对称性在电磁学中的应用讨论 毕业论文.doc

2013 届本科毕业论文 论文题目 ： 对称性在电磁学中的应用讨论 作者姓名 ： 班 级 ： 08-1 班 专 业 ： 物理学 学 号 ： 指导教师 ： 完成时间 ： 2012 年 05 月 25 日 物理科学与技术学院 二一三年五月 对称性在电磁学中的应用讨论 内容摘要 对称性是电磁学中的一个重要概念，在物理学研究中占有重要地位，是现代物 理学中的主角，也是电磁学理论的重要组成部分。对称性要求对自然定律的形式是 一条强有力的限制。本文从普通物理教学的角度简要地介绍了对称性的概念和原理， 并结合对称性原理在电磁学中的若干应用举例，比较详细地阐述了应用对称性原理 解题的一般思路和方法。 关键词： 对称性 电磁学 应用 maxwell 方程组 目 录 引言 .1 一、对称性的定义及其分类 1 1. 对称性的定义 1 2. 对称操作与对称性 2 3. 对称性的分类 2 （1） 直观对称 .2 （2） 抽象对称 .3 （3） 数学对称 .4 4. 对称破缺 .4 二、对称性在电磁学中的应用 5 2.1 一般对称性问题 5 2.2 高斯定理与对称性 6 2.3 安培环路定理与对称性 .8 2.4 maxwell 电磁理论的对称性 9 三、结语 .11 4.1 参考文献 11 致谢 13 - 1 - 引言 在力学中,我们都知道对称性的重要作用,只要对称性成立,可以由它导出三大守 恒定律:能量、守恒、动量守恒和宇称守恒,三大守恒定律在力学中有着巨大的作用, 而在电磁学中,对称性同样也有着非常重要的作用。 一、对称性的定义及其分类 1. 对称性的定义 对称性（symmetry）是对一个事物进行一次变动，如果经过此变后，该事物完 全复原，则称该事物对所经历的变动是对称的，而此变动就叫做对称性。人们在观 察和认识自然的过程中产生的一种观念。对称性可以理解为一个运动，这个运动保 持一个图案或一个物体的形状在外表上不发生变化。在物理学中存在着两类不同性 质的对称性：一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类是物理规律的对称 性。物理规律的对称性是指经过一定的操作后，物理规律的形式保持不变。因此， 物理规律的对称性又称为不变性。 对称性（symmetry）是现代物理学中的一个核心概念，它泛指规范对称性 （gauge symmetry) , 或局域对称性（local symmetry）和整体对称性（global symmetry） 。它是指一个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性。 如果这些变数随时空变化，这个不变性被称为局域对称性，反之则被称为整体对称 性。物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦 方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。 数学上，这些对称性由群论来表述。上述例子中的群分别对应着伽利略群，洛 伦兹群和 u(1)群。对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性 （continuous symmetry）和分立对称性(discrete symmetry)。德国数学家威尔 (hermann weyl)是把这套数学方法运用物理学中并意识到规范对称重要性的第一人。 二十世纪五十年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的 拉格朗日量的形式，并构造了核作用的 su(2)规范理论。从此，规范对称性被大量 应用量子场论和粒子物理模型中。在粒子物理的标准模型中，强相互作用，弱相互 - 2 - 作用和电磁相互作用的规范群分别为 su(3)，su(2)和 u(1)。除此之外，其他群也被 理论物理学家广泛地应用，如大统一模型中的 su(5)，so(10)和 e6 群，超弦理论中 的 so(32)。 考虑下面的变换：将位于某根轴的一边的所有点都反射到轴的另一边，从而建 立一个系统的镜像。如果该系统在操作前后保持不变，则该系统具有反射对称性。 反射下的不变性（比如人体的两边对称性）与转动下的不变性（比如足球的转动对 称性）相当不同。前者是分立对称性，而后者是连续对称性 。连续对称性对任意小 变换均成立，而分立对称性却有一个变换单位，两者在物理学中都起重要作用。 