大学物理第三章

第三章第三章 动量守恒定律和能量守恒定律动量守恒定律和能量守恒定律 3-13-1 质量为m的物体，由水平面上点O以初速为 0 v 抛出， 0 v 与水平面成仰角。若不计空气阻力，求： （1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程 中，重力的冲量。 分析：分析：重力是恒力，因此，求其在一段时间内的冲量时，只需求出时间间隔即可。由抛体运动规律可知， 物体到达最高点的时间 g v t sin 0 1 ，物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到达最高点时间的 两倍。这样，按冲量的定义即可求出结果。另一种解的方法是根据 过程的始、末动量，由动量定理求出。 解解 1 1：物体从出发到达最高点所需的时间为 g v t sin 0 1 则物体落回地面的时间为 g v tt sin2 2 0 12 于是，在相应的 过程中重力的冲量分别为 jjFIsind 011 1 mvtmgt t ， jjFIsin2d 022 2 mvtmgt t 3-23-2 如图所示，在水平地面上，有一横截面 2 m20 . 0 S 的直角弯管，管中有流速为 1 sm0 . 3 v 的水通 过，求弯管所受力的大小和方向。 解：解：在 t 时间内，从管一端流入（或流出）水的质量为 tvSm ,弯曲部分AB的水的动量的增量则为 ABAB vvtvSvvmp 依据动量定理 pI ，得到管壁对这部分水的平均冲力 AB vv I F Sv t 从而可得水流对管壁作用力的大小为： N105 . 22 32 SvFF 作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧。 3-33-3 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递 kg50 的重物，结果是A船停了下来，而B船以 1 sm4 . 3 的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量 分别为 kg105 . 0 3 和 kg100 . 1 3 ，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力) 题题 3.33.3 分析：分析：由于两船横向传递的速度可略去不计，则对搬出重物后的船 A 与从船 B 搬入的重物所组成的 系统 I 来讲，在水平方向上无外力作用，因此，它们相互作用的过程中应满足动量守恒；同样，对搬出重 物后的船 B 与从船 A 搬入的重物所组成的系统 II 亦是这样。由此，分别列出系统 I、II 的动量守恒方程 即可解出结果。 解：解：设 A、B 两船原有的速度分别以vA、vB表示，传递重物后船的速度分别以vA、vB表示，被搬运重 物的质量以m表示。分别对上述系统 I、II 应用动量守恒定律，则有 AABAA vmmvvmm （1） ， BBABB vmmvvmm （2）由题意知vA = 0，vB = 3.4 ms1可解得 1 2 AB BB A sm40. 0 mmmmm vmm v ， 1 2 BA BBA B sm6 . 3 mmmmm vmmm v 也可以选择不同的系统，例如，把 A、B 两船（包括传递的物体在内）视为系统，同样能满足动量守恒， 也可以列出相应的方程求解。 3-43-4 一链条，总长为l，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为 a，如图 所示。假定开始时链条静 止。求链条刚刚离开桌边时的速度。 解：解：选取桌边的坐标原点，向下为 x 轴正向，向下 dx 元功 为 其中 x 为下垂端的坐标。链gxdx l m xgdxdA 条刚离开桌面时 ，因为所以， l a l a alg l m xdxg l m dAA)( 2 222 2 1 mvEEA kakb ，所以)( 22a al l g v)( 22 al l g v 3-53-5 一物体在介质中按规律 3 ctx 作直线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。 试求物体由 0 0 x 运动到 lx 时，阻力所作的功。（已知阻力系数为k） 解：解：由运动学方程 3 ctx ，可得物体的速度 2 3 d d ct t x v ,按题意及上述关系，物体所受阻力的大小为 3/43/2422 99xkctkckvF ,则阻力的功为: 3/73/2 0 3/43/2 00 7 27 d9d180cosdlkcxxkcxFW lll xF 3-63-6 一人从 10.00m 深的井中提水，起始桶中装有 10.00kg 的水，由于水桶漏水，每升高 1.00m 要漏去 0.20kg 的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。 