物理学专业论文31019.doc

毕业论文基于计算机仿真技术的动态利萨如图dynamic lissajous figure based on the computer imitation technology基于计算机仿真技术的动态利萨如图中 文 摘 要本设计介绍了计算机仿真技术的原理、特点、应用领域，利萨如图的传统做法在教学中的问题，以及现在如何使用计算机技术精确绘制我们需要的利萨如图，如何有效、清晰地演示利萨如图的形成过程。关键词：mathcad；利萨如图；计算机仿真dynamic lissajous figure based on the computer imitation technologyabsractthe design introduced the principle,characteristics,the area of usage about computer imitation technology and the problem of teaching which is found in the traditional practice of lissajous figure. how to make a lissajous figure exactly now and how to practise the forming process availably and clearly are the aim of this design.keywords: mathcad;lissajous figure;computer simulation 目 录中 文 摘 要1英文摘要11. 引言32. 计算机仿真技术介绍33. 利萨如图形成原理24. 静态利萨如图的绘制34.1 简单静态利萨如图的绘制34.2 复杂静态利萨如图的绘制45 动态利萨如图的绘制55.1 利萨如图的形成机制演示55.2 利萨如图随相位差的动态变化96. 结束语10参考文献11致谢12121. 引言传统利萨如图一般用示波器演示,在观察利萨如图形时，常常用两台单独的信号发生器产生的正弦信号送入示波器来实现，这样做很难得到稳定的、不同相位差、不同频率比的利萨如图形。利用机算机仿真技术可以准确地实现不同相位差、不同频率比的利萨如图形的绘制，更为有意义的是可以实现利萨如图的形成过程的清晰演示。 2. 计算机仿真技术介绍随着计算机功能的日益强大，计算机及计算机技术的普及，研究事物必须建立在具体实物模型之上的时代已成为过去，现在的科学研究中，计算机仿真可以实现在虚拟的模型中对事物进行分析、研究、过程推演。现实世界的绝大部分模型都不能求出显式解,譬如在量子力学中,很多问题并不能直接的得到解析解,这时一般可以通过仿真的办法来研究这个系统,使得研究的系统能够更直观的呈现在我们的面前,便于更准确的把握物理图象和解释物理绘图。仿真技术则是以相似原理、信息技术、系统技术及应用领域中的相关专业技术为基础,以计算机和各种物理效应设备为工具,利用系统模型对实际的或设想的系统进行实验研究的一门综合技术1。计算机仿真技术最大的特点是效果相似于多媒体技术，本质上却有很多的不同，仿真技术是基于事物客砚的规律，其中的的每一步都遵循相关的物理数学规律。因此可以对事物进行精确的过程模似，利萨如图就是其中一个很好的例子。传统的利萨如图主要是两种，一是利用示波器进行信号输入，调节示波器得到各种频率比，相位差的利萨如图，这种方法最大的缺点是忽略了利萨如图的形成过程，只是输出结果，在课堂教学中实际效果也不好。二是利用沙漏进行实际演示，这个实验要做好，必须把握好沙漏的摆动稳定性，控制好沙子的漏出时间，操作须有丰富的经验才能较好实现，也很难达到教学效果2。利用计算机仿真技术就可以很好地解决这个问题，精确绘制各种频率比的利萨如图，利萨如图的形成过程演示都变得很容易。这里我使用的作图软件是mathcad下面简单介绍一下mathcad。mathcad是美国mathsoft公司推出的一个交互式的数学软件，在输入一个数学公式、方程组、矩阵之后，计算机能直接给出结果，而无须去考虑中间计算过程。你可以在计算机上输入数学公式、符号和等式等，很容易地算出代数、积分、三角以及很多科技领域中的复杂表达式的值，并可显示数学表格和图形,通过对图形结果的分析，使我们对问题的理解更加形象。