v 以 A 点为原点，AD 为 x 轴建立直角坐标系， 当 0vt5 时，f( t)( vt6t )2( vt)2 45 35 由于( vt6t) 2( vt)225，所以( v6) 2( v)2 对任意 0t 都成立， 45 35 45 35 25t2 5v 所以( v6) 2( v)2v 2，解得 v 9 分 45 35 154 当 5vt13 时，f( t)(vt16t )23 2 12 由于(vt16t )23 225，所以4vt16t 4 对任意 t 都成立， 5v 13v 即 对任意 t 都成立 ， 5v 13v 所以 解得 v 13 分 398 394 当 13vt16 即 t ，此时 f (t)(12 6t )2(16 vt)2 13v 16v 由及知：8v ，于是 0126t 12 12 4， 394 78v 又因为 016vt3，所以 f (t)(126t) 2(16vt) 24 23 225 恒成立 综上可知 8v 16 分 394 19(本小题满分 16 分) 解：（1）当 m1 时，f(x) x3x 21f (x )3x 22xx(3 x2) 由 f (x)0，解得 x0 或 x 23 所以函数 f(x)的减区间是(，0) 和( ，) 2 分 23 （2）依题意 m0 因为 f(x)x 3mx 2m，所以 f (x)3x 22mxx(3x2m ) 由 f (x)0，得 x 或 x 0 2m3 当 0x 时，f (x)0，所以 f(x)在(0， )上为增函数； 2m3 2m3 当 xm 时 ，f ( x)0，所以 f(x)在( ，m)上为减函数； 2m3 2m3 所以，f(x) 极大值 f( ) m3m 4 分 2m3 427 当 m3mm，即 m ，y max m3m 6 分 427 427 当 m3mm，即 0m 时，y maxm 427 综上，y max 8 分 （3）设两切点的横坐标分别是 x1，x 2则函数 f(x)在这两点的切线的方程分别为 y(x 13mx 12m)(3x 122mx 1)(xx 1)， y(x 23mx 22m)(3x 222mx 2)(xx 2) 10 分 将(2，t) 代入两条切线方程，得 t(x 13mx 12m)( 3x 122mx 1)(2x 1)，t (x 23mx 22m )(3x 222mx 2)(2x 2) 因为函数 f(x)图象上有且仅有两个不同的切点， 高三数学试卷第 13 页 共 17 页 所以方程 t(x 3mx 2m)(3x 22mx)(2x) 有且仅有不相等的两个实根 12 分 整理得 t2x 3 (6m)x 24mxm 设 h(x)2x 3 (6m)x 24mxm ，h (x)6x 22(6m )x4m2(3 xm)(x2) 当 m6 时，h (x )6(x2) 20，所以 h(x)单调递增，显然不成立 当 m6 时， h (x)0，解得 x2 或 x m3 列表可判断单调性，可得当 x2 或 x ， m3 h(x)取得极值分别为 h(2)3m 8，或 h( ) m3 m2m m3 127 23 要使得关于 x 的方程 t2x 3(6m )x24mxm 有且仅有两个不相等的实根， 则 t3m8，或 t m3 m2m 14 分 127 23 因为 t0，所以 3m80， （*） ，或 m3 m2m0 （*） 127 23 解（*） ，得 m ，解（*） ，得 m93 或 m93 83 6 6 因为 m0，所以 m 的范围为(0， 93 ，) 16 分 83 6 20(本小题满分 16 分) 解：（1）因为 3b1，2b 2，b 3 成等差数列， 所以 4b23b 1b 3，即 4 3(2 ad) ， 3a 3d2 4a 6d3 解得， 4 分 ad 34 由 an1 b na n2 ， 得 and a(n1)d， 整理得 6 分 解得 n ， 8 分 由于 1 且 0 因此存在唯一的正整数 n，使得 an1 b na n2 10 分 （2）因为 ，所以 btbr t 2r 2 qt 1 1t(t 2) qr 1 1r(r 2) 设 f(n) ，n2，n N* qn 1 1n(n 2) 14 则 f(n1) f(n) ， qn 2 1(n 1)(n 3) qn 1 1n(n 2) qn 1(q 1)n2 2(q 2)n 3 2n 3n(n 1)(n 2)(n 3) 因为 q2，n2，所以(q1)n 22(q2) n3n 2310， 所以 f(n1) f(n)0，即 f(n1) f (n)，即 f(n)单调递增12 分 所以当 r2 时，tr2， 则 f(t)f(r)，即 ，这与 互相矛盾 qt 1 1t(t 2) qr 1 1r(r 2) qt 1 1t(t 2) qr 1 1r(r 2) 所以 r1，即 14 分 qt 1 1t(t 2) q2 13 若 t3，则 f(t)f(3) ，即 ， q4 115 q2 13 q2 15 q2 13 qt 1 1t(t 2) q2 13 与 相矛盾 qt 1 1t(t 2) q2 13 于是 t2，所以 ，即 3q25q50 q3 18 q2 13 又 q2，所以 q 16 分 高三数学试卷第 15 页 共 17 页 南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2016.05 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指 定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 证明：(1)连接 AB 因为 PA 是半圆 O 的切线，所以 PAC ABC 因为 BC 是圆 O 的直径，所以 ABAC 又因为 AHBC，所以CAHABC，所以PAC CAH， 所以 AC 是PAH 的平分线 5 分 (2)因为 H 是 OC 中点，半圆 O 的半径为 2，所以 BH3，CH1 又因为 AHBC，所以 AH2 BHHC3，所以 AH 3 在 Rt AHC 中， AH ，CH1，所以CAH30 3 由(1)可得PAH2CAH60，所以 PA2 3 由 PA 是半圆 O 的切线，所以 PA2PCPB， 所以 PC(PC BC)(2 )2 12，所以 PC2 10 分 3 B选修 42：矩阵与变换 解：设曲线 C 上的任意一点 P(x，y )，P 在矩阵 A 对应的变换下得到点 Q(x，y) 1 21 0 则 ， 即 x2yx，xy， 1 21 0xy xy 所以 xy，y 5 分 x y2 16 代入 x22xy2y 21，得 y22y 2( )21， 即 x2y 22， x y2 x y2 所以曲线 C1 的方程为 x2y 22 10 分 C选修 44：坐标系与参数方程 解：M 的极坐标为(1， )，故直角坐标为 M(0，1) ，且 P(2cos，sin )， 2 所以 PM ，sin 1，1 5 分 (2cos)2 (sin 1)2 3sin2 2sin 5 当 sin 时， PMmax ，此时 cos 13 所以，PM 的最大值是 ，此时点 P 的坐标是( ， )10 分 13 D选修 45：不等式选讲 解：函数定义域为0，4，且 f(x)0 由柯西不等式得5 2( )2( ) ( ) )(5 )2，5 分2 x2 4 x2 x 2 4 x 即 274(5 )2，所以 5