温岭二中 柳荷红发言稿

平稳过渡 返璞归真 立足双基 近三年浙江高考理科立体几何大题的解法与想法 温岭二中 柳荷红 各位老师：下午好！ 我讲的主题是“近三年浙江高考理科立体几何大题的解法与想法”。首先，我们浏 览一下这三个题目，了解这三年理科立几大题考查的主要内容。 年份 考查内容 2009 年2010 年2011 年 立体几何大题线面平行的论证、线 面垂直的存在性及点 到线的距离问题 折叠问题、二面角的 求法、折叠前后的不 变性 线线垂直的论证、面 面垂直的存在性问题 接下去我就详细阐述这三题的解法及一些粗浅想法。 一、凸显新课程理念，实现平稳过渡 浙江省自 2006 年开始实施高中新课程改革，09 年是新课改以来的第一次高考，其命 题思想和试题呈现方式倍受社会关注，必将对以后几年的高考命题和高考复习起引领作用。 09 年理科立体几何试题朴实常规试题难度适中，考查核心内容和通性通法，具有良好的导 向功能，实现了平稳过渡。题目的新颖之处在于突破了近几年高考考查立几的问题，也是 一个平时训练的重点与常规题。 （2009 浙江卷理）如图，平面PAC 平面ABC，ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，,E F O分别为PA， PB，AC的中点，16AC ，10PAPC （I）设G是OC的中点，证明：/ /FG平面BOE； （II）证明：在ABO内存在一点M，使FM 平面BOE， 并求点M到OA，OB的距离 证明：（I）向量法：如图建立空间直角坐标系 Oxyz，. 平面 BOE 的一个法向量为(0,3,4)n ，又由得)3, 4 , 4(FG 0n FG ，又直线FG不在平面BOE内，因此有/ /FG平面 BOE （I）综合法：取 PE 的中点 H,连结 HG,HF。 可证得平面 FGH/平面 BOE 又由 FG 在平面 FGH 内得/ /FG平面BOE 另解：取 BC 中点 Q,连结 QG,QF,同理可证得 x y z A B E H F O G P C / /FG平面BOE （II）向量法：设点 M 的坐标为 00 ,0xy， 则 00 (4, 3)FMxy ，因为FM 平面 BOE， 所以有/FMn ，因此有 00 9 4, 4 xy ，即点 M 的坐标为 9 4,0 4 ，在平面直角坐标 系xoy中，AOB的内部区域满足不等式组 0 0 8 x y xy ，经检验，点 M 的坐标满足上述 不等式组，所以在ABO内存在一点M，使FM 平面BOE，由点 M 的坐标得点 M到OA，OB的距离为 9 4, 4 （II）综合法：在平面 OAP 内，过点 P 作 PNOE，交 OA 于点 N， 交 OE 于点 Q。连结 BN，过点 F 作 FM/PN,交 BN 于点 M。 可证得FM 平面BOE。 在中，通过计算得 ON=OA, OAPRT 2 9 同时点 M 到 OA，OB 的距离分别为. 4 9 2 1 , 4 2 1 ONOB 想法：第一小题用几何法比较容易解决，但第二小题几何法就显得复杂了，因为需要添辅 助线。认真解读 09 浙江高考数学考纲，明确指出能用向量方法证明直线与直线、直线与平 面、平面与平面的位置关系，强化用空间向量解决简单的立体几何问题。所以在复习教学 中，要认真阅读考纲，注重通性通法。 以空间几何体为载体的线面关系的判断、推理和证明，尤其是线线、线面、面面的平 行和垂直的判断、推理和论证历来是高考数学的重点和热点，也是 2009 年命题的主流。从 涉及的图形和试题呈现的方式看，考生感觉熟悉亲切，有利于稳定情绪，正常发挥；从考 查的内容看，无论是线面平行的证明，还是有关线面垂直、面面垂直问题，都是立体几何 的主干知识和重点内容，都围绕立体几何中最核心的位置关系“平行和垂直”而展开；从 解决问题的方法看，既可以用综合法，又可以用向量法，两种解法”兼顾，统筹安排、相 得益彰。 B C E P G O F N Q M A 请说明理由。 的距离，若不存在，到点 若存在请求出平面使 内是否存在一点）在 平面证明 的三等分点，靠近点是设 ， 的三等分点靠近点为的三等分点靠近点 分别为形，为斜边的等腰直角三角 是以，平面平面变式：如图 OBOAM BOEFM MABO BOEFG COCG PCPAAC CACOP PBPAFE ACABCABCPAC , , ,2( ;/: ) 1 ( .1016 , , , P F O G C B A E 二、返璞归真，重立地位 近年来的高考理科立体几何题，图形都是给定的，考生不需要画图，且过分推崇向量 法，这给立体几何教学带来的影响是强化向量应用，削弱了基本定理教学2010 年的高考 理科立体几何题一改往常面孔，返璞归真，考查了一个翻折问题，要求考生独立画出翻折 后的立体图，还立几考查以本真此题的设计可谓独具匠心，无论在取材背景还是命题立 意上都令人耳目一新，体现了重基础、立意高、思路活，讲公平的命题特征。 （2010 理）如图，在矩形中，点、分别ABCDEF 在线段，上，ABAD4 3 2 FDAFEBAE 沿直线将翻折成，使平面EFAEFEFA/EFA/ 平面BEF （）求二面角的余弦值；CFDA / （）点，分别在线段，上，若沿直线MNFDBC 将四边形向上翻折，使与重合，求MNMNCDC / A 线段的长FM 解：（）向量法：如图建立空间直角坐标系 A-xyz 平面 AFD的一个法向量为(0, 2,2)n ， 又平面BEF的一个法向量(0,0,1)m ， 故。 3 3 ,cos nm nm nm 因此二面角ADFC的余弦值为 3 3 （）综合法：如图取线段EF的中点H,AF的中点G,易证A GH为二面角 A / A F M B C N D E A / A F M B C N D E x y z H 的平面角,可得 3 cos 3 A GH.CDFA 故二面角ADFC的余弦值为 3 3 。 （）由CMA M，可得 21 4 FM 。 想法：解第一题几何法比向量法要简捷得多，关键是考生读图时需要将二面角 转换成，这样就容易作图了第二问的难点在于要求学生独立CFDA / CAFA / 画出翻折后的立体图，这对学生的空间想象能力提出了较高要求在解法上，综合法与向 量法难度相当，向量法占不到便宜这是一种很好的命题导向，既突出了几何思维的地位， 也照顾到了向量思想的应用它提醒教师应当重视立体几何本质的教学，向量只不过是一 种“工具” ，不能替代欧氏几何的学科思想和思维方式，以保证立体几何作为一门独立课程 而存在的意义和价值 此题从设计背景到方法的选择及试题的设计方式很好地诠释了新课程所倡导的动手实 践、自主探索、体验数学发现和创造的历程理念。同时，考查意图也是围绕课程标准要求 的“在教学中，从不同角度解决立体几何问题”的教学要求。此外，折纸实验是学生所熟 悉的一个数学实验背景，其基本原理是通过翻折与展平，寻找平面图形与空间图形之间的 联系，进而抽象位置关系与数量关系，实现几何问题代数化。命题背景设计体现了公平性 原则。同时翻折问题解决的过程中蕴含了解决立体几何问题的降维思想和数形结合思想， 体现了从平面几何到立体几何的螺旋递进，经过两次翻折，使点与点 C 重合后计算 MF A 的过程，不仅有进一步考查学生的空间想象能力的意图，也包含了对学生的代数运算能力 的考查。两种能力的考查交替进行，寓空间想象于运算中。与此同时，由于翻折的前后两 个部分图形不对称，给学生带来了视觉阻碍。根据，C 重合得到CMA M 实属不易， A 这容易使学生在考试中产生焦虑情绪。因此，试题的“执果索因”的思维方式，即在方程 思想的引领下寻找翻折问题中的不变性。沉着的心态，锐意进取的勇气，理性的剖析问题 的本质，灵活熟练地运用知识与思想方法的数学素养等等，是突破难点的基本保障，也是 本题在更高层面上的考察，它承载着选拔优秀人才的功能。 2010 年高考理科立体几何的命题方式彻底颠覆了传统的立体几何解答题的复习方式， 突出了能力考查，彰显数学理性思维必将是立体几何试题今后的走向。我们知道综合法和 向量法是解决立体几何问题的基本手段。2010 年的试题给人以明显的感觉是对两种工具不 再厚此薄彼，表现出综合法的推理与向量法的计算存在各自优势的特点。这种变化带给我 们的启示是，立体几何的解答题的教学不能仅仅由向量法一法到底，而是要引导学生在对 两种方法的对比中作出合理的选择，促使学生由线性思维向面状思维发展。 变式一：如图，在矩形 中，点、分别ABCDEF 在线段，上，ABAD4 3 2 FDAFEBAE 沿直线将翻折成，使平面EFAEFEFA/EFA/ 平面BEF （）求二面角的余弦值；CFDA / （）点，分别在线段，上，若沿直线MNFDBC 将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长MNMNCDC / ABN 变式二：如图，在正方形 中，点、分别ABCDEF 在线段，上，ABAD4AFEBAE 沿直线将翻折成，使平面EFAEFEFA/EFA/ 平面BEF （）求二面角的余弦值；CFDA / A / A F M B C N D E A / A F M B C N D E H G A / A F M B C N D E （）在线段，上是否存在点，若沿直线FDBCMN 将四边形向上翻折，使与重合，若存在MNMNCDC / A 请求出线段的长，若不存在请说明理由。