求函数极限方法的探讨 毕业论文.doc

1 本科学生毕业论文（设计） 题 目 （ 中 文 ） ： 求 函 数 极 限 方 法 的 探 讨 （ 英 文 ） ：beg function limit method is discussed 姓 名 ： 学 号： 院 （系）： 数 学 与 计 算 机 科 学 系 专 业 、 年 级 ： 数 学 与 应 用 数 学 2007级 指 导 教 师 ： 教 授 2011 年 3 月 20 2 目录 目录 2 1 绪论 6 2 一元函数极限概念与求法 7 2.1 一元函数极限的概念 .7 2.2 一元函数极限的求解方法 .7 2.2.1 利用一元函数的定义求解 .7 2.2.2 利用极限的四则运算求函数极限 .8 2.2.3 利用函数的性质求函数极限 .9 2.2.4利用等价无穷小代换求函数极限 10 2.2.5 利用无穷小量性质法 11 2.2.6 利用无穷小量与无穷大量的关系 11 2.2.7 利用数学公式，定理求函数极限 12 2.2.8 利用变量替换求函数极限 16 2.2.9 用左右极限与极限关系 17 3 二元函数极限的概念与求法 .18 3.1 二元函数极限的概念 18 3.2 二元函数极限的求法 18 3.2.1 利用二元函数的极限的定义求极限 18 3.2.2利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解 19 3.2.3利用极限的四则运算求 解 .20 3 3.2.4利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解 20 3.2.5利用等价无穷小替换求解 21 3.2.6利用分子或分母有理化求解 21 3.2.7利用夹逼定理求解 21 3.3 小结 22 4 结语 .22 5 致谢 .23 6 参考文献 .23 4 求函数极限的方法探讨 摘要 函数极限概念与函数极限求法是近代微积分学的基础，本文主要对一 元函数、二元函数极限定义和它们的求解方法进行了归纳和总结，并在某些具 体的求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便于我们了解函数的 各种极限以及对各类函数极限进行计算。函数极限的求法有很多，每种方法都 有其优缺点，对某个具体的求极限问题，我们应该选择最简单的方法。 【关键词】：函数定义，数学定理，公式，函数极限 5 beg function limit method is discussed abstract function limit concept and function limit of modern calculus is introduced, this paper mainly based on a circular function, dual function limit definition and their solving methods, and summarizes some concrete, and the solving method of should pay attention to in the details and skills so that we understand that various extreme and the function of various function limit to calculate. we have many function limit, each method has its advantages and disadvantages, to a specific ask, we should choose the limit of the most simple method 【 key words 】 : a function definition, mathematical theorems, formula, function limit 6 1 绪论 极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数 值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是高等数学中 一个非常重要的概念, 是贯穿高等数学的一条主线, 它将高等数学的各个知识 点连在了一起。所以,求极限的方法显得尤为重要的。我们知道,函数是高等数 学研究的对象,而极限方法则是在高等数学中研究函数的重要方法, 因此怎样求 极限就非常重要。 早在我国古代刘徽的九章算术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又 割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”就涉及了到了极限。古 希 腊 人 的 “穷 竭 法 ”也 蕴 含 了 极 限 思 想 。 