数学与应用数学毕业论文5.doc

存档编号 赣南师范学院学士学位论文凸函数的性质及应用教学学院 数学与计算机科学学院 届 别 2012届 专 业 数学与应用数学 学 号 080704025 姓 名 曹佳敏 指导教师 马丽 完成日期 目 录内容摘要 2关 键 词 2abstract 2key words 21、背景介绍 32凸函数的定义 33凸函数的性质331凸函数的运算性质 332凸函数的简单性质 432凸函数的连续性 432凸函数的可微性 54凸函数的判定定理 75凸函数的应用 751利用凸函数的性质证明不等式及例题 752利用凸函数的性质验证级数的收敛性及例题 11参考文献 15 内容摘要: 本文主要介绍了凸函数的一般性定义、基本性质，并介绍了凸函数的几何意义，研究了凸函数的性质及其常用的一些判别方法。在此基础上探讨了凸函数在证明不等式当中的应用和它与某些数项级数的敛散关系。关键词：凸函数 性质 应用abstract: this paper is devoted to introducing the general definition of the convex function 、basic properties,and the geometric meaning of convex function, then ivestigating the nature of the convex function and the commonly used some identifying method. on the basis of this,discusses the convex function in the proof of inequality and the application of and it with some several series convergence dispersion relationship key word: convex function properties application 1、背景介绍 凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用 在高等数学中利用导数讨论函数的性质时经常遇到这类特殊函数。凸函数的应用问题很有实用价值，关于凸函数相关问题的研究在国内外已有一定的研究，自建立凸函数理论以来,凸函数这一概念已在许多数学分支得到了广泛的运用。例如在数学分析,函数论,泛函分析,最优化理论等当中,现就凸函数的相关定义和性质，以及在证明不等式的应用合收敛级数方面的应用作进一步的探讨。2、凸函数的各种不同定义定义1：设函数在区间i上有定义，如果对于任意的和都有：， （1）则称为i上的凸函数，如果(1)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数；如果 (1)中的等号始终是成立的，那么称为i上的线凸函数。1905年丹麦数学家jensen首次给出了如下凸函数定义：定义2：设函数在i上有定义，若对中任意两点，恒有：则称为i上的凸函数.定义3：设函数f(x)在上有定义，对任意且，有：则称为i上的凸函数.3、 凸函数的基本性质31凸函数的运算性质（1）若与均为区间上的凸函数，则也是区间上的凸函数。（2）若为区间上的凸函数，则对于，有也是上的凸函数。（3）设与均为区间上的非负单调递增的凸函数，则也是上的凸函数。（4）设为上的凸函数，在相应区上单调递增，且为相应区间上的凸函数，则复合函数也是上的凸函数。3.2凸函数的简单性质性质1 凸函数的导函数是单调函数。注：如果存在，那么由的单调性就可导出，的正负来判定，反之亦然；若不存在，则可参照在论述可微性时定理1.2的证明。性质2 设是内的上凸递增(下凸递减)函数，则 存在。性质3 对于上的凸函数，存在自然数，使在内是单调的。性质4 对于内的凸函数，任取两点，且，则对于下凸（上凸）函数，曲线在过两点、弦的下方(上方)。33 凸函数的连续性为了讨论凸函数的连续性，引进凸函数的两个性质引理1：设在(a，b)内为凸函数，那么在(a，b)中的任意闭子区间有界。此引理证明只需根据定义1，即可。引理2：设为上的凸函数，那么在中任意闭子区间上,当时，有此处补充证明定理1：设为内的凸函数，那么在内连续。证明: 任取，从而总存在一个区间满足，因而由引理2，对，存在一个常数k0，使，那么对，取，那么当时，在点连续，由的任意性知在内连续。3.4 凸函数的可微性定理2：设 为内的凸函数，那么在内内处处左右可导，且,。证明：对内任一内点，因为内点，故，使得。从而有凸函数的性质有：，再由当增时，也增，故由单调有界原理知下极限存在，且 同理，在此式中，令，可知存在，且，于是定理2得证。3.5 凸函数的几何意义定理3：在区间上是线凸函数的充分必要条件为在区间上是一条直线，即. （2）证明：必要性：设f(x)为a，b上的线凸函数，那么可表示为或， （,3）且 ， （4）将(3)的后一式代人(4)就得.充分性：若，取任意的不妨令，则只需证：即可。，故当时有， 由知.