2对称操作与对称性 德国数学家魏尔(hweyl)在 1951 年给对称性的普遍的严格定义：对一个事物 进行一次变动或操作，如果经过此操作后，该事物完全复原，则称该事物对所经历 的操作是对称的，而此操作就叫做对称操作。由于操作(变换)方式不同可以有若干 种不同的对称性。 （1）空间反演操作与镜像对称。空间反演操作类似于物体的平面 镜成像，具有对某一轴线或平面的对称性。如物理学中的位置矢量，经过空间反射 后，与镜面垂直的分量反向，与镜面平行的分量则不变。(2)空间平移对称操作与平 移对称。当某一物理规律经过坐标平移后仍与原规律相同，则为平移对称。例如， 我们将进行物理实验的全套仪器从北京运到上海，在两地会得到相同的物理定律， 即物理定律具有空间平移对称性。(3)空间旋转对称操作与转动对称。例如，太阳绕 通过其中心的任意轴旋转某一角度后，其现状与原状一样。进行物理实验的仪器转 动某一角度后，所得到的物理规律不会因空间的转动而发生变化，即物理定律具有 空间转动对称性。(4)时间平移对称操作与时间对称。我们所熟悉的 24 小时的昼夜 循环，在时间上就表现出具有周期性的平移对称；周期性变化的单摆只对周期 t 及 其整数倍的时间平移变换对称。空间对称性和时间对称性是最基本的、最常见的对 称性，统称为时空对称性。另外，量子力学中全同粒子互换后，得到具有交换对称 性的哈密顿算符，全同粒子体系波函数的对称性不随时间的平移而改变。 3对称性的分类 在自然界千变万化的运动演化过程中，运动的多样性显现出了各式各样的对称 性。 - 3 - （1） 直观对称 对称性的概念最初来源于生活，也就是直观唯象对称性，是许多事物所显示的 直观形象的对称。直观对称又表现为空间的、时间的和物理知识表达形式上的对称。 空间对称表现为：人体的左右对称、雪花的完美的六角对称、我国古代的宫殿、庙 宇和陵墓建筑的对称设计、正电荷与负电荷、反射与折射、杠杆的平衡、单摆的运 动和磁场的南北极等。时间对称表现为：音乐的等间隔重复节奏、地球的周期性公 转和自转、匀强电场不随时间发生变化等。物理学知识，如概念、规律、公式等， 在表达式上也表现出明显的直观对称。对称的数字、公式和图像是数学形式美的重 要标志，因为中心对称、轴对称、镜像对称都是令人愉悦的形式。如晶体结构具有 一定的几何学上的对称性；描述电磁场规律的麦克斯韦方程组具有形式上的对称性 等。天文学家历来喜欢用对称的几何图形来描述天体运行的轨道，如亚里士多德、 托勒密、哥白尼、开普勒等。例如，托勒密的地心说认为，各行星都在一个较小的 圆周上运动，而每个圆的圆心则在以地球为中心的圆周上运动。他把绕地球的圆叫 “均轮” ，每个小圆叫“本轮” 。同时假设地球并不恰好在均轮的中心，均轮是一些 偏心圆；日月行星除作上述轨道运行外，还与众恒星一起，每天绕地球转动一周。 托勒密这个不反映宇宙实际结构的数学图景，却较为完满地解释了当时观测到的行 星运动情况，并在航海上取得了实用价值，被人们广为信奉。后来，天文学家哥白 尼从对称美的角度考虑了宇宙的结构，他发现“地心说”的体系过于复杂，难以反 映宇宙体系的和谐、统一。他以崭新的日心模型为出发点，建立了对称性更高的 “日心说”来解释天体运行规律。 （2）抽象对称 随着人类认识的深入和发展，科学家面临着越来越多的抽象问题，许多问题仅 仅依靠简单直观的对称图像难以解决。这时抽象对称性就起到了重要的作用。抽象 对称性是将对称的直观表象和抽象思维相结合，从得出的某一个概念、规律或理论 中反映出新的对称性，是人类思维活动对于对称性的更深层次的认识和理解。统计 力学和误差理论中的概率思想，就是一种抽象对称：分子热运动在三维空间各自由 度上发生的概率都相等；气体对容器的压强处处都相等。例如，德布罗意从对称思 想认识到：19 世纪科学家对于光学的研究过于强调了波动性，忽视了粒子性的研究 方法；而对于物质的研究则过分强调了物质的粒子性，而忽视了物质的波动性。他 - 4 - 认为物质也应该具有与粒子性相对称的波动性，提出了物质波假说。再如，1931 年， 狄拉克运用对称思想提出了磁北极和磁南极是可以分开而单独存在的学说，称为磁 单极子理论。他的这一预言虽然至今未被确证，但许多物理学家正在通过各种实验 探寻磁单极子。 （3）数学对称 数学对称是指，如果某一现象(或事件)在某一数学变换下不变，那么该现象(或 事件)就具有该变换所对应的对称性，也叫做数学变换下的不变性。而在某种变换下 不变的理论叫做对称理论。