到 了 18世 纪 ， 罗 宾 斯 、 达 朗 贝 尔 与 罗 依 里 埃 等 人 先 后 明 确 地 表 示 必 须 将 极 限 作 为 微 积 分 的 基 础 概 念 ， 并 且 都 对 极 限 作 出 过 各 自 的 定 义 。 在 有 了 极 限 的 定 义 之 后 ， 为 了 判 断 具 体 某 一 函 数 是 否 有 极 限 ， 人 们 必 须 不 断 地 对 极 限 存 在 的 充 分 条 件 和 必 要 条 件 进 行 探 讨 。 在 经 过 了 许 多 数 学 家 的 不 断 努 力 之 后 ， 法 国 数 学 家 柯 西 获 得 了 完 善 的 结 果 ， 即 柯 西 收 敛 原 理 。 到 了 近 代 ， 在 数 学 家 们 的 努 力 下 给 了 极 限 一 个 专 业 的 定 义 .有 了 极 限 的 定 义 自 然 就 有 了 许 多 求 极 限 的 方 法 。 求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求 函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、 利用等价无穷小代换、利用定积分求合公式、利用导数定义、利用泰勒公式、 利用黎曼引理、利用柯西收敛原理、利用罗必达法则求极限等一些方法，而其 中大部分是用于求解一元函数的极限。二元函数极限是在一元函数极限的基础 上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。比如,极限的四则运算法则是相同的,但 是随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多。因此 本文除了对一元函数的求解方法进行概括总结外，还对二元函数的求极限方法 进行了一些简单的归纳和说明，并与求一元函数的极限方法进行了比较，从而 使阅读本文的人更快更好的掌握一元函数，二元函数极限的求解技巧和它们的 异同点。 7 2 一元函数极限概念与求法 2.1 一元函数极限的概念 设 f:(a,+ ) r 是 一 个 一 元 实 值 函 数 ， a r.如 果 对 于 任 意 给 定 的 0， 存 在 正 数 x， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 x x 的 一 切 x， 所 对 应 的 函 数 值 f(x)都 满 足 不 等 式 . f(x)-a 1,n0)x nali 解: 当 x1 时,存在唯一的正整数 k,使得 k xk+1 于是当 n0 的时候有: 10 k nxna)1( 以及 k nkxn1 又因为当 x 时,k 有 knka)1(lim0)(li1aakn 及 1likn 0liakn 则： =0x nlim 小结：利用函数的基本性质来求解函数极限对一些特定的函数极限的求解 有着十分重要的作用，熟悉和了解函数的基本性质是解决此类函数极限方法的 重要前提。 2.2.4 利用等价无穷小代换求函数极限 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：, ， 存在，, lim 则 也存在，且有 = limlili 例题： 求极限 20sinco1lxx 解: ,sin2)(2 11 =20sinco1lmxx1)(2 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换， 若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无 穷小量之比的“阶数” 此外不仅无穷小量代换能求函数极限，还能运用无穷小量与无穷大量的关 系，以及无穷小量的性质法来求解函数极限。 2.2.5 利用无穷小量性质法 （特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数 f(x)、g(x) 满足： （1） 0)(lim0xf (2) (m 为正整数)mg 则： )(li0xfx 例题: 求 的极限x1sinl0 解: 由 而 lim0x 1sinx 故 原式 = 1sinl0x 2.2.6 利用无穷小量与无穷大量的关系 （1）若： 则 )(limxf 0)(1limxf (2) 若: 且 f(x)0 则 0)(lif )(1lixf 例题: 求下列极限 （1） （2）51limx1limx 解: （1）由 故 )(li 05li 12 （2） 由 故 =0)1(limx1limx 2.2.7 利用数学公式，定理求函数极限 2.2.7.1罗比塔法则（适用于未定式极限） 定理：若 axgfxffi xgxuxggfixxx)(lim)(li()l)( 0)()(0)li,0)(l) 0000 ） ， 则或可 为 实 数 ， 也 可 为内 可 导 ， 且的 某 空 心 邻 域在与 此定理是对 型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点： 1、要注意条件，也就是说，在没有化为 时不可求导。