特殊曲面及其方程（柱面、锥面、旋转面） 毕业论文.wps

编号编号 学士学位论学士学位论文文 特殊曲面及其方程（柱面特殊曲面及其方程（柱面 、 锥面、旋转面）锥面、旋转面） 学生姓名： 学 号： 20030101075 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 年 级： 2003-3 班 指导教师： 完成日期： 2008 年 5 月 日 2 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 中文摘要 本文主要讨论和介绍特殊曲面（柱面、锥面、旋转面）的各种方程。 关键词：关键词：柱面，锥面，旋转面，母线，准线，定方向，方程，曲线，直 线，射影柱面，坐标轴，坐标面，二次齐次方程，叁数方程，一般方程，二次 柱面，二次锥面，二次曲面，平行圆，圆柱面，圆锥面，平面，椭圆，双曲线， 椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，抛物面，对称轴。 1 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 目 录 中文摘要中文摘要 1 1.1. 柱面柱面 3 1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程.3 1.2 柱面的一般方程.6 1.3 柱面的参数方程.7 1.4 由生成规律给出柱面的方程.8 1.5 曲线的射影柱面.9 2.2. 锥面锥面 11 2.1 顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程.11 2.2 锥面的一半方程.13 2.3 锥面的参数方程.16 2.4 由生成规律给出锥面的方程.17 3. 旋转曲面旋转曲面 . 20 3.1 旋转曲面的一般方程.21 3.2 平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面.23 3.3 旋转二次曲面.25 参考文献参考文献 28 致谢致谢 .29 2 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 1.1.柱面柱面 定义定义1 1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线 g相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图 1），曲线 g焦作准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。 显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所 有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条 平面曲线作为准线。特别地，若取准线g为一条直线，则 柱面为一平面，可见平面是柱面的特别。 下面分几种情形讨论柱面的方程。 1.11.1 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程 选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行 于z轴，准线为oxy面上的一条曲线，其方程为： (),0 0 f x y z = = 又设() , ,p x y z 为柱面上一动点（图2 ），则过点 p与z轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线 与准线g的交点记为() , ,0m x y ，因点m在准线上， 故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点 (), ,p x y z的坐标满足方程(),0f x y= 反过来，若一点() , ,p x y z 的坐标满足方程() ,0f x y= ，过p作z轴 图 1 g y 图 2 3 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 的平行线交oxy面于点m，则点m的坐标() , ,0x y 满足准线g的方程 (),0,0f x yz=，这表明点m在准线g上，因此直线mp是柱面的母线 (因为直线mp的方向向量为 0,0,| 0,0,1z )，所以点p在柱面上。 综上所述，我们有如下结论： 母线平行上于z轴，且与oxy面的交线为() ,0,0f x yz= 的柱面方程 为： (),0f x y= （1） 它表示一个无限柱面。若加上限制条件azb，变得它的一平截段面。 同理，母线平行于x轴，且与oyz面的交线为() ,0,0g y zx= 的柱 面 方 程 为() ,0g y z= ； 母 线 平 行 于 y 轴 ， 且 与ozx面 的 交 线 为 (),0,0h x zy=的柱面方程为(),0h x z=。 定理定理1 1 ：凡三元方程不含坐标 , ,x y z 中任何一个时必表示一个柱面， 它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。 应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。 例例1 1： 以 oxy面 上 的 椭 圆 22 22 1,0 xy z ab +=， 双 曲 线 22 22 1,0 xy z ab -=和抛物线 2 2,0ypxz=为准线，母线平行于z轴的柱面 方程分别为 2222 2 2222 1,1,2 xyxy ypx abab +=-= 4 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线， 故又统称为二次柱面，其图形见（图3）。 