测空气阻尼常数毕业论文.doc

利用气垫导轨测空气阻尼常数及讨论周尊俊（陕西师范大学物理学与信息技术学院 陕西 西安 710062）摘 要：在大学物理实验教学中，利用气垫导轨的测量大多都忽略了滑块的运动阻力。但事实上，滑块运动过程中受到的阻力往往会给结果带来较大误差。这其中最主要的是空气粘滞阻力，气垫导轨实验中，理论上是无摩擦的，但是实际上存在许多的阻尼因素，滑块在气垫导轨上的运动是一种受到空气粘滞性摩擦阻力作用而缓慢减速的运动，本文对不含倾斜角误差的气垫导轨阻尼常数进行理论推导，并给出具体的测量方法，同时针对具体例子（两光电门之间的距离以及倾角对之间的关系）进行了讨论。关键词：气垫导轨；空气黏滞阻尼系数；光电门；上滑下滑法。1.引言飞机在空中飞行, 树在风中摇曳；一切与空气发生相对运动的物体都会受到与之接触的空气的摩擦力，在摩擦过程中, 这一气层会随着运动物体一起做适当运动；而与这一气层接触的下一层,由于分子力的作用, 对上一层产生的粘滞力,会往相反方向阻碍这种运动；一层一层的影响下去便形成流体中的流层。有时树欲静而风不止,有时狂风大作力拔大树,空气的粘滞力也是时大时小；航天飞机着陆进入大气层时, 空气的摩擦粘滞力可以产生千多度的温度, 可见其做功的威力1。表征流体粘滞力这些特征的系数叫粘滞系数。在一些力学实验中，由于空气粘滞力的影响会带来一些误差，所以研究空气粘滞系数的测量具有一定的实际意义。2.理论基础由气体内摩擦理论知道,如果用表示空气中物体所受粘滞性摩擦阻力,则在滑块的速度不太大时,可以认为由下式决定 式中表示滑块和导轨之间气层的速度梯度,a是滑块和导轨之间气层的面积，是空气的内摩擦系数。其中速度梯度可以改写成式中为滑块定向运动的速度,为垂直于导轨表面方向上滑块的漂浮高度，于是可得因此粘滞性阻力可以认为和滑块的速度成正比,如果同时考虑力的方向,则上式可以写成其中称为粘滞性阻力常数,它在数值上等于滑块具有单位速度时,滑块所受的粘滞性阻力常数的大小。显然，粘滞性阻力是和滑动摩擦力不同的一种气体间的内摩擦力,它是和速度有关的变力。b是衡量气垫导轨性能优劣的一个综合性指标。b值越大,表明滑块在一定的速度情况下所受到的粘滞性摩擦阻力就越大,滑块的运动离理想的无摩擦运动就越远,从而说明导轨的性能就越差。图1在倾斜气垫导轨上运动的滑块，所受到的外力如图所示滑块受到的粘滞性摩擦阻力的大小与滑块的速度成正比,它是一个变力。那么粘滞性摩擦阻力的存在，将会对滑块在倾斜气垫导轨上的运动产生怎样的影响呢？以下是滑块的运动分析：则滑块运动的微分方程为： （1） （2）令滑块运动的初始条件如下： ，那么方程(2)满足上述初始条件的解为： （3）且其速度方程为： （4）由(3)式和(4)式可知, 由于粘滞性摩擦阻力的作用, 滑块的运动不再是加速运动。为了更清楚地看出解的物理意义, 联立方程(3)、(4)并消去指数因子e, 得： （5）把代入(5)式得： （6）上式的物理意义很明显，前两项表示粘滞性摩擦阻力不存在时滑块作单纯的匀加速运动, 最后一项表示由粘滞性摩擦阻力所引起的附加速度的损失。附加速度损失的大小与导轨的阻尼常数b及滑块运动的距离成正比, 与滑块的质量成反比。粘滞性摩擦阻力对滑块运动的影响是引起附加速度的损失。由于在实验中必须对因粘滞性摩擦阻力的存在所引起的附加速度的损失进行修正，所以必须要解决粘滞性阻尼常数的测定问题。如图1所示, 让待测定气垫导轨倾斜一个小角度, 在该气垫导轨上相距为s的两个位置安装两个光门s1和s2, 使质量为m的滑块从导轨上端最高处或靠近最高处的某一位置自由下滑。此时滑块所受到的下滑力为f=mgsin, 空气粘滞性摩擦阻力为fu。设滑块通过光电门s1的速度为v1, 通过光电门s2的速度为v2,通过两个光电门s1、s2之间的距离s所需时间为t, 根据(6)式, 可得 （7）于是可得： （8）则利用(8)式可解出b值。这一方法在理论上是没有问题的, 但是在实际的测量中还存在着很大的问题。其原因是要测出导轨对水平的倾斜角, 需要应用公式sin=h/l, 式中h是导轨一脚端对水平垫高的高度，l是一脚端对于两脚端之间的垂直距离。在实验中,首先要把导轨调节到水平状态,正是这一点要求很难实现,通常我们认为已调水平的导轨, 实际上可能还包含着微小的倾斜角误差, 而值本身是极小的, 任何微小的倾斜角误差都会对b值的测量带来很大的影响,使测量的b值不可能准确。所以本文采用如下方法对b进行测定：为了用实验的方法消除倾斜角对b值的影响,我们可以采用上滑下滑法来测量。所谓上滑下滑法,即在同一倾斜角下,使滑块从倾斜气轨的最高处或靠近最高处的某个位置由静止开始自由下滑至底部并缓慢碰撞弹簧后弹回向上滑动图2为滑块反弹后在导轨上的运动受力分析来进行测定(如图2所示)。设滑块上滑时通过光电门 s2、s1的速度分别为v3、v4、t34为滑块上滑时通过两个光电门s2、s1的距离所需要的时间；滑块由静止开始自由下滑通过光电门s1、s2的速度分别为v1和v2，通过两个光电门的距离所需要的时间为t12.则根据(6)式可得: (9) (10)由(9)+(10)得: (11)(11)式为上滑下滑法测量气垫导轨阻尼常数的公式。该测量方法利用滑块在同一倾斜角情况下下滑和上滑的两组测量数据, 去消除难于准确测量倾斜角的影响。