极大线性无关组的相关问题 毕业论文.doc

极大线性无关组的相关问题 摘 要本文主要讨论了向量的极大线性无关组的性质、求法、以及其在向量组和矩阵中的应用,并对每一条性质都给出了证明,在求解及应用的问题上给出了必要的例题加以说明,通过讨论,使读者对极大线性无关组有更好的认识.关键词极大线性无关组;线性相关;线性无关;向量组的秩1 引言一个向量组中可能包含有很多个向量,而向量组的极大线性无关组是向量组中重要的知识点,它能够为我们研究向量中的其他问题带来方便.但是,课本上对向量组的极大线性无关组这一问题介绍的内容比较有限,在此,就我所了解的一些与之相关的问题进行一个简单的归纳、总结,从而给出一个简单的较系统的讨论.2 预备知识定义2.1 向量称为向量组的一个线性组合,如果有数域p中的数使定义2.2 如果向量是向量组的一个线性组合时，我们也可以说可以经由向量组线性表出定义2.3 如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出,那么向量组就称为可以经向量组线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出,它们就等价.性质2.4 向量组之间的等价具有的性质：反身性:每一个向量组都与它自身等价.对称性:如果向量组与等价,那么向量组也与等价.传递性：如果向量组与等价,与等价,那么向量组与等价定义2.5 向量组称为线性相关的,如果有数域中不全为的数使.定义2.6 一向量组不线性相关,即没有不全为的数 使就称为线性无关.定义2.7 向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩定义2.8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量(如果还有的话),所得的部分向量组都线性相关.定义2.9 若向量组的一部分向量满足：1）线性无关；2）每一个向量都可由线性表示,则称此部分向量组为原向量组的一个极大线性无关组.定理 2.10 设为维向量,矩阵,令,其中为阶单位矩阵.如果,矩阵t经初等行变换与矩阵等价,则由得到能线性表示其余个向量的向量为向量组的一个极大线性无关组.如果,则线性无关.定义 2.11 齐次线性方程组的一组解称为方程组的一个基础解系,如果1）方程组中任意一个解都能表成的线性组合；2）线性无关定理 2.12 在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于,这里表示系数矩阵的秩.3 极大线性无关组的一些性质性质3.1 任意一个极大线性无关组都与向量组自身等价证明 假设向量组是向量组的一个极大线性无关组.欲证这两个向量组等价,只需证明这两个向量组可以互相线性表出即可是的一个部分中的每一个向量都可以由向量组线性表示即下证中的每一个向量都可以由线性表出显然，向量组中的部分向量组中的每一个向量都可以被线性表出,下面考虑中的向量假设向量是向量组中的任意一个向量则向量组线性相关即有不全为零的数使是线性无关的必有则上面的式子可改写为即可以被线性表出又是向量组中的任意一个向量中的每一个向量都可以由向量组线性表示综上可得,向量组与向量组等价命题得证性质3.2 向量组的极大线性无关组不一定唯一,但任意两个极大线性无关组都是等价的证明 假设向量组与向量组是向量组的两个极大线性无关组由性质3.1可知,向量组与向量组是等价的.与此同时,向量组也与向量组等价由向量组之间等价性质的传递性可知向量组与向量组是等价的命题得证性质3.3 秩为的维向量中的任意个线性无关的向量都是向量组的一个极大线性无关组证明 假设向量组的秩为,不妨设是向量组中任意个线性无关的向量.下面只需证明可以由线性表示即可.