2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(一)及参考答案

2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题 (1)及参考答案 第一试 （时间： 8:000 满分： 120） 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 . 1 已知函数 221 ,0af x x a x b x R ，若实数 , 0有实根，则 22的最小值是 2 在正三棱台1 1 1 B C中，上底 面积1 1 1 12A B ，下底面积 27 若底边 截面11113 从 1, 2, 3, ,100 中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种 4 已知 221c o s c o s, , ,2 2 s i n s i y z ，且1 2z ，若2z x ，则21取值范围是 5 函数 4 4 2 2 2 2, 2 2 3 3 2 2 2f x y x y x y x y x y x y 的最小值为 6 设 111313 , 2 0n n x x ，则数列 7 如图，设 ,径分别为 6,4 ）上的动点 当 ,段 中点 M 所形成的区域面积为 8 设 1 2 2 0 1 0, , , 2 , 2a a a 且1 2 2 0 1 0 0a a a ，则 3 3 31 2 2 0 1 0a a a 的最大值为 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分 . 9.（本小题满分 16 分） . 设复数 z 满足 12z 证明： 3 11z 10.（本小题满分 20 分） 给定整数 a ，设 32f x a x b x c x ，其中 , ,满足 1 1, 2 2f f f 求出所有满足条件的函数 11.（本小题满分 20 分） 给定椭圆 22113 5及点 10,0D （ 1）求 r 的值使得对于椭圆的左顶点 A ， 存在椭圆上的另两点12,足以 D 为圆心、 r 为半径的圆是12的内切圆； （ 2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点12,得 D 是12的内切圆，并确定此时直线12 2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题 (1)及参考答案 加试 （时间： 9:400 满分： 180） 一、 （本小题满分 40 分） 已知 的内心为 I ， 的内切圆 I 切边 点 D ， ,A B D A C D 的内心分别是 ,的外心为 O 求证： ,点共线 二、 （本小题满分 40 分） 设 , , , 0,a b c d 且 4a b c d 求证： 2 2 2 22 2 2 21 1 1 1 a b c da b c d 三、 （本小题满分 50 分） 已知正整数 n 满足 2 0 1 4 , , 2 0 1 4 1 令 1 , , 1 ,nA k N k n n k 1 , 1 ,n n n n n nB k A k A C k A k A 对任意记 ，其中 x 表示不超过 x 的最大整数， A 表示集合 A 中元素的个数 证明：（ 1） n k k n k S S ；（ 2） m o n k A n四、（本小题满分 50 分） 某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了 2014 个站台（依次编号 为 1,2，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应 2014 年） 为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠 出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点 试求不同停靠方式的种数 2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题 (1)及参考答案 第一试参考解答 （时间： 8:000 满分： 120） 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 . 1 已知函数 221 ,0af x x a x b x R ，若实数 , 0有实根，则 22的最小值是 2 在正三棱台1 1 1 B C中，上底面积1 1 1 12A B ，下底面积 27 若底边 截面11113 从 1, 2, 3, ,100 中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种 4 已知 221c o s c o s, , ,2 2 s i n s i y z ，且1 2z ，若2z x ，则21取值范围是 5 函数 4 4 2 2 2 2, 2 2 3 3 2 2 2f x y x y x y x y x y x y 的最小值为 6 设 111313 , 2 0n n x x ，则数列 7 如图，设 ,径分别为 6,4 ）上的动点 当 ,段 中点 M 所形成的区域面积为 8 设 1 2 2 0 1 0, , , 2 , 2a a a 且1 2 2 0 1 0 0a a a ，则 3 3 31 2 2 0 1 0a a a 的最大值为 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分 . 9 设复数 z 满足 12z 证明： 3 11z 10 给定整数 a ，设 32f x a x b x c x ，其中 , ,满足 1 1, 2 2f f f 求出所有满足条件的函数 11 给定椭圆 22113 5及点 10,0D （ 1）求 r 的值使得对于椭圆的左顶点 A ，存在椭圆上的另两点12,足以 D 为圆心、 r 为半径的圆是12的内切圆； （ 2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点12,得 D 是12的内切圆，并确定此时直线12 2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题 (1)及参考答案 试参考解答 （时间： 9:400 满分： 180） 一、 （本小题满分 40 分） 已知 的内心为 I ， 的内切圆 I 切边 点 D ， ,A B D A C D 的内心分别是 ,的外心为 O 求证： ,点共线 证明：设 I 分别切边 ,B 于点 ,的内切圆切 点 X ， 的内切圆切 点 Y ，则 2 D X D A D B A B D A D B B F A F D A A F ， 同理 22D Y D A A F D X 从而 ,以 因为的外心为 O ， 所以 12 2 2bb c b O A J J X A J D A C 从而 1 1 12 2 2 O B A J J A O B A D D A C B A C ， 所以 ,点共线 二、 （本小题满分 40 分） 设 , , , 0,a b c d 且 4a b c d 求证： 2 2 2 22 2 2 21 1 1 1 a b c da b c d 三、 （本小题满分 50 分） 已知正整数 n 满足 2 0 1 4 , , 2 0 1 4 1 令 1 , , 1 ,nA k N k n n k 1 , 1 ,n n n n n nB k A k A C k A k A 对任意记 ，其中 x 表示不超过 x 的最大整数， A 表示集合 A 中元素的个数 证明：（ 1） n k k n k S S ；（ 2） m o n k A n四、（本小题满分 50 分） 某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