复数的有关概念

复数的有关概念 一教学目标：一教学目标： 1使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念掌握复数的代数、几何、 三角表示及其转换； 2掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义； 3掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法 4通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解 题的能力 5通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习 教学，继续对学生进行辩证观点的教育 二教学重点：二教学重点：复数三角形式表示法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。 三教学过程：三教学过程： （一）主要知识：（一）主要知识： 1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模） ； 2.复数的代数表示与向量表示； 3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘 方，复数三角形式的除法与开方； 4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程） 。 复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考 热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的 尺度。 从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础 知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其 应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复 数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几 个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变 换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数 n 次乘方、求辐角（主值） 等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。 复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复 数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。 基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点： （1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复 数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭 复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。 复数的几何意义也是解题的一个重要手段。 （2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题 型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并 加以强化训练以突破此难点； (3)重视以下知识盲点： - 2 - 不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向； 忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数； 盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来； 容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复 数辐角主值的范围问题等。 （二）知识点详析（二）知识点详析 1知识体系表解 2复数的有关概念和性质： (1)i 称为虚数单位，规定，形如 a+bi 的数称为复数，其中 a，bR 2 1i (2)复数的分类(下面的 a，b 均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要 1112221122 ,(,)zabizab i a b a bR 12 zz 条件是： 1122 abab且 (4)复数的几何表示复数 z=a+bi（a，bR）可用平面直角坐标系内点 Z(a，b)来表示这 时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴这样，全体复数集 C 与复平面 上全体点集是一一对应的 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 复数 z=a+bi在复平面内还可以用以原点 O 为起点，以点 Z(a，b), a bR 向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数 0 对应点 O，看成零向量) (7)复数与实数不同处 任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大 小 实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方而复数对四则运 算和开方均通行无阻 3有关计算： 怎样计算？（先求 n 被 4 除所得的余数，） n i * nN rrk ii 4 *, kNrN 是 1 的两个虚立方根，并且：ii 2 3 2 1 2 3 2 1 21 、 1 3 2 3 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 21 12 1 21 3复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数 212121 zzzzzz z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数 z1、z2对应的向量共 线且同向（反向）时取等号。 4棣莫佛定理是：)(sin(cos)sin(cosZnninrir n n 5若非零复数，则 z 的 n 次方根有 n 个，即：)sin(cosirz ) 1210)( 2 sin 2 (cos nk n k i n k rz n k ， 它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？ 都位于圆心在原点，半径为都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆的圆上，并且把这个圆 n 等分。等分。 n r - 4 - 6若，复数 z1、z2对应的点分别是 A、B，则 121 ) 3 sin 3 (cos32zizz ， AOB（O 为坐标原点）的面积是。33 3 sin62 2 1 7=。zz 2 z 8复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹： 轨迹为一条射线。)(arg为实常数z 轨迹为一条射线。是实常数）是复常数， 00 ()arg(zzz 轨迹是一个圆。是正的常数）rrzz( 0 轨迹是一条直线。)( 2121 是复常数、zzzzzz 轨迹有三种可能情形：是正的常数）是复常数，、azzazzzz 2121 (2 a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当 21 2zza 21 2zza 时，轨迹不存在。 21 2zza 轨迹有三种可能情形：a)当)(2 21 是正的常数aazzzz 时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当 21 2zza 21 2zza 时，轨迹不存在。 