向量组是线性相关的,且是线性无关的可由线性表示又即是向量组中任意一个向量中每一个向量都可以由线性表出是向量组的一个极大线性无关组命题得证性质3.4 一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组证明 设向量组()是向量组(ii)的一个极大线性无关部分组.1）若(ii)中每个向量都可以由()线性表示,则()已为(ii)的一个极大线性无关组;2）若(ii)中有向量不能由()线性表示,则(v):,也是(ii)中的一个线性无关组.若,则(v)已是(ii)的一个极大线性无关组若,则(ii)中必有不能由(v)线性表示,则必线性无关继续以上过程,总可以得到一个包含()在内的线性无关组,使(ii)中每个向量都可以由它线性表示,即它是(ii)的一个包含()的线性无关部分组,亦即每个线性无关部分组均可扩充成向量组的一个极大线性无关组.性质3.5 一个向量组线性无关的充分必要条件是它的极大线性无关组中所含向量个数与该向量组中的向量个数相等证明 充分性:假设是向量组的一个极大线性无关组,则,由已知条件,可知,向量组的极大线性无关组中所含向量个数与向量组中所含向量个数相同则该向量组的极大线性无关组就是向量组本身即,这个向量组本身是线性无关的必要性：假设向量组是线性无关的则向量组的极大线性无关组就是其自身，显然,向量组中所含有的向量个数与极大线性无关组中所含向量个数是相等的综上可得,命题成立4 极大线性无关组的几种求法4.1 定义法所谓定义法，就是由已知条件,根据极大线性无关组的定义来求解向量组的极大线性无关组的方法.通过上面的两个定义可知,极大线性无关组主要强调了两个方面.一是,该部分中的向量本身是线性无关的,二是,它是所有的线性无关向量组中所含向量个数最多的线性无关组.下面我们通过例题的形式分别利用上面的两种定义来求解向量组的极大线性无关组.4.1.1 利用定义2.8求向量组的极大线性无关组 例1求向量组的极大线性无关组解：根据定义1)考虑,假设存在使得满足求出的值,易知则是线性无关的又即是线性相关的是向量组的一个极大线性无关组2)考虑,显然是线性无关的又是线性相关的是向量组的一个极大线性无关组3）考虑,显然也是线性无关的同理易知,也是向量组的一个极大线性无关组综上可得,和和都是该向量组的极大线性无关组4.1.2 利用定义2.9求向量组的极大线性无关组例2 求向量组的极大线性无关组解：是线性无关的,且由定义可知是向量组的一个极大线性无关组同理,考虑是线性无关的,且由定义可知是向量组的一个极大线性无关组考虑显然,是线性无关的,且由定义可知是向量组的一个极大线性无关组综上可得,和和都是该向量组的极大线性无关组.通过定义来判断向量组中的极大线性无关组直观明了,不需要很大的作业量,但是在我们遇到的问题中,不是所有的题目都能够一目了然直接进行判断的,这就需要我们对向量组中的向量进行一定的变形,也就是下面我们要说的初等变换法.4.2 初等变换法初等变换法是解决向量组的极大线性无关组中最常见的一种方法,它包括初等行变换和初等列变换两种,下面我们分别举例说明用初等变换法求解向量组的极大线性无关组的步骤例3设向量组试求出向量组的一个极大线性无关组.针对这一道题目,我们分别使用初等行变换和初等列变换两种方法来进行求解它的极大线性无关组.解：法一 将向量组作为某矩阵的列向量组,用矩阵的初等行变换,化矩阵为阶梯形矩阵,然后求解.将其设为矩阵的列向量,即令对矩阵施以初等行变换,化为阶梯形矩阵即记则由知向量组的秩由此可知中任意两个线性无关的向量都是其极大线性无关组.显然,由已知条件,我们知道向量组中除外.任意两个向量都不是线性相关的该向量组的极大线性无关组有:法二 将向量组的每一个向量作为一个矩阵的行向量,进行初等列变换,可得:观察所得到的矩阵,很容易得出与方法一相同的结果.即向量组中任意两个线性无关的向量都是该向量组的极大线性无关组综上可得,该向量组的极大线性无关组有:以上就是通过初等变换的方法求极大线性无关组的两种方式.这种解法的优点是,进行初等变换以后,向量之间的关系变的很清晰,极大无关组很容易找出.然而,在进行初等变换的过程中我们需要注意的是:当向量组作为矩阵的行向量时,要施以列变换,而当向量组作为矩阵的列向量时,要施以行变换.