FM 三、立足双基，沉稳厚实 2011 年高考已经尘埃落定，立几题材料背景熟悉，是以学生熟悉的不规则锥体为载体， 考查直线与直线垂直、平面与平面垂直、二面角等基本知识，同时考查空间想象能力、逻 辑思维能力和运算能力。解题方法基本，和平时中学数学教学匹配度高，在考基础、考通 性、考通法上体现得淋漓尽致。 (2011 理科)如图，在三棱锥中，D 为 BC 的中点，PABCABAC PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （）证明：APBC； （）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？ 若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。 证明：（I）向量法：如图建立空间直角坐标系 Oxyz， 由可得，即 APBC。)0 , 0 , 8(),4 , 3 , 0(BCAP0BCAP （1）综合法：由 ADBC,POBC 且 POAD=O 得 BC平面 PAD, 故 APBC （II）向量法：设则, 1,PAPM)4,3, 0(PM ),44 ,32, 4(BM 平面 BMC 的一个法向量为，) 44 32 , 1 , 0( 1 n 平面 APC 的一个法向量为,)3, 4 , 5( 2 n 由=0 得，故 AM=3， 21 nn 5 2 所以存在点 M 符合题意，AM=3。 向量法另解：设点 M，则)40)(, 5 4 3 , 0(aaa 平面 BMC 的一个法向量为), 5 4 3 , 4(aaBM) 4 203 , 1 , 0( 1 a a n 平面 APC 的一个法向量为,)3, 4 , 5( 2 n 由=0 得，故 AM=3， 21 nn 5 12 a （II）综合法：在平面 PAB 内作 BMPA 于 M，连 CM。 由（）中 APBC，得 AP平面 BMC,又平面 APC,AP 所以平面 BMC平面 BMC。在 RTADB 中， AB=,在 RTPOD 中, 41, 222 ODPOPD 在 RTPDB 中,所以，, 222 BDPDPB 得 PA=5。,25 2222 BDODPOPB 又, 3 1 2 cos 222 PBPA ABPBPA BPA 从而所以 AM=PA-PM=3。, 2cosBPAPBPM 所以存在点 M 符合题意，AM=3。 P A B C D O P A B C D O M P A B C D O x y z 想法：第一问要求证明线线垂直，考查线面垂直判定定理及性质定理的掌握和应用；第二 探索性的问题，但难度不大。无论是用传统方法的立体几何性质来解，还是用向量建立空 间直角坐标系也好，入手都较容易，而且计算量也不大。 尽管如此，许多学生的答题情况并不理想，出现了以下几种典型错误： 1、线面垂直的判定定理不熟，条件不能够写完整，正所谓越简单越易丢分； 2、建系问题，有些学生建立的不是右手系，乱建，随意取共点的三条边就说明是 X 轴，Y 轴，Z 轴，如，以 O 为原点，OB 为 X 轴，OD 为 Y 轴，OP 为 Z 轴，取不共点但 会垂直的三条直线，如以 BD 为 X 轴，OD 为 Y 轴，OP 为 Z 轴； 3、所用点、辅助线未在图上标出，或未说明其作法，或图象模糊不清等； 4、不注意仔细审题，把所求二面角的棱看错； 5、计算不过关,第二问不能准确设出点 M 的坐标,从而使后面的计算出现错误， 或求错平面 BMC 的法向量,这就需要在平时注重独立解题训练。 1 n 变式：如图，在三棱锥中，D 为 BC 的中点，PABCABAC PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （）证明：平面 PAD平面 PBC； （）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的余弦值。 通过对这三年高考立体几何大题的解读，我想提几点教学建议： （1）立足一本两纲，回归课本，狠抓双基。 教师需对考试大纲与教学大纲进行深入研究，立足本专题的基础知识和