数学对称是比抽象对称更加深刻的对称性，通常用群论 来描述对称性。如物理定律在洛仑兹变换下保持形式不变，就是数学对称性的体现。 在爱因斯坦建立相对论的过程中，数学对称性起到了重要作用。爱因斯坦认为，自 然科学的理论不仅要求一些基本概念或基本方程具有形式上的对称性，而且要求理 论本身具有内在对称性。爱因斯坦把现实的三维空间加进了时间因素，把三维空间 的对称概念拓展到了四维时空空间，探讨高维空间的对称性。 4.对称破缺 物理学中的对称性意味着守恒律的出现。对称破缺是当系统由于某种原因失去 了原有的对称性后，一定会进入到另一个与以前完全不同的状态，这就是对称性破 缺的概念。例如，水是各向同性流动的液体，水分子在水中沿各个方向运动皆可， 但当温度下降到零度以下时，水结成了冰，水分子在冰中按一定的择优方向排列， 形成了冰的几何结构，对称性降低，不再保持原来水中各向同性的对称性，即发生 了对称性破缺。 对称性破缺也是电磁学的重要概念。电磁学中的对称破缺，是指由于某一种对 称被破坏，引发出了更深化的思维认识，从而展现出物理学更高层次的对称。如核 子同位旋守恒遭电磁作用和弱作用破坏时表现出来的破缺；铁磁性材料，人们有时 俗称为吸铁石或磁石，在这类材料中，由于磁性原子之间的交换作用，使之具有自 发磁矩，对外呈现出磁性，称为磁有序；但当温度升高到一个临界温度（称之为居 里温度）以上时，磁性原子的磁矩在热运动的作用下呈现出混乱的排布，导致铁磁 性材料失去磁性，这个状态称为顺磁性，在没有磁场时,其磁矩排布是一种无序状态。 在顺磁状态下,磁矩分布杂乱无章，具有较高的对称性，在居里温度以下时，磁矩朝 某一个方向择优分布，出现磁有序，对称性随之降低，原有的对称性发生破缺，出 - 5 - 现了有序相，对外显示出磁性。这种对称性的缺失无需外来的激励，称为对称性自 发破缺，因此，铁磁有序相的出现必然伴随着对称性的自发破缺；铁磁材料中空间 各向同性的破坏；真空对称性的自发破缺等。 二、对称性在电磁学中的应用 在电磁学中，对称性也有着广泛的作用。以下将从几个方面分数对称性在电磁 学中的若干具体的作用。 2.1 一般对称性问题 例 1 求图 1 所示，半径为 r 带电为 q 的均匀带电细圆环轴线上一点的电场强 度。 图 1 解：以中心轴为 x 轴，取微元电荷 dlq 。 。xrx/qdeercos/lr/q i i 2320202044 如果上述问题改为一个带电细棒，求其中心轴线的场强分布，则根据对称性， 其场强沿中心轴线分布，其计算有相似的方法，于此不在赘述。 例 2 求一段长为 2l,线电荷密度为 的带电细棒在中心轴线处 p 点所产性的 场强。设 p 点与带电细帮的垂直距离为 l，如图 2 - 6 - 图 2 分析 场强是矢量，求场强需要解出每个分量的大小。不过此题有一个显著的 特点，就带电细棒关于其中垂线对称，因此我们可以建立如图所示坐标系。则细棒 上微元 在 点产生的电场在 y 轴方向上的分量（我们记做 ）必然会与dyp yde （与 关于轴线对称）在 点产生电场的相应分量抵消。因此我们只需考虑 p 轴方向上的电场分量 ，对其求积分即可。易得xxde 210 230204)ll(dlxdrcoscslxxx 。 其次，可以用对称性结合静电场高斯定理求解电场强度以及利用对称性结合磁 场的环路定理求解磁场强度这部分内容是电磁学教学中的重点，也是学生学习和理 解的难点。 静电场的高斯定理是点电磁学中一个重要定理，随然定理并不涉及场源（带电 体）的对称性，但是用它来求解对称分布的带电体的场强却是学生必须掌握的内容。 在这一类题目中，仔细分析带电体的对称性是问题的关键，因为我们需要根据带电 体的对称性选取适当高斯面。 2.2 高斯定理与对称性 求如图 2 所示半径为 r，电荷线密度为 的无限长均匀带电圆柱面在柱内外产 生的电场度。 解：因电荷柱对称，电场柱对称：e 沿径向，且距轴线 r 想等处 e 大小相等。过场点作与带 - 7 - 电柱面同轴的柱形高斯面 s， （见图 3） （图 3） 其高位 h,于是有： )r(e hq:rr:rqrhesd)(sdintint intl002020。 有的题目故意让带电体的对称性发生“残缺” ，这时就需要灵活处理了，如下例： 例 2 如图 2，在一个半径为 ，带电体密度为 均匀带点球体内挖去一个半径1r 为 的球形空腔（ ） 。设空腔中心 与带点球体的球心 之间的距离为 ，r22o1ol 求空腔内任一点 处的场强。