例例2 2：证明，若柱面的准线为 (),0 : 0 f x y z = g = 母线方向为 (),0vl m nn= r ，则柱面方程为 ,0 lm fxzyz nn 骣 -= 琪 桫 （ 2） 证证：设() 111 ,0p xy 为准线g上一点，则过此点的柱面母线的参数方程 为： 11 ,xxlyymznrrr=+=+= 当点 1 p 遍历准线g上的所有点，那么母线就推出柱面，消去参数r，由 式中最后一个式子得 z n r=，代入其余两个式子，有 11 , lm xxlxzyymyz nn rr=-=-=-=- x y o x y o o y x 图 3 5 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 因点 1 p 在准线上，代入() ,0f x y= ，即得 (2)式 若柱面的准线为 () 1 ,0 : 0 f x z y = g = 母线方向为 () , 0vl m nm= u v 则柱面方程为： 1: ,0 ln fxyzy mm 骣 g-= 琪 桫 （3） 若柱面的准线为： () 2 ,0 : 0 fy z x = g = 母线方向为 () , 0vl m nl= u v 则柱面方程为 2: ,0 mn fyxzx ll 骣 g-= 琪 桫 （ 4） 1.21.2 柱面的一般方程柱面的一般方程 设柱面的准线g是一条空间曲线，其方程为 () () 1 2 , ,0 : , ,0 f x y z fx y z = g = 母线方向为 ,l m n ，在准线g上任取一点() 1111 ,p xyz ，则过点 1 p的母线方 程是： 11 ,xxlyymznrrr=+=+= 6 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 这里 , ,x y z 是母线上点的流动坐标。因点 1 p的坐标应满足： ()() 11112111 ,0,0f x y zfx y z= () () 1 2 ,0 ,0 f xlymzn fxlymzn rrr rrr -= -= 从上面这两组式子中消去参数r，最后得一个三元方程 () , ,0f x y z= (5) 这就是以g为准线，母线的方向数为, ,l m n的柱面方程。 例例3 3 ：柱面的准线是球面 222 1xyz+=与平面0xyz+=的交线， 母线方向是 1,1,1，求柱面的方向。 解解：设() 111 ,x y z 是准线上任一点，则过这点的母线方程为 111 ,xxyyzzrrr=+=+=+ 由此得 111 ,xxyyzzrrr=-=-=- 代入准线方程，得 ()()() 222 1 30 xyz xyz rrr r -+-+-= +-= 消去参数r，得 222 1 333 xyzxyzxyz xyz +骣骣骣 -+-+-= 琪琪琪 桫桫桫 展开，化简后得 () 222 23xyzxyyzzx+-= 这就是所求的柱面方程。 7 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 1.31.3 柱面的参数方程柱面的参数方程 设柱面的准线的参数方程为： g： ( ) ( )() ( ) xf t yg tatb zh t = = = 母线方向为 ,l m n 又设( )( )( )() 1111 ,pf tg th t 是准线g上的一点，则过 1 p 的母线方程为 ( )( )( ) 111 ,xf tlyg tmzh tnrrr=+=+=+ （r为参数） 令 1 p 在准线g上移动，即让 1 t取所有可能的值，并让r取所有可能的值， 则由上式决定的点() , ,x y z的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是： ( ) ( ) ( ) xf tl atb yg tm zh tn r r r r =+ 骣 =+ 琪 - 是一叶， 0r绕y轴 旋转，求所得旋转曲面的方程。 解解：因为绕y轴旋转，所以方程() 2 22 xayr-+=中保留y不变，而x 26 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 用 22 xz 代替，即得旋转曲面方程为： () 2 22222 xzayr-+=， 即 2222222 2xyzara xz+-= 或 ()() 2 22222222 4xyzaraxz+-=+ 这样的曲面叫做圆环面（图 16 ），它的形状象救生圈。 y y () 2 22 x ayr-+= 图 16 27 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 3.3 3.3 旋转二次曲面旋转二次曲面 例例15 ：圆 222 :,0c xyrz+=绕x轴旋转所得的曲面方程为： () 2 2222 xyzr+=，即 2222 xyzr+= 它是以原点为中心，r为半径的球面。 例例16 ：椭圆： 22 22 1,0 xy z ab +=分别绕长轴（即x轴）与短轴（即 y 轴）旋转二的的旋转曲面方程分别为： 222 22 1 xyz ab + += （16 ） 222 22 1 xzy ab + += （17 ） z x y 222 222 1 xyz abb += 长形旋转椭球面（图 17 ） 222 222 1 xyz aba += y zx 扁形旋转椭球面（图 18 ） 28 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 曲面（16 ）叫做长形旋转椭球面（图 17 ），曲面（ 17 ）叫做扁形 旋转椭球面（图 18 ）。 在研究地球时，常把地球的表面看成是扁形旋转椭球面；有些锅炉为了 减轻蒸汽对炉壁的冲击力，而把它做成旋转椭球面的形状。 例例17 ：将双曲线 22 22 1,0 yz x bc -=，绕虚轴（即z轴）旋转的曲面 方程为： 222 22 1 xyz bc + -= （18 ） （图 19 ） 绕实轴（即y轴）旋转的曲面方程为： 222 22 1 yxz bc + -= （ 19 ） （图 20 ） 曲面（18 ）叫做旋转单叶双曲面，曲面（ 19 ）叫做旋转双叶双曲面。 222 222 1 xyz abc += z y x o 旋转双叶双曲面 图 20 y x z 222 222 1 xyz abc += 图 19 旋转单叶双曲面 29 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 旋转单叶双曲面在工程技术中很有用。例如发电厂和水泥厂的冷却塔多 半建成旋转单叶双曲面的形式。 例例18 ：将抛物线 2 2,0ypyx=，绕它得对 称轴（即z轴）旋转的曲面方程为： 22 2xypz+= （ 20 ） 它叫做旋转抛物面。（图 21 ） 旋转抛物面有着广泛的用途，如探照灯，车灯和 太阳灶的反光面就是这种曲面。为了保持发射与接收 电磁波的良好性能，雷达和射电望远镜的天线多做成 旋转抛物面。 z y x o 旋转抛物面（图 21 ） 30 学 士 学 位 论 文 学 士 学 位 论 文 bachelor s thesis 参考文献 1 朱德祥，朱维宗 . 新编解析几何 m. 西南师范大学出版社, 1989: 342367 2 章