因而充分性得证。定理3说明了线凸函数其实是一个直线函数。定理4：若为区间上的凸函数，则对任意的其中，有 反之亦然(其中)。补充证明。定理4揭示了凸函数的几何意义，见图1若p，q，r为f(x)的图像上三个点，并且q在p与r之间，则q在弦pr上或在pr的下方。图（1）4、凸函数的判定定理定理5：设，且在上可导，为凸函数的充要条件为：在a,b内为递增函数。定理6：设，且在上二阶导数存在，则为凸函数的充要条件为: .定理7：设，且在上可导，则f(x)为凸函数的充要条件为：有定理8：设为区间上的可导函数，则为凸函数的充要条件为：定理5：若对和，则为凸函数的充要条件为：5、凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数性质、定理来证明可以非常简洁、巧妙，证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但解决的关键在于凸函数的构造。5.1 利用凸函数的基本性质证明不等式（1）几何平均值不大于算术平均值设考虑指数函数，是凸函数，从而对 有令则得到 ，即“几何平均值不大于算术平均值”定理。（2）算术平均值不大于平方平均值考虑二次函数是凸函数，从而有令既得.即就是“算术平均值不大于平方平均值”。（3）一般的平均值定理考虑一般的幂函数，是凸函数，那么同样有，即一般的平均值定理，又可以称为：算术平均不大于p(p1)次平均。根据以上介绍的凸函数的定义及部分性质，以下就用之来证明不等式。定理10：(jensen不等式)设是区间i上的凸函数，则对任意，有。证明：应用数学归纳法。当 时，由定义命题显然成立。设 时命题成立。即对 ,都有现设及令则与数学归纳法假设可推得即证明了对任何正整数 ，凸函数总有上述不等式成立。注：jensen不等式是凸函数的一个重要性质。由于每个函数都满足jensen不等式，因而jensen不等式是研究不等式的有力工具。定理4.2：(holder不等式)设，则,其中，且；证明：令，因为，由判定定理知，在是严格凸函数，由jensen不等式，得到，今设为非负实数,且在上述表达式中以代替，得到由题设知，令不妨设，代人上式便得holde不等式.特别地，取时得就到cauchy不等式：.下面利用凸函数的性质、定理证明不等式。例1：证明个正数的倒数的算术平均值不小于这个数的算术平均值的倒数。证明：令因为所以在上是凸函数，在jensen不等式中取，则,即.例2：设a,b,c为abc的三边，s为abc的面积，求证s.证明：并由正弦定理：;设函数：，易知其为凸函数，于是由凸函数的性质：又易知：为凸函数，则，综上可知：，即原命题成立。通过以上几例，可以看到：函数的凸性在不等式的证明中是一种重要的方法，对一些乃至一类不等式，利用函数的凸性往往比一般方法更为简单易行。5.2 利用凸函数的基本性质验证级数收敛性对于一般凸函数的理论，在数学分析书中到处可见。在此，就上的凸函数的简单性质导出三个判断某些数顼级数的敛散性定理，并举例应用。对于区间上的凸函数，把改换成，就成内的凸函数。若存在，且,就说是上的凸函数，如= 是内的凸函数；是内的凸函数。根据凸函数的简单性质3，下面不妨就上的凸函数来研究它和某些数项级数的敛散关系。定理12 设是上的凸丞数，且存在，则级数收敛，其中.证明：由性质1知是n， 上的单调函数，则 ， 其中若是下凸函数，有，则若是上凸函数，有，则所以正项级数是收敛的。推论l 对于凸函数，若，且，则级数是收敛的。由性质2、性质3及定理12可得证。推论2 在定理12的条件下，数列（k=1，2，3.）是收敛的，且。由定理12及数项级数收敛的必要性可得。定理13设是上的凸函数，且存在，则级数与积分有相同的敛散性。证明： 由定理l2可知级数是收敛的，也就是是收敛的，其中。根据性质4，当为下凸函数时，递增且，当为上凸函数时，递减，且； 。所以级数与同时收敛或同时分散。又因为当充分大以后，为不变号的单调函数，所以级数与的敛散性是一致的，故本定理得证。推论1 设是上的上凸递增(下凸递减)负函数(正函数)，则与有相同的敛散性。在这种条件下，如果，是发散的；如果，才有收敛的可能。推论2设是上的下凸正递增数（上凸负递减函数)，则与都是发散的。这是因为在这种条件下，。例题1从积分当pl对收敛，当时发散，可以证得级数在pl时是收敛的，在0p1时是发散的。定理14 设是上的凸函数,且存在，则数列（n=1,2,3.）是收敛的。证明 因为，所以数列与数列有相同的敛散性。由于，从定理1的证明可知，数列是收敛的， 故数列是收敛的。例2 函数是1，+)上的凸函数，又，由定理3可知数列是收敛的。例4证明级数是发散的。证 令函数，则它是1，+)上的上凸函数，又，由定理3存在收敛数列 （），从不存在，得数列发散，也就证明发散。参考文献l裴礼文数学分析中的典型问题与方法m北京：高等教育出版社1988 2672华东师范大学数学系数学分析上册m北京：高等教育出版社.20013 林木元用凸函数性质证明数项级数的敛散性j广西梧州师范高等专科学校学报20034 熊鹏飞，付晓鹃凸函数的性质及其应