21 2zza 4学习目标 (1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识； (2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cos+isin)(Z(a,b)z=a+bi OZ (3)正确区分复数的有关概念； (4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合； (5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三 角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位 i 及 1 的立方虚 根 的性质；模及共轭复数的性质； (6)掌握化归思想将复数问题实数化（三角化、几何化） ； (7)掌握方程思想利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问 题。 （三）例题分析：（三）例题分析： .2004.2004 年高考数学题选年高考数学题选 1. (2004 年四川卷理 3)设复数 i，则 1 2 1 2 3 复数集 纯虚数集 虚虚 数数 集集 实数集 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - A. B.2 C. D. 1 2 1 2(2004 重庆卷 2）)设复数, 则 （ ）zziz2,21 2 则 2 2ZZ A3 B3 C3i D3i 3. （2004 高考数学试题广东 B 卷 14）已知复数 z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = . .范例分析范例分析 实数？虚数？纯虚数？ 复数 z 是实数的充要条件是： 当 m2 时复数 z 为实数 复数 z 是虚数的充要条件： 当 m3 且 m2 时复数 z 为虚数 复数 z 是纯虚数的充要条件是： 当 m1 时复数 z 为纯虚数 【说明】要注意复数 z 实部的定义域是 m3，它是考虑复数 z 是实数，虚数纯虚数的 必要条件 要特别注意复数 za+bi(a，bR)为纯虚数的充要条件是 a0 且 b0 ，所以，代入得，故选 2 22 21441zzzz 5 4 z 3 4 ziB - 6 - 解法 3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为 2+i，它的实部， 2 3 1 4 0z 虚部均为正数，因此复数 z 的实部，虚部也必须为正，故选择 B 【说明】解法 1 利用复数相等的条件；解法 2 利用复数模的性质；解法 3 考虑选择题的 特点 求：z 【分析】确定一个复数要且仅要两个实数 a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系 数法可求出 a、b 确定 z 运算简化 解：设 z=x+yi(x，yR) 将 z=x+yi 代入|z4|z4i|可得 xy，z=x+xi (2)当|z1| 13 时，即有 xx6=0 则有 x=3 或 x=2 22 综上所述故 z0 或 z=3+3i 或 z=-22i 【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质其性质有： (3)1+2i+3+1000 2 i 999 i 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用 i 的幂的周期性， (3)解法 1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i) =250(22i)=500500i 解法 2：设 S1+2i+3+1000，则 iSi+2+3+999+1000， 2 i 999 i 2 i 3 i 999 i 1000 i (1i)S1+i+1000 2 i 999 i 1000 i 【说明】充分利用 i 的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法 - 8 - 【例例 6】已知三边都不相等的三角形 ABC 的三内角 A、B、C 满足 、 ) 2 0(sincos,sincossinsincossin 1 且设复数izCCABBA 的值.)arg(),sin(cos2 212 zzAiAz求 【解解】BCCBACCABBAsinsin)cos(cossinsincossinsincossin 得3 分 2 cos 2 sin2) 2 sin 2 sin( 2 cos 2 sin4 CBCBCBCBAA , 0 2 , 2 cos 2 sin, 2 sin 2 cos 222 CBACBACBACB 又 上式化简为6 分 . 0 2 sin, 0 2 sin CBA 22 1 2 cos2 A A 9 分 ) 2 sin() 2 cos(2 21 izz 2 3 )arg(, 2 0 21z z时当 当12 分 2 )arg(, 2 21 zz时 【例例 7】设 z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若 z1z20，z1z2+=0，问在（0，2）内 z1z2 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 是否存在 使(z1-z2)2为实数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【分析分析】这是一道探索性问题可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要 条件，直接进行解答 【解解】假设满足条件的 存在 因 z1z20，z1z2+=0，故 z1z2为纯虚数 z1z2 又 z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai) =a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini， 于是， a2(1 - cos) - asin = 0 ， a(1 - cos) + a2sin 0 ) 由知 a0 因 (0，2)，故 cos1于是，由得 a= sin 1 - cos 另一方面，因(z1-z2)2R，故 z1-z2为实数或为纯虚数又 z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于 是 sin-a=0，或 1-cos-a2=0 若 sin-a=0，则由方程组 得=sin，故 cos=0，于是 =或 = sin 1 - cos 2 3 2 若 1-cos-a2=0，则由方程组 得()2=1-cos sin 1 - cos 由于 sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故 1+cos=(1-cos)2 解得 cos=0，从而 =或 = 2 3 2 综上所知，在(0，2)内，存在 =或 =，使(z1-z2)2为实数 2 3 2 【说明说明】解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z0，z+ =0z纯虚数 z 以及 z2RzR 或 z纯虚数 （注注：Re(z)，Im(z)分别表示复数 z 的实部与 Re(z) = 0， Im(z) 0) 虚部） 解题规律：对于“是否型存在题型” ，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正 确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立 【例例 8】设 a 为实数，在复数集 C 中解方程： z2+2|z|=a 【分析分析】由于 z2=a-2|z|为实数，故 z 为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论 【解解】设|z|=r若 a0，则 z2=a-2|z|0，于是 z 为纯虚数，从而 r2=2ra 解得 r=(r=0，不合，舍去)故 z=()i 1 + 1 -a1 - 1 -a1 + 1 -a 若 a0，对 r 作如下讨论： （1）若 r a，则 z2=a-2|z|0，于是 z 为实数 1 2 解方程 r2=a-2r，得 r=(r=0，不合，舍去) - 1 + 1 +a- 1 - 1 +a - 10 - 故 z=() - 1 + 1 +a （2）若 r a，则 z2=a-2|z|0，于是 z 为纯虚数 1 2 解方程 r2=2r-a，得 r=或 r=(a1) 1 + 1 -a1 - 1 -a 故 z=()i(a1) 1 1 -a 综上所述，原方程的解的情况如下： 当 a0 时，解为：z=()i； 1 + 1 -a 当 0a1 时，解为：z=()，z=()i； - 1 + 1 +a1 1 -a 当 a1 时，解为：z=() - 1 + 1 +a 【说明】解题技巧：本题还可以令 z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由复数相等的条件将 复数方程化归为关于 x，y 的实系数的二元方程组来求解 【例例 9】 （2004 年上海市普通高校春季高考数学试卷 18） 已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证p0 2 12 x x 052 22 pzz 明. 