否则,将可能会导致我们得出错误的结果.下面,我们以这样一道例题来说明:例4 求向量组,的一个极大线性无关组解 将向量组中的向量作为行向量,得到矩阵,然后将矩阵化为行阶梯矩阵.可得,向量组是向量组的一个极大线性无关组.然而,实际上,即是线性相关的.因此,在使用初等变换法求向量组的极大线性无关组时,一定要分清楚什么时候进行行变换,什么时候进行列变换.4.3 选录法选录法也就是逐个删除法,在向量组中,取一个非零向量作为;取一个与的对应分量不成比例的向量作为;取一个不能由表出的向量;继续这一个步骤，直到选出的一个极大线性无关组为止.同样，下面给出例题对此进行举例说明.例5 求向量组,的一个极大线性无关组解：取考虑,显然与是线性无关的,故取考虑,由于,所以不能取为考虑,由于,所以也不能取为综上可得,就是该向量组的一个极大线性无关组.这种做法,思路很清晰也很简单,适合于向量组中所含向量个数较少的时候使用,但是当向量组中所包含的向量个数比较多的时候,如果再使用这样的方法就会变的费时费力了.以上的几种求解向量组的极大线性无关组的方法都有各自的优势与缺点,希望读者能在今后的求解极大线性无关组的问题中,针对具体的题目选择合适的解题方法,从而达到事半功倍的效果.4.4 利用定理2.10求极大线性无关组例6 求向量组,的秩和全部极大线性无关组.解 令矩阵,其中,为5阶单位方阵,作初等行变换,有秩有且只有一个2级子式为零它所对应的向量线性相关由为全部极大线性无关组的组数即除外,任意三个向量都是原向量组的一个极大线性无关组则该向量组的极大线性无关组有:、5 极大线性无关组的应用5.1 应用向量组的极大线性无关组求向量组的秩的问题关于向量组的秩这一概念,是这样定义的:向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩.秩的这一概念表面，秩是通过极大线性无关组中所含向量的个数来确定,那么,显然我们可以通过求解向量组的极大线性无关组来确定向量组的秩.例7 求向量组,的秩解 由于向量个数较少,我们采用选录法求其极大线性无关组考虑,取考虑,显然与是线性无关的,取考虑,由于,故不能取为综上可得,是向量组的一个极大线性无关组则易知,该向量组的秩为2通过以上的讨论我们发现,使用这样的方法去求解向量组的秩过程比较简单,但是这样的方法也只能是在向量组中向量的个数较少时使用.在向量组中所含向量个数较多的情况下,一般采用变换消元的方法来进行求解其极大线性无关组,与此同时,向量组的秩也就会在化简出的最终结果中得到.5.2 应用向量组的极大线性无关组证明向量组秩类问题例8 设向量组;的秩分别为,证明:证明 由已知条件,显然向量组与向量组均可以由向量组线性表示则,且即下证设向量组与向量组的极大线性无关组分别为；假设,则中必有向量(或)不能用向量组线性表出这与(或)是向量组(或)的极大线性无关组矛盾.故,综上可得,成立5.3 应用极大无关组证明矩阵秩类问题例9 证明证明 设,则不妨设与分别是与的列向量组的极大线性无关组则有，,从而,即a+b的列向量组可由线性表示故命题得证5.4 极大无关组在方程组中的应用例10 设其次方程组的系数矩阵的秩为,证明:方程组任意个线性无关的解都是它的一个基础解系证明 设为方程组的一个基础解系,是方程组的任意个线性无关的解向量则向量组的秩仍为由性质3.3我们易知和都是向量组的极大线性无关组则向量组与向量组等价综上可得,也是方程组的一个基础解系.参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室前数小组.高等代数m.北京:高等教育出版社,2003.9:117-127.2 邱森.线性代数m.武汉大学出版社,2007.7:83-87.3 陈维新.线形代数m.北京:科学出版社,2000:146-150.4 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