,0 2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的 导数。 3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若 遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。 4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求)(limxgfax 极限须用另外方法。 例题： （1） )1ln(2i0xex （2） 0,imax 解：（1）令 f(x)= , 21)(xex g(x)= l 1n2 , 1 )()(xexf 13 21)(xg2“3“ )1(),)xgexf 由于 0(,0()f 但 2)“g 从而运用罗比塔法则两次后得到 12)1(2lim12)(lim)1ln(im3021020 xexexe xxx （2） 由 故此例属于 型，axxli,li 由罗比塔法则有： )0,(1limlinlim1 xaxaxxa 小结：对于一些特定类型的函数求极限（ 型， 型）可以适用罗比 塔法则进行求解，关系是要知道此类函数的类型是属于 型还是 型。0 2.2.7.2利用泰勒公式 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方 便，下列为常用的展开式： 1、 )(!2nx xoe 2、 )()!12()!53sin 2nnxox 3、 )!(!421co 2nnxx 4、 1)ln( nno 5、 )(!)1()(!2)(1 nxoxx 14 6、 )(x1 2nxo 上述展开式中的符号 都有:)(n0)(lim0nxo 例题: 求 )0(2li0axax 解:利用泰勒公式，当 有)(21o 于是 xaxlim0 = x ax )12(li0 = x xoaoax )(2)(2lim0 = axxxx 21 )(1lim)(li 00 小结：此类题型考验的是我们对泰勒展式的熟悉程度，因此解决此类题目 要十分熟悉泰勒展式的结构以及用途。 2.2.7.3利用拉格朗日中值定理求函数极限 原理:若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间上连续 (ii)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点 ,使得abff)()( 此式变形可为: 15 )10( )()( abfabf 例题: 求 xexsinlimi0 解:令 对它应用中值定理得f)( )1(0 )sin(si)in()(sisin xxfxfxex 即: 1)(0 )si(sinsiin xxfxx 连续xef)(1)0()sin(silm0 fxx 从而有: silii0ex 小结：利用拉格朗日中值定理求函数极限关键至于拉格朗日中值定理的合 理运用。 2.2.7.4 利用黎曼引理求函数极限 求 （a0） 20coslim1apxd 解：原式= 0 00cos21cos21li limli ln()(1)a aap ppx pxddxda 2.2.7.5 利用夹逼定理求函数极限 若存在正整数 n,当 nn 时,有 xnynzn,且 ,aznxnlili 则有 .aynlim 例题： 16 求 f(n)= 的极限.21n 解: 对任意正整数 n,显然有 ,n22 而 , ,由夹逼性定理得01n lim2 即 f(n)= 的极限是 02 数学公式，定理在求函数极限的方法中有着大量的运用。不仅仅只有上述公式， 定理能求解出函数极限，还有柯西收敛准则，定积分求和公式等一些数学公式 定理能将函数极限求解出来。 2.2.8 利用变量替换求函数极限 此方法适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型 特别地有： m、n、k、l 为正整数。klxmn kl1i 例题： 求下列函数极限 （1） 、n （2） xm nx(li1)n1)3(limxx 解: （1）令 t= 则当 时 ,于是1x1t 原式= ntttt mtnmt )(lili 1211 （2）由于 1)23(lixx = 1m 令： t 17 则 ： 21tx = =1)3(limxx 1)(lix210)(limtt = etttt )(li)(li2 1010 2.2.9 用左右极限与极限关系 (此方法适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。 原理：函数极限 存在且等于 a 的充分必要条件是左极限 )(lim0xf )(lim0xfx 及右极限 都存在且都等于 a。