p 分析 对于球对称体系的处理我们很熟悉，不过这里由于空腔的存在，体系不 再具有“球对称性” ，但是我们可以通过“补偿法”讲不对称条件化为对称条件，从 而简化问题。 先用体密度为 半径为 的均匀带电小球填充空腔，使球体变为完整的带电2r 球（记为球 1） ；再用体密度为，半径为 的均匀带电小球（记为球 2）置于空2 腔中，使得电荷分布与实际情况相同.这样腔中任何一点的场强可用球 1，球 2 所产 - 8 - 生的场强叠加来求解，即： 设 到 的位失位 ，由高斯定理得.ep21 1op1r 301 41 rrsdes 解之可得： .考虑方向：013r01 同理，设 到 的为失位 ，由高斯定理可以解得球 2 在 点产生的场强为2op2 p （大小） （矢量形式）023re013re 可以得到： l)r(p 021021 因此在空腔内是均强电场，大小是 ，方向与 相同。0321o 2.3 安培环路定理与对称性 磁场的安培环路定理与静电场高斯定理一样，本身的内容不涉及电流体系的对 称性，但是具体到计算则必定与一定对称分布的电流体系相联系。 例 3 一无限大载流导体薄板，单位宽度的电流为 ，求导体板周围磁感应强度i 的大小。 分析 如果我们先从场强叠加考虑，导体板可以视为无穷多个小线电流，任一 点 处的磁感应强度是这些小线电流产生的磁感应强度的矢量叠加。但是，这样一p 来我们的计算十分繁琐，尽管我们的想法是正确的（也可以得出正确结果） 。由于导 体板是无限长的，使得我们可以从空间对称的角度来考察问题。 显然，如果我们做一个矩形回路 (如图 3)，是 与 关于薄板对称，abcdabdc 图 4 那么 、 上的磁感应强度大小处处相等，方向分别沿 、 方向，并且abcd abcd - 9 - 、 上的磁感应强度方向分别与 垂直。bcdabcda 有安培环路定理，考虑沿 的回路积分有 liblldlblldbilbacdbcabi 00 0 解得： 。2 例 4 求如图所示总匝数为 ， 电流为 的密绕圆螺绕环的磁场分布。ni （图 5） 解：因是在流密绕螺绕环，磁场轴对称。距轴线 处r 磁场大小相等，方向沿切线。作同轴圆形环路 （见图 5） ，l 根据安培环路定理有： intitlirbld02 环在管内 nit 环管内磁场 )r(i20 （2） 环在管内lint 环管外磁场 。b 2.4 maxwell 电磁理论的对称性 在电磁学中，亥姆霍兹定理已知，场源的分布决定场的分布，而场的性质是由 场的通量、环流即高斯定理和安培环路定理描述，源的性质由源的散度、旋度描述， - 10 - 场矢量由场源唯一确定。根据对称性原理，当场源具有某种对称性时，场的分布也 具有相同的对称性。maxwell 方程组是电磁学的核心和灵魂，其所概括的电磁学基 本规律，也必具有对称性。maxwell 方程组高度地概况了电场，磁场的基本性质， 以及电场和磁场之间相互激励的普遍规律，方程组简洁、优美，具有融洽的对称性。 电场 磁场 (库伦力公式) (安培力公式) eqdf blidf (电场的叠加 ) （磁场的叠加） ,i ,i (库仑定律) (比奥-萨伐尔定律)rd304 304rid (电场中的高斯定律) （高斯的磁场定律） d;qss b;ss (电场中的环路定律) （安培的全电 1eld jhild1 流定律） （法拉第的电磁感应定律）tb;sdtb 1 （位移电流；总电流定律） tdjh;)tdj(ldh1 maxwell 方程 积分形式 微分形式 sd)tdj(ldh1 tdjh tbe1 tbe 0sds 0 qds d 由于 是极矢量，可以得出点电荷的场强 必定是球对称的，由此可得出场强沿任ee - 11 - 意闭合回路积分恒定与零，即 即得静电场是无旋的。同样由于磁感应强0dle 度 是轴矢量，可得出电流元的磁感应强度 必定具有轴对称性，由此可得出磁感bb 应强度曰沿任意闭合曲面的积分恒等于零，即得出磁场是无源的。由此可见，静电 场的有源无旋性和恒磁场的无源有旋性是由 为极矢量以及 为轴矢量的性质决定 的，也就是说，它们是由 和 的空间反射对称性或镜像对称性决定的。 e 三、结语 综述, 对称性是自然界非常普遍的现象，大到宇宙小到原子分子，都具有不同 程度的对称性。对称性概念事实上,对称性已经广泛地应用物理学及相关学科的各个 方面,它不仅是现代物理理论的重要组成部分,更是人们认识自然的一个重要理论工 具。在普通物理这一层次的教学中,鉴于对称性在电磁学解题中的重要作用。由论文 中的一些应用举例我们可以加深的理解对电场和磁场的一些分布问题，可以先从对 称性原