在(11)式中,除了两个光电门的距离s需用标尺读数外, 其余的v1、v2、v3、v4、t12及t34均可通过毫秒计数器来读数,具有较高的精确性, 从而使b的测量值准确可靠2。3. 测量b的具体操作方法：(1) 用纱布（或棉花）沾少许酒精擦拭轨面及滑块的内表面,并检查轨面气孔是否被堵塞,如发现有堵塞现象,要用细钢丝通一下。(2) 纵向调平:用一小型气泡水准仪放置在导轨的双脚端的垫脚上,通过调节底脚端螺丝来实现导轨的纵向水平。(3) 横向调平:给导轨通气,把滑块放置在导轨的中间位置,调节导轨单脚步端螺丝,使滑块处于静止或左右轻微运动状态,这样可认为导轨已被调平。(4) 在导轨单脚端垫上两片垫高片,将光电门s1、s2分别安装在90 cm和140 cm处。(5) 将计数器功能档置于加速度档每次使滑块从20cm处自静止开始下滑,在滑块下滑过了光电门s2后在反弹回来过光电门s2之间的时间里迅速将计数器清零，当滑块反弹回来过光电门s1后取下滑块,按取数键即可读出t12、t34,再按取数键并按转换键即可读出v1、v2、v3、v4。（本步骤的操作关键是及时清零,若不进行此操作将不能记录v3、v4和t34，但是清零后计数器是存储了v1、v2和t12的）.(6) 重复步骤(5)几次。注: (滑块滑行时所受阻力与滑行速度成正比, 速度大则阻力也大, 加之速度太大时滑块与导轨端面磕碰加剧。若不小心, 则会导致滑块跌落而变形, 所以滑行速度不能太大。此外滑行速度过小时, 由于气流不稳,压力不均或外界空气对流等因素, 又会使误差增加,所以速度也不能太小,一般在30cm/s60cm/s 3。)本文在如下条件下进行的测量结果如下: (垫高两个垫块,光电门s1、s2分别安装在90cm和140cm处。即=50cm，=199.5g，滑块从20cm处自静止开始下滑)表1：上滑下滑法个物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s149.3164.0259.8842.32907.471007.202.33249.3163.9859.8442.32907.721007.322.33349.2163.9059.7742.28909.041008.472.482.34449.1963.9059.7742.25909.091008.382.29549.2663.9859.8842.35907.971006.492.29根据 (12)，把各次测量的b值代入计算得=0.079g/s，于是由=得=(2.340.079)g/s。因为各次测量的b与的差均小于3, 所以测量的一致性较好。4. 探究b与两光电门之间的距离s的关系。若测量的b值随s的增大测量的一致性交好（不随的增大而增大），则气垫导轨的平直度很好。表2：s为40时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s152.4163.9059.5645.96706.7579.332.22252.4463.9059.5946.04706.33778.132.18352.5263.9859.7046.15705.34776.62.222.23452.4463.9059.6346.08706.34777.512.22552.4163.8659.5946.02706.63778.192.32垫两个垫片,滑块从20cm处由静止下滑,分别为40 cm、45 cm、50 cm、55 cm、60 cm、70 cm。表3：s为45时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s150.9463.9459.7044.21807.06892.412.35250.9763.9859.7444.31806.56891.482.22350.8963.9059.6644.19807.57892.652.292.33450.9763.9459.8144.33806.73890.672.46550.9963.9859.7444.27806.43891.712.35根据公式(12),把各次测量的b值代入计算得=0.052g/s,于是由=得=(2.230.052)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3,所以测量的一致性较好。表4：s为50cm时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s149.3164.0259.8842.32907.471007.202.33249.3163.9859.8442.32907.721007.322.33349.2163.9059.7742.28909.041008.472.482.34449.1963.9059.7742.25909.091008.382.29549.2663.9859.8842.35907.971006.492.29根据公式(12),把各次测量的b值代入计算得=0.089g/s,于是由=得=(2.330.089)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3,所以测量的一致性较好。