解：解：水桶在匀速上提过程中，a a = 0，拉力与水桶重力平衡，有 0 PF 在图示所取坐标下，水桶重力随位置的变化关系为 agymgP 其中a = 0.2 kg/m，人对水桶的拉力的功为 J882dd m10 0 m10 0 yagymgWyF 3-73-7 如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为 m ，从与水平成倾角 0 . 30 斜面上的点A由静止 下滑。设斜面对车的阻力为车重的 25 . 0 倍，矿车下滑距离l时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车 使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A再装 货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？ 解：解：取沿斜面向上为x轴正方向。弹簧被压缩到最大形变时弹簧上端为坐标原点O。矿车在下滑和上行的 全过程中，按题意，摩擦力所作的功为 xlgmmgW25 . 0 25 . 0 f （1）式中m和m分别为矿车满载和空载时的质量，x为弹簧 最大被压缩量。根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值， 故有 kpf EEEW 由于矿车返回原位时速度为零，故 0 k E ；而 sin p xlgmmE ，故有 sin f xlgmmW （2）由式（1） 、 （2）可解得: 3 1 m m 3-83-8 用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击， 能把钉子钉入木板 m1000 . 1 2 ，第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入 多深？ 解：解：因阻力与深度成正比，则有F = kx（k为阻力系数） 。现令x0 = 1.00102 m，第二次钉入的深度为 x ，由于钉子两次所作功相等，可得 xx x x xkxxkx 0 0 0 dd 0 , m1041 . 0 2 x 3-93-9 一质量为m的地球卫星，沿半径为 E 3R 的圆轨道运动， E R 为地球的半径，已知地球的质量为 E m 。 求：（1）卫星的动能；（2）卫星的引力势能；（3）卫星的机械能。 解：解：（1）卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周运动的向心力，由牛顿定律可得 E 2 2 E E 33R v m R mm G ,则: E E2 k 62 1 R mm GmvE （2）取卫星与地球相距无限远（r）时的势能为零，则处在轨道上的卫星所具有的势能为 E E p 3R mm GE （3）卫星的机械能为 E E E E E E pk 636R mm G R mm G R mm GEEE 3-103-10 如图所示，把质量 kg0.20m 的小球放在位置A时，弹簧被压缩 m105 . 7 2 l ，然后在弹簧 的弹性力的作用下，小球从位置A由静止被释放，小球沿轨道ABCD运动。小球与轨道间的摩擦不计。 已知弧BCD是半径 m15 . 0 r 的半圆弧，AB相距为 r2 。求弹簧劲度系数的最小值。 解：解：小球要刚好通过最高点C时，轨道对小球支持力FN = 0，因此，有 r v mmg 2 C (1) 以小球、弹簧和地球为系统，取小球开始时所在位置 A为重力势能的零点，由系统的机械能守恒定律，有 44RTYD1548 2 C 2 2 1 3 2 1 mvrmglk （2） 由式（1） 、 （2）可得 1 2 mN366 7 l mgr k 3-113-11 如图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为 m 的靶， 靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状 态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的 最大 压缩距离。 解：解：以小球与靶组成系统，设弹簧的最大压缩量为x0，小球与靶共 同运动的速率为v1。由动量守恒定律，有 1 vmmmv （1） 又由机械能守恒定律，有 2 0 2 1 2 2 1 2 1 2 1 kxvmmmv （2） 由式（1） 、 （2）可得 vmmk mm x 0 3-123-12 如图所示，一个质量为m的小球，从内壁为半球形的 容器边缘点 A滑下。设容器质量为 m ，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略 的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底 部的点B时，受到向上的支持力为多大？ 解：解：根据水平方向动量守恒定律（将小球与容器视为系统）以及小球在下滑过 程中机械能守恒定律（将小球、容器与地球视为系统）可分别得 0 mm vmmv （1） mgRvmmv 2 m 2 m 2 1 2 1 （2） 式中vm、vm分别表示小球、容器相对桌面的速度。由式（1） 、 （2）可得小球到达容器底部时小球、容器 的速度大小分别为