浅谈有限覆盖定理的若干应用—学士学位毕业论文.doc

学号：哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 浅谈有限覆盖定理的若干应用学 生 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目：浅谈有限覆盖定理的若干应用学生姓名：指导教师：年 级：专 业：数学与应用数学2011年3月说 明本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。说明课题的来源（自拟题目或指导教师承担的科研任务）、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。课题来源： 由指导教师提供选题课题研究的目的和意义：一元微积分学中最基本的公式 牛顿,莱布尼兹公式 表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示. 无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式. 1,单连通区域的概念2,区域的边界曲线的正向规定 此定理在数学的许多领域中都有广泛的应用，在科学研究及日常生活中也有广泛的应用，从而推动了科学的发展，给人们的生活带来很多便利。 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 有限覆盖定理是实数完备性定理中唯一一个反映整体性质的定理，在数学分析中占有重要的地位，在过去的几十年里关于它的研究已经取得了很大的进展，例如天津工程师范学院理学院雷超，从拓扑的观点出发，把有限覆盖定理进行了加强，使得它在证明聚点定理时更加方便，也使其应用起来更加便利。目前，数学界的几个著名专家正在从不同的角度致力于探讨这一课题，相信这个领域在未来几年里会有一个快速发展。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：内容：介绍适用有限覆盖定理的题目类型以及怎样在证明中应用有限覆盖定理。方法：收集资料，上网查询，与指导老师探讨。主要问题：怎样构造一个与欲证结论有关的覆盖，有限覆盖定理与其它实数基本定理的区别及联系。 解决办法：请求老师帮助，查阅资料。课题研究起止时间和进度安排：1：选题 2011年11月9日11月10日2：收集资料 2011年11月11日11月24日3：开题 2011年11月25日12月9日4：形成初稿 2011年12月10日2012年3月30日5：完成论文 2012年4月1日4月30日指导教师审查意见：指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见：_教研室（研究室）主任 （签字） 年 月院（系）审查意见：_院（系）主任 （签字） 年 月学 士 学 位 论 文题 目 浅谈有限覆盖定理的若干应用学 生 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 哈尔滨师范大学2011年4月目 录摘要1关键词1一、预备知识1二、有限覆盖定理的若干应用2应用1、证明半连续及绝对连续函数的有关性质2应用2、证明级数在闭区间上的有关性质5应用3、证明闭区间上连续函数的某些性质7应用4、运用反证法利用有限覆盖定理证明问题9应用5、证明实数连续性的其它性质10应用6、证明含参变量积分问题13参考文献：14英文摘要15浅谈有限覆盖定理的若干应用摘要：本文通过半连续函数及函数项级数等有关性质的证明，以及该定理在函数的连续及函数级数中一致收敛证明的实例，介绍了有限覆盖定理的使用方法，并具体列举了几种不同的命题，体现了它在证明命题中的若干技巧。