根据公式(12),把各次测量的b值代入计算得=0.079g/s,于是由=得=(2.340.079)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3,所以测量的一致性较好。根据公式(12),把各次测量的b值代入计算得=0.099g/s,于是由 =得表5：s为55cm时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s147.7363.9859.9240.451013.081127.802.56247.7664.0259.9540.401012.751128.502.46347.6463.9459.8440.321014.011130.062.322.41447.7364.0259.9240.401012.901128.732.34547.6963.9859.9240.421013.571128.432.37表6：s为60cm时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s145.9863.9859.9938.301121.941255.942.41246.0063.9859.8838.241121.301257.832.29345.9864.0259.9938.361121.431255.522.252.32445.8763.9059.9238.261123.511257.822.32545.9663.9459.9538.331122.151255.722.35=(2.410.099)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3,所以测量的一致性较好。表7：s为70cm时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s142.8464.0660.1034.381326.851503.982.24242.8864.0260.0234.301326.901505.902.31342.8664.0660.1334.481326.851501.352.222.28442.9064.0660.0634.331326.301504.682.31542.8364.0260.1034.381327.961503.912.30根据公式(12), 把各次测量的b值代入计算得=0.060g/s,于是由=得=(2.320.060)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3,所以测量的一致性较好。根据公式(12), 把各次测量的b值代入计算得=0.043g/s, 于是由=得=(2.280.043)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3,所以测量的一致性较好。从以上的b与两光电门之间的距离s的数据可以看出,随s的增大,b的重复性很好, 说明该气垫导轨的平直度很好。5. 下面是实验测量与倾角（垫高片的个数）的关系：表8：垫1个垫高片时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s129.1041.9337.8520.961720.572093.372.32229.0941.9838.1021.121720.032070.922.21329.0241.9138.0821.201722.672071.152.092.20429.0541.9637.9620.911721.762083.072.16529.1041.9838.0221.001719.332077.332.20条件=60cm，滑块从20cm处自静止下滑表9：垫2垫高片时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s142.4661.3156.3432.931177.301371.442.23242.5461.3556.5933.441175.811359.272.16342.4861.2756.5033.211177.161364.202.342.27442.5761.3156.5633.361175.531361.402.31542.5061.2756.5933.421176.851359.482.29根据公式(12),把各次测量的b值代入计算得=0.084g/s, 于是由=得=(2.200.084)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3, 所以测量的一致性较好。表10：垫3个垫高片时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s152.8576.0470.4242.39947.481083.362.36252.8576.0470.4742.44947.191082.922.36352.8075.9970.4742.46948.041082.532.372.41452.8075.9970.4242.32948.361084.582.45552.9276.0470.5242.54947.771081.432.49根据公式(12), 把各次测量的b值代入计算得=0.072g/s, 于是由 =得=(2.270.072)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3, 所以测量的一致性较好。