江苏省2017年中考《第16课时二次函数的综合应用》练习含解析

第三章 函数 第 16 课时 二次函数的综合应用 （建议答题时间： 90 分钟） 1. (2016 大连 )如图 ， 抛物 线 y 3x 54与 x 轴相交于 A、 B 两点 ， 与 y 轴相交于点 C， 点D 是直线 方抛物线上一点 ， 过 点 D 作 y 轴的平行线 ， 与直线 交于点 E. (1)求直线 解析式； (2)当线段 长度最大时 ， 求点 D 的坐标 第 1 题图 2. (2016 宁波 )如图 ， 已知抛物线 y 3 与 x 轴交于 A、 B 两点 ， 与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为 (3， 0) (1)求 m 的值及抛 物线的顶点坐标； (2)点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点 ， 当 值最小时 ， 求点 P 的坐标 第 2 题图 3. (2016 安徽 )如图 ， 二次函数 y 图象经过点 A(2， 4)与 B(6， 0) (1)求 a、 b 的值； (2)点 C 是该二次函 数图象上 A、 B 两点之间的一动点 ， 横坐标为 x(20)与 x 轴 的交点为A、 B. (1)求抛物线的顶点坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点 当 m 1 时 ， 求线段 整点的个数； 若抛物线在点 A、 B 之间的部分与线段 围成的区域内 (包括边界 )恰有 6 个整点 ， 结合函数的图象 ， 求 m 的取值范围 第 4 题图 5. (2016 陕西 )如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 点 O 为坐标原点 ， 抛物线 y 5 经过点 M(1， 3)和 N(3， 5) (1)试判断该抛物线与 x 轴交点的情况； (2)平移这条抛物线 ， 使平 移后的抛物线 经过点 A( 2， 0)， 且与 y 轴交于点 B， 同时满足以A、 O、 B 为顶点的三角形是等腰直角三角形 ， 请你写出平移过程 ， 并说 明理由 第 5 题图 6. (2016 上海 )如图 ， 抛 物线 y 5(a0) 经过点 A(4， 5)， 与 x 轴的负半轴交于点 B， 与 y 轴交于点 C， 且 5抛物线的顶点为点 D. (1)求这条抛物线的表达式； (2)连接 求四边形 面积； (3)如果点 E 在 y 轴的正半轴上 ， 且 求点 E 的坐标 第 6 题图 7. (2016 益阳 )如图 ， 顶点为 A( 3， 1)的抛物线经过坐标原点 O， 与 x 轴交于点 B. (1)求抛物线对应的二次函数的表达式； (2)过 B 作 平行线交 y 轴于点 C， 交抛物线于点 D， 求证： (3)在 x 轴上找一点 P， 使得 周长最小 ， 求出 P 点的坐 标 第 7 题图 答案（精讲版） 1. 解： (1)当 x 0 时 ， y 54， C(0， 54)， 当 y 0 时 ， 3x 54 0， (x 52)(x 12) 0， 解得 x 52或 x 12， A(12， 0)， B(52， 0)， 设直线 解析式为 y 54， 将 B(52， 0)代入得 52k 54 0， 解得 k 12， 直线 解析式为 y 12x 54； (2)设 E(a， 12a 54)， 则 D(a， 3a 54)(0 a 52)， ( 12a 54) (3a 54) 52a (a 54)2 2516. 将 a 54代入 y 3a 54中得 y 1516. 当 a 54时 ， 线段 长度最大 ， 此时点 D 的坐标为 (54， 1516) 2. 解： (1)把 B(3， 0)代入抛物线解析式 ， 得 0 32 3m 3， 解得 m 2， y 2x 3， y 2x 3 (x 1)2 4， 顶点坐标为 (1， 4)； (2)如解图 ， 连接 抛物线的对称轴 l 于点 P， 连接 此时 值最小 第 2 题解图 设直线 解析式为 y b(k0) ， 由题知 ， 点 C 的坐标为 (0， 3)， 抛物线的对称轴为直线 x 1. 