常微分方程在函数项级数求和中的应用 毕业论文.doc

常微分方程在函数项级数求和中的应用 摘 要 本文主要介绍了常微分方程几种常见的解法、函数项级数的基本概念和性质.然后运用常微分方程求解几类函数项级数的和函数，最后结合例题说明其在解题中的应用.关键词 常微分方程 函数项级数 和函数1 引言 对于常微分方程的基本解法、函数项级数求和的基本方法大部分教材都有详细论述.本文给出微分方程在函数项级数求和的几种解法,并探究其在解题中的应用.2 常微分方程常见的几种解法2.1 常系数齐次线性微分方程解法分析形如 (1)的方程称为阶常系数线性非齐次方程,其中,如果，即 (2)称为阶常系数线性齐次微分方程. 为求方程(2)的解，可以用特征根法（或称待定指数函数法），其基本思想是将微分方程(2)的求解问题转化为代数方程： (3)的求根问题.因此不必经过积分运算,只要求出方程(3)的全部根,就能写出方程(3)的通解,问题彻底解决. 根据解的结构定理，只要求出方程(1)的的任一特解,借助于方程(2)的通解，就可写出方程(1)的通解.求方程(1)的特解的方法有常数变易法，待定系数法，拉普卡斯变换法.常数变易法是求特解(1)较一般方法，适用于较为一般的函数，缺点是计算较为繁琐，而且还必须进行积分运算，可能会遇到积分上的困难，此解决还有一个缺点是满足的方程组不易推导，因此在求方程(1)的特解时，一般不提倡此法.其余二种解法只适用于（其中为非负整数,分别是次和次实系数多项式).2.2 一阶常系数线性方程组的解法分析形如 (4)的方程组称为一阶常系数线性非齐次方程组.其中,.当时，即 (5)称为一阶常系数线性齐次方程组.求方程(5)的解，一般需先考虑的特征根。当的特征根为单根时，用特征根法，此时只需提出每个特征根所对应的特征根向量，便可得到方程组(5)的通解；（当特征根时单复根时，需引入复根的概念在经过技术处理得到实解）；当的特征根有重根时,用特定系数法,也可以用的特征根求出指数矩阵而得到方程组(5)的通解,还可以不考虑的特征根,变换法求解,至于求方程组(4)的某一特征解,一般用常数变易法.2.3 典型例题（1）特征根法 例1 求方程的通解.解 特征方程的根为有两个实根和两个复根,均是单根,故方程的通解为 ，这里是任意常数. 例2 求解方程解 特征方程为，或，即特征根是重根.因此，方程有四个实值解故通解为,其中为任意常数.（2）常数变易法 例3 求方程于域上的所有解.解 对应的齐次线性微分方程为求得它的基本解组.事实上，将方程改写成积分即得所以这里为任意常数 易见基本解组为应用上面的结论，我们将方程组改写为并以代入,可得决定和的两个方程： 及于是故得原方程组的通解为 这里是任意常数，它包含了方程组的所有解.（3）比较系数法 例4 求方程的通解. 解 从上例知道对应的齐次线性微分方程的通解为 其中为任意常数.现求原方程的一个特解,这里,因为刚好特征方程的单根,故有特解形如,将它代入原方程得到,从而,于是,而原方程的通解为.3 函数项级数、幂级数概念与性质3.1 函数项级数定义及其相关性质（1） 定义设是定义在上的函数, 则称为定义在区间上的（函数项）无穷级数.（2）收敛点与收敛域如果,数项级数收敛,则称为级数的收敛点,否则称为发散点.函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域,所有发散点的全体称为发散域.（3）和函数在收敛域上,函数项级数的和是的函数,称为该级数的和函数.记为函数项级数的部分和,则，.余项. 其中 (在收敛域上). 例 5 求级数的收敛域.解 记，由达朗贝尔判别法： （1） 当.即或时，原级数绝对收敛. (2) 当.即时，原级数发散.（3）当或，即时，级数收敛；当时，级数发散. 故级数的收敛域. 3.2 幂级数的概念与性质（1） 定义：形如的级数称为幂级数.当时，级数为，其中为幂级数.（2） 定理: 如果级数在处收敛,则它在满足不等式的一切处绝对收敛; 如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切处发散. 证明 (1) 因为收敛，所以,. 即，使得，,.从而当时，等比级数收敛，所以级数收敛，从而级数收敛.(2) 假设当时发散,而有一点适合使级数收敛，由(1)结论,则级数当时应收敛,这与所设矛盾.