即有：li0x = =aafx)(li0 )(0xf)(li0f 例题：设 = )(f1,22xe 求 及 )(lim0fx)(lif1)(lim)(li)(li 000 xxfexx x解 ： 由 1f)(lim0fx不 存 在由 （又 )(lim)01lili 0)1lim121 11xff xxxx 18 3 二元函数极限的概念与求法 3.1 二元函数极限的概念 设 为定义在 上的二元函数, 为 的一个聚点, 是一个确定的实fd2r0pda 数.若对任给正数 ,总存在某正数 ,使得当 时,都有0;u ,则称 在 上当 时,以 为极限,记作fpaf0a0limpdf 3.2 二元函数极限的求法 3.2.1 利用二元函数的极限的定义求极限 根据 点 沿任意连续曲线趋于 时0,lim,xyfxya,xy0,xy 趋于 .我们可取某一特殊方向 ,求出当 趋于 时, ,fak,xk 的极限,然后再利用定义验证这一极限是即为二重极限.xy 例 设 1sini,0,0, ,xyxyfo当 且当 或 求 ,0,limxyf 解 取特殊方向 ,求出 沿直线 趋于 时的极限yx,yx0,0, 001lili,limsnixyxxyff01lim2snx 现在用定义证明 ,0,lixyf 19 对 , 当 或 时,则 当 ,01,0xyxy=0， x , 时,有yf 当 , 时, ,当 , ,2xy2xy 时,有,0xy =,fxy1siniyx1siniyx ii 2 于是,对 , ,当 , , 时,有0xy0xfxy 所以 ,0,limxyf 3.2.2 利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解 若 在点 处连续,则,fxy0y0 0,lim,xyfxyf 例 求极限 2,0,1limxy 解 因为 在 处连续2, 所以 =2,0,1lixy20,1xy 3.2.3 利用极限的四则运算求解 设 时函数 和 的极限存在,则0,xy,fxyg ；0,1lim,xyf0 0, ,limli,xyxyfgy ；0 0 0, , ,2,xy 20 .30,limxyfxyg0,lim,xyfxyg0,li,0xygy 例 求极限 2,lixyxye 解 2,lixyxy2,limxy22,1lixyxxye 因为 且 2lim0xe1li0ye 故 2,lixyxy 同理 2,1li0yxxye 所以 2,limxyxy 3.2.4 利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解 若当 时, ,而 为有界变量 ,则当0,xy,0fxygxy 时, g 例 求极限 3,0, 1limsincoxyyx 解 因为 3,0,lixy 当 时, 与 均有界,1sinxcosy 所以 3,0,limi0xyy 3.2.5 利用等价无穷小替换求解 设 与 , 与 均是等价无穷小量,且 , ,则当 时,必 :lima或 有 limlia或 21 例 求极限 2,0,1coslimxyxy 解 因为 22cs:,0,x221xyxy1 又 ,0,limxy 所以 2,0,1coslixyxy22,0,1limxyyx 3.2.6 利用分子或分母有理化求解 若分子或分母的极限为 ,不能运用商的极限运算法则时,采用通过分子或0 分母有理化,消去分母中趋于零的因子,再运用极限运算法则. 例 求极限 2,0,lim1xyyx 解 2,0,lixyy22,0, 21li 1xyxyxy 22,0, 1limxyxy2,0,lim1xyxy 3.2.7 利用夹逼定理求解 若在 的某个领域内,成立不等式 ,且0xy,uxyfvxy ,则0,limxyu0,lixyvya0,limxya 例 求极限 22,lixxy 解 因为 2210xx 22 又 21lim0xx 所以 22,li0xxyy 3.3 小结 对于求二元函数极限，其中很多地方都能使用到求解一元函数极限的方法：定 义求解法、无穷小替代法，夹逼法等都能从中看到求一元函数极限的方法的踪 迹，要解得一个二元函数的极限就必须得熟练的掌握好一元函数极限极限的求 解方法，将其方法融入到求解二元函数极限中去，从而使得问更加的简单化， 明朗化。 4 结语 本文主要是在考虑函数极限存在的前提下撰写的。求函数极限的方法并不是 一成不变的，每一个题目适用于它的解决方法也不是唯一的，只要一个函数的 极限存在总会有一个或者多个方法与之对应。本文重点在于对一元函数极限的 求解方法，对于多元函数，只列举了部分求解二重极限的方法，而其中与一元 函数极限的求法有很大的联系，细观一元函数和二元函数极限的解法，可以从 中更好的了解到一个函数的性质，乃至用途。函数极限不仅仅是数分中的重点 难点，更是近代微积分学的基础，因此了解和熟练的掌握一个函数极限的求法 对于整个高等数学来说都是十分重要的。以上只是列举了大部分的函数极限的 求解方法，但方法并不只限于以上几种，或许还有未知的方法等着我们去发掘。 23 5 参考文献 1、王艳,周文丽,张俊丽,汤木兰 .求极限的几种方法j. 西安欧亚学院学报, 2005(3) 2、张宏达. 高等数学中求极限的常用方法j.北京交通管理干部学院