3. 利萨如图形成原理设某一质点同时参于了两个简谐振动,两个振动的方程式如下：x1=a1cos(w0t+1)x2=a2cos(w0t+2)当两个振动是同方向不同频率的振动时，合成就变得很容易，这两个合成振动的位移为:x=x1+x2接下来就是数学处理了。当两个振动是方向互相垂直不同频率的振动时,合振动就较为复杂,现将两分振动的分运动数学方程式表示如下5：x(t)=a1cos(1t+1)y(t)=a2cos(2t+2)合成的振动为：消除t变量后可以得到f(x,y)=0。如果频率1和2同时增大k倍，即可得:x(t)=a1cos(k1t+1)y(t)=a2cos(k2t+2)令=kt 上面两式可化为：x()=a1cos(1 +1)y()=a2cos(2 +2)消除变量后可以得到f(x,y)=0。综上可知，频率1 2的比值和初相位决定了消除t 后的函数,函数决定轨迹，因此可知不同的频率比值有不同的图形轨迹，与具体的频率数值无关3。这两个振动的合成的迹是什么样的，用数学公式进行处理很难得到,通过处算机模拟可以得到一系列相关的图形，我们把这样振动方向互相垂直、振动频率不同,初相位不同的简谐振动合成的合振动形成的图形叫做利萨如图。4. 静态利萨如图的绘制4.1 简单静态利萨如图的绘制 (1)初值设置：频率比是1:2 =1：3，1=0, 2= 也就是相位差为(为了使图形在第一象限，在x,y上同时加了100，以下皆同)(2)我们先插入一个二维直角坐标；(3)输入二维坐标最大值；(4)在x，y函数式输入处分别输入x(t),y(t) 参数设置如图(1)所示, 通过以上步骤可以得到图(2)所示轨迹图形。 图(1) 图(2)通过改变图形的属性可以调节椭圆的颜色、粗细，轨迹类型。很明显我们得到了图形(2)，经检验，符合实际规律。理论上我们知道利萨如图形的形状和频率的具体大小没有必然的关系，只和频率比有关，现在修改一下参数，把，频率由w1=0.2 w2=0.3变为w1=0.4 w2=0.6，频率比不变，是否会改变图形呢，下面我们验证一下 图(3) 图(4)4.2 复杂静态利萨如图的绘制对比图(3)和(4)后很容易发现，图形只与频率比值有关，与频率大小无关。只要改变其中的参数，就可以得到各种复杂的利萨图形，下面我们看一个较复杂一点利萨如图绘制。参数设置如左；输入函数后，我们得到的利萨如图形如右：图(6)图(5)静态利萨如图的绘制在mathcad里是一较容易的，只要函数输入正确，一般是没有什么问题的。下面我们来介绍一下动态利萨如图的绘制过程，及其原理。动态的利萨如图可以分为两个部分：固定相位差，频率比，利萨如图形成机制的动态演示；固定频率比，图形随相位差值变化而变化。5动态利萨如图的绘制5.1 利萨如图的形成机制演示在这里，希望得到能清晰反应利萨如图形成机制的动画，能过前面的演示步骤， 对mathcad制作动画有了一个初步的了解，下面我们先做一个频率比为1：1，相位差为的动画。首先来看初值设置：(7) 在这里x(d),y(d)表示图形的轨迹，其中d的值不必设定，系统自定义它的取值范围在x，y坐标最大值与最小值之间。t=frame，也就是说，x(t)的值随帧的变化而变化，x(t)是瞬时值，y(t)也一样是瞬时值。vk表示的是横轴上的振动，这里用一段连续的线段来表示，这段线段从0到y(t);uk表示是纵轴上的振动,这里用一段连续的线段来表示,这段线段表示的是从0到x(t)。下面我们来看一下直角坐标图: 图(8)x(d),y(d)描绘了椭圆轨迹，y(d)下面的线段就是表示相应轨迹的颜色和轨迹的类型。 x(t),y(t)表示的椭圆轨迹上的那个小实心圆，随frame 的变化，它将在椭圆轨迹上来回运动。0，vk反应的是由坐标轴原点指向y轴小圆的线段，它是变化的，看到将是一个在y轴上可伸缩的线段。uk,0反应的是由坐标轴原点指向x轴小圆的线段，它是变化的，将是一个在x轴上可伸缩的线段。 uk，y(t)表示的是平行x轴的虚线。同理x(t) ,vk表示的是平行y轴的虚线y(t),0表示的是y轴可伸缩线段端头的小实心圆。同理，0,x(t)表示的是x轴可伸缩线段端头的小实心圆。