关键词：有限覆盖定理；半连续；函数项级数英文摘要limited number of applications covering theoremwang xinabstract: in this paper, semi-continuous functions and functions related to the nature of such series of proof, and the theorem in the function of the continuous and uniform convergence of function series instance proof, introduced the use of finite covering theorem, and several different specific examples proposition that the question of its role in the proof.key words: finite covering theorem; semi-continuous; function progression 有限覆盖定理是实数完备性定理中唯一一个反映整体性质的定理，也是一个重要定理。它揭示了闭区间的一个本质性质：紧致性，它在极限理论中特别是连续性问题中起着重要作用。它的着眼点是闭区间的整体，而其它几个等价定理着眼点是一点的局部，因为它们在形式上的这种区别，所以在证明问题中也就具有不同的用途。有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中选有限个开区间也覆盖这个闭区间，由“无限转化为有限”的质的变化。它对证明函数的某些性质提供了有效的方法。所以，凡是证明的结论涉及到闭区间的问题，可考虑使用有限覆盖定理。但是，应用反证法，整体（即闭区间）与局部（即一点）又可以转化，所以否定了局部又回到了闭区间整体，从而也能够应用有限覆盖定理。本文即从这些问题出发，给予详细地叙述。一、预备知识定义1.1开覆盖的定义：设为数轴上的点集，为开区间的集合，（即中每一个元素都是形如的开区间).若中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖，或简称覆盖.定义1.2 半连续函数的定义：有一类函数并不连续，却具有一些连续函数相近的性质，这类函数就是所谓的半连续函数。任给,总存在,只要恒有，则称在点处上半连续。相应地，若只要恒有，则称在点处下半连续。定义1.3 绝对连续函数的定义：设是的函数，若对任意，存在，使得对于中的任意一组分点：，只要，便有，则称是 上的绝对收敛函数，或称在上绝对收敛。定理1.1 有限覆盖定理：设为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖. 中的开区间的个数是有限（无限）的，那么就称为的一个有限（无限）覆盖.二、有限覆盖定理的若干应用应用1、证明半连续及绝对连续函数的有关性质利用有限覆盖定理可以证明半连续函数的有关性质。定理2.1.1 若上半连续函数在中的每一点的均值为有限，则在上必为有上界的，即存在实数，使对任何有。证明：对每一个， ，是包含的开集，因此，是的开覆盖，由有限覆盖定理知，存在有限个，不妨设为，使，令，所以，有。定理2.1.2 设，分别在上、下半连续，且，则对任给，存在（于无关），使对于，只要恒有。证明：有定义，对及任一点，存在，当，时，恒有，。由于，从而有，记。则覆盖了闭区间，根据有限覆盖定理，可选出有限个子区间覆盖，设，对于，当时，必同属于某一个，事实上，设，则，即，根据的性质可知，。定理2.1.3 设、分别在闭区间上、下半连续,且。则任给,存在(与无关),使对于，,只要,恒有证明：由半连续函数的定义,对,及对任意一点,存在,当,时恒有，由于,从而有 记，则覆盖了闭区间,根据有限覆盖定理,在中存在有限个区间覆盖。设，对于当时，必同属于某一个。事实上，设，则，即，根据的性质可知，证毕。定理2.1.4 设是上的绝对连续函数，且a.e于，则为常值函数。 证明 我们把证明分成两步：1、先证，对任意，由假设是上的绝对连续函数，所以，对任意有限数，当互不相交区间满足：时，有 (1)记，从而，所以对上述，存在开集且.设为的构成区间族，则对任意，存在，使得时 (2)这时开区间族是的一个开覆盖，根据有限覆盖定理存在有限个开区间覆盖有界闭集。设它们是对有限点集作适当的增删处理，然后按大小顺序排列，使之成为的一个分划:，并且使得任何 必属于以下两种情形之一： (i)包含在某个之中； (ii)包含在某个之中，且有一端点刚好是。由此其中和分别表示具有形式(i)和(ii)的求和，根据(1)有，根据(2)有，由的任意性, 即得。