把点 (3， 0)， (0， 3)分别代入 ， 得 0 3k b ， k 1b 3 ， 直线 解析式为 y x 3. 当 x 1 时 ， y 1 3 2. 答：当 值最小时 ， 点 P 的坐标为 (1， 2) 3. 解： (1) 二次函数 y 图象经过点 A(2， 4)与 B(6， 0) 4 4a 236a 6b， 解得 a 12b 3； 第 3 题解图 (2)如解图 ， 过点 A 作 x 轴的垂线 ， 垂足为点 D(2， 0)， 连接 过点 C 作 F x 轴 ， 垂足分别为点 E， 点 F， 则 S 1212 2 4 4， S 1212 4 (x 2) 2x 4， S 1212 4 ( 123x) 6x， 则 S S S S 4 (2x 4) ( 6x) 8x. S 关于 x 的函数表达式为 S 8x(2x6) S (x 4)2 16， 当 x 4 时 ， 四边形 面积 S 有最大值 ， 最大值为 16. 【一题多解】解法一：由 (1)知 ， y 123x， 如解图 ， 连接 则 S S S 其中 S 12 6 4 12， 设直线 析式为 将点 A(2， 4)， B(6， 0)代入 ， 易得 x 6， 过点 C 作直线 l x 轴交 点 D， C(x， 123x)， D(x， x 6)， S S S 12 (x 2) 12 (6 x) 12 4 2 其中 123x ( x 6) 124x 6， S 2 8x 12， S S S 8x 12 12 8x (x 4)2 16(2x6)， 即 S 关于 x 的函数表达式为 S 8x(2x6)， 当 x 4 时 ， 四边形 面积 S 有最大值 ， 最大值为 16. 解法二： 点 C 在抛物线上 y 123x 上 ， C(x， 123x)， 第 3 题解图 如解图 ， 过点 A 作 x 轴 ， 垂足为点 D， 过点 C 作 x 轴 ， 垂足为点 E， 则点 D 的坐标为 (2， 0)， 点 E 的坐标为 (x， 0)， 【 S S S 梯形 S 12 2 4 12(4 123x)(x 2) 12(6 x)( 123x)8x， S 8x (x 4)2 16(2x6)， 当 x 4 时 ， 四边形 面积 S 取最大值 ， 最大值为 16. 4. 解： (1)将抛物线的表达式变形为顶点式 y m(x 1)2 1， 则抛物线的顶点坐标为 (1， 1)； (2) 当 m 1 时 ， 抛物线表达式为 y 2x， 因此 A、 B 的坐标分别为 (0， 0)和 (2， 0)， 则线段 的整点有 (0， 0)， (1， 0)， (2， 0)共 3 个； 抛物线顶点坐标为 (1， 1)， 则由线段 间的部分及线段 围成的区域的整点纵坐标只能为 1 或 0， 即要求 段上 (含 点 )必须有 5 个整点； 又 抛物线表达式为 y 2m 1， 第 4 题解图 令 y 0， 则 2m 1 0， 得到 A、 B 两点坐标分别为 (1 1m， 0)、 (1 1m， 0)， 即 5 个整点是以 (1， 0)为中心向两侧分散 ， 点 A 在 ( 1， 0)与 ( 2， 0)之间包括 ( 1， 0)， 21 1m 1， 即 2 1m3， 19m 14. 5. 解： (1)由题意 ， 得a b 5 39a 3b 5 5， 解得a 1b 3， 抛物线的解析式为 y 3x 5. 对于方程 3x 5 0， 4( 3)2 415 9 20 11 0， 第 5 题解图 抛物线与 x 轴无交点 (2)如解图 ， 等腰直角三角形 ， 点 A 的坐标为 ( 2， 0)， 点 B 在 y 轴上 ， 点 B 的坐标为 ， 2)或 ， 2) 设平移后的抛物线的表达式为 y n. 当抛物线经过点 A( 2， 0)， ， 2)时 ， n 24 2m n 0， 解得 m 3n 2， 平移后的抛物线解析式为 y 3x 2 (x 32)2 14. 该抛物线顶点坐标为 ( 32， 14) 而原抛物线顶点坐标为 (32， 114)， 将 原抛物线先向左平移 3 个单位 ， 再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线； 当抛物线过点 A( 2， 0)， ， 2)时 ，n 24 2m n 0， 解得m 1n 2. 