推论 如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数r存在,它具有下列性质:当时,幂级数绝对收敛;当时，幂级数发散;当与时,幂级数可能收敛也可能发散.4运用常微分方程求解几类函数项级数的和函数4.1 求解一阶线性微分方程的方法导出常见的函数项级数求和的方法命题一 假设函数项级数 （6） 在区间上收敛并且可以逐项微分,其中连续可微,，,则级数(6)的和函数在下列情况下可由一阶线性微分方程求得：（1） 若为等比数列,有,其中为的公比；（2） 若为等差数列,有，其中为的公差。证明 对级数(6)在上逐项微分得：1） 若是等比数列,则对于任何非负整数,于是 在的情况下,求解一阶线性微分方程,由于级数(6)可以改写成 若取,便得，作为特例,取,其中常数,为的公比；则函数项级数.2） 当是等差数列时,则对于任何正整数,.则逐项微分得：求解该一阶线性微分方程得：利用,故求得. 即级数(6)在条件2）的的和函数 ， 例6 由命题1求级数：的和.解法一：解法二：若令，是公差的等差数列. 命题二 假设函数项级数 （7）在区间上收敛,且可以逐项微分,其中连续可微,，,则它们的和函数在下列情况下可用一阶线性微分方程求得,即在区间内：1） 若为等比数列，有，.其中常数为的公比.2) 若为等差数列,其中，有：,其中常数为的公差.证明 在上对级数(7)逐项求导得. 1当为等比数列时,;于是整理得 在,条件下,求解一阶线性微分方程得 由于,得.故所求级数(7)在条件1)下的和函数 ，.2) 当为等差数列时，,;则 在,条件下,求解一阶线性微分方程得 其中,故所求的级数(7)在条件2)的和函数为： 其中， .推论 若函数项级数 （8） 同样在满足命题二的条件下,其和函数分别为 ，；其中常数分别为满足命题二中1），2）条件的等比、等差.证明 在上对级数(8)逐项求导得： 1) 当为等比数列时,;于是整理得 在,条件下,可求得该一阶线性微分方程的解 而.故所求的级数(8)在条件1）下的和函数 ， 2)当为等差数列时,因为 在,的条件下,该一阶线性微分方程的解 其中，故所求级数(8)在条件2）下的和函数 ，例如 ，； ，. 命题三 假设函数项级数 （9）在区间上收敛并且可以逐项微分,其中连续可微,，,为任意非零实数,，则级数(9)的和函数在下列情况下可由一阶线性微分方程求得:1） 若是等比数列，有，其中常数是的公比；2） 若是等差数列,有,其中常数是的公差.证明 在上对级逐项微分得1) 当是等比数列时,;由于,显然.于是 .显然，. 否则常数 .从而.这是一个一阶线性微分方程，解此方程得.在的条件下,即级数(9)在条件1)的和函数, .于是级数(9)可以改写成若取,则有 , 例如：，2） 当是等差数列时，证明仿上（略）. 结束语 本文主要介绍了常微分方程几种解法、函数项级数的基本概念和性质.然后运用常微分方程求几类函数项级数的和，最后结合例题说明其在解题中的应用. 参考文献1 周尚仁，常微分方程习题集m,北京高等教育出版社,1984.2 复旦大学数学系编,数学分析m,北京高等教育出版社,19853 钱吉林等主编,数学分析习题解精粹m,上海崇文书局，20034 吉米多维奇数学习题集m,北京人民教育出版社,19785 裴礼文,数学分析中典型问题与方法m,北京高等教育出版社,1993.6 tom m. apostol,math|matical analyses m, beijing china machine press, 2004.application of ordinary differential equations in function series summation abstract in this paper, we mainly introduce several kind of solutions to ordinary differential equation, the basic concepts and the properties for series with function terms. the sum functions of several classes of series with function terms are solved by using ordinary differential