根据公式(12),把各次测量的b值代入计算得=0.06g/s, 于是由=得b=(2.410.06)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3, 所以测量的一致性较好。表11：垫4个垫高片是个物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s161.2788.1881.4349.12816.79935.892.30261.2088.1881.5049.12817.23935.902.29361.2788.1881.6349.28816.74934.552.412.43461.2788.1881.7749.36816.72932.832.60561.2088.1081.7049.36817.10933.062.53表12：当垫5个垫高片时各物理量的测量值测量次数cm/scm/scm/scm/smsmsg/sg/s168.6898.9191.2454.61728.0839.272.76268.6898.8191.5855.34728.45832.742.79368.6398.9191.7455.49728.51830.952.672.69468.6398.9191.7455.62728.47830.092.50568.6398.8191.7455.59728.53830.032.75根据公式(12), 把各次测量的b值代入计算得=0.138g/s,于是由=得=(2.430.138)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3, 所以测量的一致性较好。根据公式(12), 把各次测量的b值代入计算得=0.117g/s,于是由=得=(2.690.117)g/s。因为各次测量的b值与的差均小于3, 所以测量的一致性较好。从以上各次测量数据中可以得出,虽然每次测量的重复性都很好，但是b随（垫高片增多）增大而增大, 原因是随的增大, 滑块下滑的速度也增大, 在与底端弹簧的碰撞加剧, 导致导轨也有震动, 对实验测量带来误差。6. 误差分析在消除倾斜角误差的阻尼常数的测量中, 由于空气阻力与滑块速度成正比,所以在步骤（4）中倾斜角（垫高片的个数）的选定很关键, 过小的话下滑后速度小阻力就小, 对滑块的运动影响不明显,过大导致速度太大，在与低端弹簧碰撞加剧,导致导轨震动带来误差,另外速度过大在反弹时来不及清零计数器。（因为计数器不能同时记录两个时间间隔，所以测时间间隔时必须当滑块过光电门2后弹回来过光电门2之前清零计数器。又由于此清零不能清除v1、v2、t12（清零后存储在计数器中）但必须在清零后才能记录v3、v4、t34, 且两个时间间隔能同时读取）, 同时光电门2不宜超过140cm处, 在实验时可能来不及清零。虽然本实验解决了在过去测量时的两次下滑，但由于在试验中也存在偶然误差(比如计数器的预热时间等),所以实验时应多测几组数据求平均值。7. 结论 综合以上对b的测量及讨论,在测量时垫高片选择在1到3个之间,两光电门之间的距离在40cm70cm之间为最佳测量值。实验的各数据均表明, 空气的黏滞阻力的确对实验带来了影响, 但只要在实验中注意产生误差的原因及处理误差, 实验数据就能更加的精确。参考文献1 laurent jacquin. aircraft trailing vortices: an introduction. c. r. physique, 2005, (6): 395-398.2 羊现长,林红.关于气垫导轨阻尼常数的讨论j.海南师范学院报, 2002, 15(2): 35-40.3 祁青云, 王昆林. 气垫导轨上滑块运动空气黏滞阻尼因素研究j. 实验科学与技术, 2007, 1(5): 148-150.4 马葭生. 气垫导轨上滑块的运动分析j. 物理教学, 1980, 2(1): 32-35.5 沙振舜,马葭生.气垫导轨试验m.上海科学技术出版社, 1984, 01.6 贺德麟.气垫导轨粘性阻尼常数的测定j.物理通报,1999,(3):25-26.7 罗友仁.在气垫导轨上测空气黏滞系数j.物理实验,1997,17(6):247-248.8 杨述武.普通物理实验m.北京:高等教育出版社,1993,3. 9 马葭生.普通物理选题实50例m.上海:华东师范大学出版社,1987,7-42.10 段玉玲.复测法测定气轨的粘性阻尼常数j.物理实验,2001,21(6):41-42.11 秦允豪. 普通物理学教程热学m.北京:高等教育出版社,2001.12 梁秀慧. 奥林匹克物理实验m.北京大学出版社,1994.13 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