2、对任意的，用代替重复1的讨论，便得到。证毕。应用2、证明级数在闭区间上的有关性质利用有限覆盖定理还可以证明级数在闭区间上的有关性质。定理2.2.1 设函数项级数在上收敛，且存在常数，使对任何自然数及实数都有，试证在上一致收敛。证明：在上收敛， ，当时，对一切及任意的自然数均有。现取，则任何把中值公式应用于函数得到 其中。显然开区间集，覆盖，从而必有有限子覆盖，取，则，于是，当时，对一切及任意的自然数均有，此即在上一致收敛。由此可见，有限覆盖定理将无限转化为有限，从而把函数在闭区间上的局部性拓广为闭区间上的整体性。定理2.2.2 （狄尼定理）设能取到适当，使由函数以及点所作出的，满足条件：对某正数，使在上，为可积和绝对可积，那么的傅里叶级数在点收敛于。证明：任给，任取。由于收敛于，必有使，与都在点连续，必有，使当且时，有，。从而 由于是单调数列，所以当时，也有对于每个，都可以做出的一个满足上述要求的邻域。这些开区间的全体覆盖了。据有限覆盖定理知，从中必可选取有限个开区间，它们覆盖了。取，那么当时，对任何必有，使，又，有。所以在上一致收敛于。定理2.2.3 设函数项级数在上收敛,且存在常数使得对任何自然数及实数,恒有。试证在上一致收敛。证明：因为在上收敛,所以任给正数,对于中的任一点,必存在正整数,使得，。 设，。对,总存在,对于任意,恒有 其中，。显然,开区间族覆盖了闭区间,由有限覆盖定理知,必存在有限个开区间,它们覆盖了。取,则时,对任意都有，于是,由柯西一致收敛准则知,函数级数在上一致收敛。注：在以上的证明中用了微分中值定理，其中在与之间。应用3、证明闭区间上连续函数的某些性质定理2.3.1 （有界性定理）若函数在闭区间上连续，则在上有界注：该命题也是由函数在点的局部性质推及到其在闭区间上的整体性质，所以适宜用有限覆盖定理直接证明。证明：由连续函数的局部有界性，对每一点都存在邻域及正数，使得，考虑开区间集显然是的一个无限开覆盖由有限覆盖定理，存在的一个有限子集覆盖了，且存在正数，使得对一切有 令则对任何，必属于某即证得在上有界定理2.3.2 （一致连续性定理）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续注：一致连续性定理将每一个点的局部性质推广到函数在整个闭区间上的整体性质，因此适合用有限覆盖定理直接证明。证明：由在上的连续性，任给，对每一点，都存在，使得当时有。考虑开区间集合 显然h是的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在h的一个有限子集覆盖了。记。对任何,必属于中某开区间,设，即。此时有故由，同时有和，由此得。所以在上一致连续。定理2.3.3 （最大(小)值定理）在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。下面只证明在闭区间上的连续函数有最大值，同理可证明有最小值。证明：因为在上连续，所以有界。设（有界函数必有上确界），即对所有，有，因为在中任意一点连续，故。由于,故存在的邻域,使对所有,有。当取遍的一切值时,组成了一个开区间集,覆盖了闭区间。由有限覆盖定理,存在有限个这样的开区间覆盖。令,由于属于某个区间,所以,故是在的一个上界。但这是不可能的,因为,因此必有,使得。应用4、运用反证法利用有限覆盖定理证明问题局部和整体是可以转化的，在证明一些函数的性质时，通过反证法可利用有限覆盖定理推出矛盾，达到解决问题的目的。因为用反证法时，这些由整体到局部的命题又颠倒过来，变成由局部到整体以至推出矛盾，因此还是适合用有限覆盖定理。定理2.4.1 （致密性定理）若数列有界，则它存在收敛的子数列。证明：用反证法，由有限覆盖定理推出矛盾。已知数列有界，即，有，假设数列不存在收敛的子列。（必是无限数级）。即，数列没有收敛于的子列，即，在的邻域内只有数列的有限多项，已知，根据有限覆盖定理有于是内只有数列的有限多项，从而内只有数列有限多项矛盾。定理2.4.2 （戴狄金定理）对于实数域内的任一分划，则或者中有最大数，或者中有最小数。证明：若不然，由、皆不空，可取，由与不交知，对，因中无罪大数，故存在，使。