【解解】由，解得，.方程的判别式.0 2 12 x x 2 1 2x 2 1 2p052 22 pzz)4(4 2 p ，由此得方程无实根. 2 1 2p4 2 4 1 p0052 22 pzz 【例例 10】给定实数 a，b，c已知复数 z1、z2、z3满足 求az1+bz2+cz3的值 |z1| = |z2| = |z3|， (1) z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = 1 (2) 【分析分析】注意到条件(1)，不难想到用复数的三角形式；注意到条件（2） ，可联想使用复数为 实数的充要条件进行求解 【解解】解法一解法一由=1，可设=cos+isin，=cos+isin， |z1| = |z2| = |z3| z1 z2 z2 z3 则=cos(+)-isin(+)因=1，其虚部为 0， z3 z1 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 故 0=sin+sin-sin(+)=2sincos-2sincos + 2 - 2 + 2 + 2 =2sin（cos-cos）=4sinsin sin + 2 - 2 + 2 + 2 2 2 故 =2k 或 =2k 或 +=2k，kZ因而 z1=z2或 z2=z3或 z3=z1 若 z1=z2，代入（2）得=i，此时 z3 z1 az1+bz2+cz3=|z1|a+bci= (a+b)2 + c2 类似地，如果 z2=z3，则az1+bz2+cz3=； (b+c)2 + a2 如果 z3=z1，则az1+bz2+cz3= (a+c)2 + b2 解法二解法二由（2）知R，故 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 =，即 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 _ 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 1 3 3 2 2 1 z z z z z z 由（1）得=(k=1，2，3)，代入上式，得=， zk 1 zk z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 z2 z1 + z3 z2 + z1 z3 即 z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2，分解因式，得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0， 于是 z1=z2或 z2=z3或 z3=z1下同解法一 【说明说明】解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：zRz= ，以及视，等为 z _ z1 z2 z2 z3 整体，从而简化了运算 解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件， 结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果 （四）巩固练习：（四）巩固练习： 设复数 z=3cos+2isin，求函数 y=-argz(0)的最大值以及对应角 的值 2 【分析分析】先将问题实数化，将 y 表示成 的目标函数，后利用代数法（函数的单调性、 基本不等式等）以及数形结合法进行求解 解法一、解法一、由 0，得 tan0，从而 0argz 2 2 由 z=3cos+2isin，得 tan(argz)= tan0 2sin 3cos 2 3 于是tany=tan(-argz)= tan - tan(argz) 1 + tantan(argz) 1 3tan 1 + 2 3tan2 1 3 tan + 2tan = 1 2 3 tan2tan 6 12 当且仅当，即 tan=时，取“=” 3 tan = 2tan 6 2 又因为正切函数在锐角的范围内为增函数，故当 =arctan时，y 取最大值为 6 2 arctan 6 12 解法二、解法二、因 0，故 cos0，sin0，0argz，且 2 2 cos(argz)=，sin(argz)= 3cos 9cos2 + 4sin2 2sin 9cos2 + 4sin2 - 12 - 显然 y(-，)，且 siny 为增函数 2 2 siny=sin(-argz)=sincos(argz)-cossin(argz)= sincos 9cos2 + 4sin2 = 1 9csc2 + 4sec2 1 9 + 9cot2 + 4 + 4tan2 1 13 + 2 9cot24tan2 1 5 当且仅当，即 tan=，取“=” ，此时 ymax=arctan 9cot2 = 4tan2 6 2 6 12 解法三、解法三、设 Z1=2(cos+isin)，Z2=cos，则 Z=Z1+Z2，而 Z1、Z2、Z 的辐角主值分别为 、0，argz如图所示，必有 y=ZOZ1，且 0y 2 在ZOZ1中，由余弦定理得 cosy= |OZ1|2 + |OZ|2 - |Z1Z|2 2|OZ1|OZ| 4 + 4 + 5cos2 - cos2 2 2 4 + 5cos2 =+ 4 + 5cos2 5 6 5 4 + 5cos2 2 6 5 当且仅当 4+5cos2=6，即 cos=时，取“=” 10 5 又因为余弦函数在 0为减函数，故当 =arccos时，ymax=arccos 2 10 5 2 6 5 【说明说明】解题关键点：将复数问题通过化归转化为实数问题，使问题能在我们非常熟 悉的情景中求解解题规律：多角度思考，全方位探索，不仅使我们获得了许多优秀解法， 而且还使我们对问题的本质认识更清楚，进而更有利于我们深化对复数概念的理解，灵活驾 驭求解复数问题的能力解题易错点：因为解法的多样性，反三角函数表示角的不唯一性， 因而最后的表述结果均不一样，不要认为是错误的 四课后作业：四课后作业： 1、下列说法正确的是 A0i 是纯虚数 B原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点 C实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数 D是虚数 2 i 2、下列命题中，假命题是 A两个复数不可以比较大小 B两个实数可以比较大小 C两个虚数不可以比较大小 D一虚数和一实数不可以比较大小 3、已知对于 x 的方程+（12i）x+3mi=0 有实根，则实数 m 满足 2 x 4、复数 1+i+等于 2 i 10 i Ai B i C2i D2i 9图 x argz y o Z1 Z2 Z 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 5、已知常数，又复数 z 满足，求复平|, 0, 101100 zzzzzCz满足复数且1 1 zz 面内 z 对应的点的轨迹。 6、设复数，记。62zi 3 4 u z （1）求复数的三角形式；（2）如果，求实数、的值。u2 ab zu zu ab 7、 （2003 年普通高等学校招生全国统一考试(理 17)） 已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求z60|1|z| z|2|z| z 8、已知复数满足，且。 12 ,