随着帧的变化，椭圆上的小实心圆将在轨迹上运动，运动就会有方向的问题，那么是什么决定了小实心圆的运动方向，从理论我们知道相位差的正负决定了小实心圆的运动方向。 图(9) 图(10)相位差的正负可以决定小球的运动方向，上面两个图可以清楚地说明这一点。改变frame的值可以看到小球的运动方向，图（8）中的frame=0（系统默认初始值为0）我们直接给frame赋一个值20就会得到图(8)、图(9)两个不同的图形。通过图(9),图(10)可以清楚地看到当frame=20时，图(9)中的小球做顺时针方向动,而图(10)中的小球做逆时针方向运动,也就是说明了，相位差的正负决定小球的运动方向。接下来讲解一下动画的制作过程(1) 动画的制作首先要进行初值的设置,这里我使用如图(8)的初值设置。(2) 选择 插入图形中的插入直角坐标图进行，x轴，y轴上的函数输入，输入完后得到图(9)(3) 选择查看中的动画，我们设置帧从0到63，帧的变化速率为10帧每秒。我们可以得到如下图 (4)选择要变化的区域，点击动画后可以生成动画，图(11)将变为图(12)我们可以将生成的动画”另存为”到一指定的文件夹，通过选项的更改我们可以选择压缩 图(11) 图(12)上面的图(9)的演示动画如：动画1 图(10)的演示动画如：动画2制做这动画必须注意的几个细节如下：（1） 坐标轴最大值要略大于100，最小值要略小于-100，这样图形才能清晰显示，否则将出现边沿显示不清的问题。（2） 帧值的定义不是任意的，必须使小圆能回到起始运动的初始位置，也就是一个周期。我们可以通过改变frame的值来查看小圆的位置。（3） 通过拉伸图形使图形趋于正方形,这样可以保证x,y最大值相同,x,y轴的最小单位长度相同。我们通过以上相同的步骤做一个较复杂的动画,我们设置初始值如下：选择”查看动画” 检验帧为125时可以实现一个周期的动画,选择动画区域,再选择动画,就可以得到动画如：动画3依据同样的道理我们可以做出各种不同的频率比,不同相位差的动画. 图(13)前面研究的都是闭合曲线的动态演示，下面看一下非闭合利萨如图轨迹形成的动画，设置频率分别为：1=0.2 2=0.3 相位差为0，其他参数与图(13)一样,可以得到动画如 动画4仔细观察可以发现，闭合的利萨如图的形成过程中，一个周期内实心小圆只是沿图形轨迹上不重复的运动直到回到初始位置，而非闭合的利萨如图形成过程中，一个周期内实心小圆在图形轨迹的任意位置都经过两次。5.2 利萨如图随相位差的动态变化初值设置如图(14)。这里与前面动态利萨如图的绘制的设置不同在于的设置。让相位差的取值设定为(frame*2*)/20，frame的初值默认是0，就是说一开始相位差的值 图(14)a=0，我们让帧从0变化到20的话，就会从0变化到2*。接下来就是要制作动画了，选择mathcad菜单栏中“查看动画”,设置frame 从0到20变化，帧的变化速率为6帧每秒。 图(15) 图(16)我们选择动画就可得到我们需要的动画，以上两图分别是帧分别为3和8的瞬间图 也就是相位差分别为为0.3 和0.8 的瞬间图，选择动画就可以得到：动画5 这里通过另存为，就可以保存动画效果。这里只是做了1：1的频率比的动画，应用相似的原理我们可以得到1：2，1：3，1：4等各种不同比例的动画。mathcad在作一维，二维图像处理中有非常卓越的功能，mathcad在利萨如图动态仿真中很出色，在实际应用中，对于计算机知识了解不多的话，使用类似mathcad软件模拟是个很好的选择，如果处理的仿真问题较复杂，我们必须编写程序来实现。 6. 结束语绘制利萨如图先要理解简谐振动的合成，熟悉利萨如图的函数表达式，有了这个基础后，依据本文的步骤，利用mathcad软件可以实现任意频率比、相位差的静态利萨如图的绘制。动态利萨如图的绘制的关键在于对帧(frame)的设置，把需要变化的图形函数变量表达为帧的函数。参考文献1 邓明森，基于计算机仿真技术的氢原子电子云图模型，贵州教育学院学报 2005年4月，第16卷第2期2 梁玉娟,利用多媒体体制作利萨如图形,河池师专学报,2003.6第2期3 漆安慎 杜婵英 编著,力学,高等教育出版社,第九章 1997.5,第1版4 章礼华 程绪绎,利萨如图与相位关系的讨论,安庆师范学院学报,2001.11 第4期5 韩山师范学院，力