同理，对亦然，由有限覆盖定理，必有有限个小区间覆盖，从小到大依次为 ，设为中最后一个小区间，则因中无最大数知，存在使得因此，不属于上述任一小区间，矛盾。定理2.4.3 设在上无界，求证存在, 使得对任意,函数 在上无界。注：此命题也是由点集的整体性质得出某一点的局部性质，因此用有限覆盖定理的反证法。证明：用反证法，设对任意，存在，使得在上有界。设,则是的一个覆盖，则此时存在的一个有限覆盖，设 , 。记,则有， (对任意)注意到 构成的一个有限覆盖，故，这与在无界矛盾，故原命题成立。定理2.4.4 （根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且，那么在开区间上，至少存在一点，使得。证明：设在上连续与异号，现证方程在内至少有一实根，假设方程在内无实根，则对每一点，有，据连续性，存在正数，使得在上与点的函数值同号。令，则是的一个开覆盖。据有限覆盖定理，中必存在有限个邻域能覆盖。设这有限个邻域为：且。不妨设其中任意两个邻域无包含关系（否则，去掉被包含的邻域仍能覆盖），于是， ，。而在每个内不变号，由此推得在内不变号，故在上不变号，这与题设、异号矛盾。因此，方程在至少有一实根。应用5、证明实数连续性的其它性质定理2.5.1 （聚点定理）直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点。（本身可以属于，也可以不属于）注：聚点定理是由点集的整体性质得出某一点的局部性质。 证明：设为直线上的有界无限点集，于是存在，使，用反证法，假设中任何点都不是的聚点，则对每一点存在相应的，使得内至多包括的有限多个点，令，则是的一个开覆盖，由有限覆盖定理，中存在有限个邻域，它们构成了的有限覆盖，从而也覆盖了，由于每个邻域至多含有的有限个点，故这个领域的并集也至多只含的有限个点，于是集也至多只为有限点集，这与题设为无限点集矛盾，故得证。定理2.5.2 （区间套定理）若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，即 ,。证明：已知有一区间套， ，要证存在唯一的，且。用反证法：，、极限若存在则必在内。若不存在，即，使。构造的一个开覆盖，由有限开覆盖定理知有的有限子覆盖。，使，即，而由有限覆盖定理的加强形式知，只要，则存在中的一个区间，覆盖，。，时，而时，也即存在一开区间将，及后面的项全部覆盖，这与中任一区间都不能覆盖自某项后所有项矛盾。存在，同理存在。由知。记。用反证法易推出，若，由单调递减知使，令得，矛盾，同理知。，的唯一性显然，由极限唯一性亦可得知。区间套定理得证。定理2.5.3 （柯西收敛准则）数列收敛对于任意，存在正整数，当时，有。证明：设数列满足柯西条件，即对任意给定的，存在，使得当时，。另不妨设时，容易看到满足柯西条件的数列是有界的。于是设，现正存在，假若不然，则按聚点的定义，任何都不是的聚点，因为若是的聚点，则按聚点的定义能从选一个子列使，从而由柯西条件推出原数列。既然任何都不是的聚点，所以对任何，存在正数，使不含异于的中的点，这些覆盖了，由有限覆盖定理，存在有限个就能覆盖，设这有限个为，但每个不含异于的中的点，所以这个并至多含中的个点，与这个开区间覆盖矛盾。证毕。定理2.5.4 （确界存在性定理）若非空数集有上界（下界），则数集一定存在上确界（下确界）。证明：设是有上界的一个数集，假若无上确界，我们将引出矛盾。令，是的一个上界，即对任何，。对任何，则有三种可能：（i），（ii），是的一个上界，（iii）不是的上界。若，因中无最大数，所以有，使，取正数，则中的任何数都不是的上界。若是的一个上界，因它不是上确界，所以至少存在一个正数，使对一切都有。所以中的每个数都是的上界。若，不是的上界，则存在使，取正数，则中的数都不是的上界，所以对任何都存在正数使中的每个数都是的上界，或者中的每个数都不是的上界。显然覆盖了，由有限覆盖定理，存在，使有限个开区间就已覆盖了。把这个开区间分为两组：第一组中的数都不是的上界。第二组中的数都是的上界。第一组的中心中的最大者记为。第二组的中心的最小者记为。与显然不相交，且，所以，且中的数不属于上述个开区间中的任何一个，这与上述个开区间覆盖矛盾。证毕。应用6、证明含参变量积分问题定理2.6.1 已知非负函数在上连续, 连续,则在上一致收敛于。证明：令,易