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长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练对合矩阵系 （部）： 信息与计算科学 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031121 学生姓名： 陈付平 成 绩： 2012 年 月对合矩阵陈付平长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022摘要：对合矩阵的定义、对合矩阵的判定、对合矩阵的几何意义关键词：对合矩阵、初等变换、秩、相似、特征值、对合变换引言： 对合矩阵是举阵中的一类矩阵，它在代数数学中有着广泛的应用，本文通过对对合矩阵的介绍，了解对合矩阵的判断以及对合矩阵的几何意义。1 对合矩阵的定义：矩阵满足条件，则称是对合矩阵。2 对合矩阵的判断设为矩阵，则下列条件都是为对合矩阵的充要条件：（1）。（2）为对合矩阵。（3）为对合矩阵。（4） （1 p208 3） (5)矩阵相似于形如的方阵。（注：此处kk=1,2,6.表命题出处，见参考文献）下面我们分别对上述几个命题进行证明：证明（1）：由对合矩阵的定义，显然成立。证明（2）： 为对合矩阵为对合矩阵。证明（3）： 为对合矩阵，即。 则 （由（1） 即为对合矩阵。 为对合矩阵，即 （*） 得 有 （*）式两端同时式乘以，右乘以，得 即 为对合矩阵。证明（4）：考察矩阵 （*） 对（*）式作分块矩阵的初等变换 由初等变换不改变矩阵的秩 有 即 所以 即 在证明命题（5）之前，先证明几个命题：命题1、矩阵的特征值等于（考虑它们的重数）矩阵的特征值的平方。（3 p182 1126）证明：设的所以特征值为 可知 则 证毕。命题2、若为对合矩阵，则的特征值为+1或1.（2 p216 7（2）证明：设是的一个特征值则是的一个特征值 有， 因而 反之的特征值为+1或-1 不能推出a为对合矩阵 反例： 的特征多项式为 则的特征值为1（2重） 但 同理，有的特征值为-1（2重），但 的特征值为-1（2重）， 但命题3、若矩阵适合，则必可对角化。（2 p221 10（1） 证明：，则的特征值为+1或-1。 它们相应的特征子空间为。 考察齐次线性方程组， 它们的解空间分别为。 则 由（4） 知 特征子空间的非零向量均为特征向量， 知有n个线性无关的特征向量。 则可对角化。另证：，则令的最小多项式有 进而的初等因子都是一次的， 说明可对角化。由以上两个命题，可得，任一对合矩阵必相似于形如的方阵证明（5）：已证。矩阵相似于 即可逆矩阵，使得则 为对合矩阵。命题4、设，都是对合矩阵，则积是对合矩阵的充件条件是与可交换。（4 p508 508）证明：设是对合矩阵即有两端左乘以，右乘，由，得等式两端同时乘以，即为对合矩阵 。命题5、与对合矩阵相似的矩阵均为对合矩阵。证明：对合矩阵，设矩阵与相似，即可逆矩阵，使得则即为对合矩阵。命题6：如果是幂等矩阵（），则是对合矩阵。证明：是幂等矩阵，即。则即为对合矩阵。命题7、一方阵如果有下列三个性质中的任何两个性质，则必有第三个性质：（6） 对称阵； 正交阵； 对合阵。证明：仅证由，推出，即对称的正交矩阵为对合矩阵。满足条件 ，即满足条件，即则为对合矩阵。3 对合矩阵的几何意义定义：数域上线性空间的线性变换称为对合变换，如，其中是恒等变换。维线性空间中，取定一组基之后，就建立了由数域上的维线性空间的线性变换到数域上的矩阵的一个11对应，可知维对合矩阵对应着维线性空间中的对合变换。这里，我们只讲对合变换的几何意义而不考虑线性空间的维数。 对合变换的几何意义：是线性空间关于某子空间平行于某补子空间的反射。换句话说： ，并且如果； 。（3）p243 1537）（6 p238 例19）证明：分别取使得和的所有的集合作成的和，易证，是的子空间。；取； 。则故可知 由，有由，有则 得。即所以。 例1、设为数域上矩阵，关于矩阵的加法和数乘作成的线性空间。定义变换，。则为上的线性变换，求的特征值 ，特征向量及标准形。（6 p288 27） 解：， 由， 知 即为对合变换。为空间的一组基。空间的维 数为。 对合变换在这组基下的矩阵为对合矩阵。 则的特征值为1或-1。 的属于1的特征向量，由 知特征向量为对称矩阵，特征子空间有维数为 的属于-1的特 征向量，由 知特征向量为反对称矩阵，特征子间空的维数为。 因而的若当标准形为。 由于全体对合矩阵所构成的集合，对加法和数乘都不封闭，因而我们不能在环、群的意义下讨论对合矩阵；但我们可以由与对合矩阵相似的矩阵均为对合矩阵，通过所有的可逆矩阵，求出所有同阶的对合矩阵；另外，对合矩阵具有十分良好的几何意义，利用对合矩阵，我们可以考虑空间中的一些保形运动。此外，对合矩阵的多项式具有十分简单的形式，其最高次数只能为1，这给我们的计算带来很大的方便。参考文献：1 张禾瑞，郝柄新北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编高等代数，高等教育出版社，1978年；1 p208 32 姚慕生高等代数学，复旦大学出版社，2003年；3 普罗斯库列柯夫，线性代数习题集（周晓钟译），人民教