平移后的抛物线解 析式为 y x 2 (x 12)2 94. 该抛物线顶点坐标为 ( 12， 94) 而原抛物线顶点坐标为 (32， 114)， 将原抛物线先向左平移 2 个单位 ， 再向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物线 【一题多解】解法一：由 (1)得平移前的抛物线表达式为 y (x 32)2 114. 等腰直角三角形 ， A( 2， 0)， 点 B 在 y 轴上 ， 点 B 的坐标为 ， 2)或 ， 2) 设平移后的抛物线 的表达式为 y (x 32 m)2 114 n. 当平移后的抛物线过点 A( 2， 0)， ， 2)时 ， （ 2 32 m） 2 114 n 0（ 32 m） 2 114 n 2， 解得m 3n 3. 将原抛物线向左平移 3 个单位 ， 向下平移 3 个单位即 可获得符合条件的抛物线 当平移后的抛物线过点 A( 2， 0)， ， 2)时 ， （ 2 32 m） 2 114 n 0（ 32 m） 2 114 n 2， 解得m 2n 5. 将原抛物线向左平移 2 个单位 ， 向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物线 解法二：设平移后抛物线表达式为 y (x m)2 n. 等腰直角三角形 ， A( 2， 0)， 点 B 在 y 轴上 ， ， 2)或 ， 2) 当平移后的抛物线过点 A( 2， 0)， ， 2)时 ， （ 2 m） 2 n 0（ m） 2 n 2 ， 解得m 32n 14. 平移后抛物线的顶点坐标为 ( 32， 14) 而原抛物线的顶点坐标为 (32， 114)， 将原抛物线向 左平移 3 个单位 ， 向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线 当平移后的抛物线过点 A( 2， 0)， ， 2)时 ， （ 2 m） 2 n 0（ m） 2 n 2 ， 解得m 12n 94. 平移后抛物线的顶点坐标为 ( 12， 94) 而原抛物线的顶点坐标为 (32， 114)， 将原抛 物线向左平移 2 个单位 ， 向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物线 6. 解： (1) 抛物线 y 5 与 y 轴交于点 C， C(0， 5)， 5， 5 1， 又 点 B 在 x 轴的负半轴上 ， B( 1， 0)， 抛物线经过点 A(4， 5)和点 B( 1， 0)， 16a 4b 5 5a b 5 0 ， 解得 a 1b 4， 这条抛物线的表达式为 y 4x 5； 第 6 题解图 (2)由 y 4x 5， 得顶点 D 的坐标为 (2， 9)， 连接 如解图 ， 点 A 的坐标是 (4， 5)， 点 C 的坐标是 (0， 5)， S 12 4 5 10， S 12 4 (9 5) 8， S 四边形 S S 18； (3)连接 过点 C 作 垂足为点 H， 如解图 S 12 10， 4（ 1） 2（ 5） 2 5 2， 2 2， 在 ， 90 ， （ 0 1） 2（ 5） 2 26， 3 2， 23. 在 ， 90 ， 23， 得 32， 点 E 的坐标为 (0， 32) 7. (1)解： 抛物线顶点为 A( 3， 1)， 设抛物线解析式为 y a(x 3)2 1， 抛物线过原点 (0， 0)， 0 a( 3)2 1， a 13， 抛物线的表达式为： y 132 33 x. (2)证明：令 y 0， 得 0 132 33 x， x 0(舍 )， 或 x 2 3， B 点的坐标为 (2 3， 0)， 设直线 表达式为： y A( 3， 1)在直线 ， 3k 1， k 33 ， 直线 应的一次函数的表达式为 y 33 x. 设直线 应的一次函数的表达式为 y 33 x b， B(2 3， 0)在直线 ， 0 33 2 3 b， b 2， 直线 表达式为 y 3