大学物理 上海交通大学下册 12章 课后习题答案

习题习题 1212 12-1一半径为 10 . 0 米的孤立导体球，已知其电势为 V100 (以无穷远为零电势)，计算球 表面的面电荷密度。 解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，电势为： 00 4 QR U R ， 则： 12 92 0 8.85 10100 8.85 10 0.1 U C m R 。 12-2两个相距很远的导体球，半径分别为 cm0 . 6 1 r ， cm 0 . 12 2 r ，都带有 C103 8 的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。 解：半径分别为1 r 的电量为 1 q ，2 r 电量为2 q ， 由题意，有： 12 0 10 2 44 qq rr ， 8 21 106 qq ， 联立，有： 8 1 2 10qC ， 8 2 4 10qC 。 12-3有一外半径为1 R ，内半径2 R 的金属球壳，在壳内有一半径为 3 R 的金属球，球壳和 内球均带电量q，求球心的电势 解：由高斯定理，可求出场强分布： 13 232 2 0 321 41 2 0 0 4 0 2 4 ErR q ERrR r ERrR q ErR r 321 321 01234 0 RRR RRR UEd rEd rEd rEd r 2 31 22 00 2 44 R RR qq drdr rr 0321 112 () 4 q RRR 。 12-4一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为1 R 、2 R 求球壳内外 和球壳上场强和电势的分布，并画出rE 和 rV 曲线. 解：由高斯定理，可求出场强分布： 11 2 0 212 32 2 0 0 4 0 4 q ErR r ERrR q ErR r 电势的分布为： 当 1 0rR 时， 1 2 1 22 00 44 R rR qq Udrdr rr 1 R 2 R 3 R 1 R 1 R 2 R O r q r O r O E U 2 R 1 R 2 R 012 111 () 4 q rRR ； 当 12 RrR 时， 2 2 2 002 44 R qq Udr rR ； 当2 Rr 时， 3 2 00 44 r qq Udr rr 。 12-5半径 1 0.05 ,Rm ，带电量 8 3 10 Cq 的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内 半径 2 0.07Rm ，外半径 3 0.09Rm ，带电量 8 2 10 CQ 。试求距球心 r 处的 P 点 的场强与电势。 （1） 0.10rm （2） 0.06rm （3） 0.03rm 。 解：由高斯定理，可求出场强分布： 11 212 2 0 323 43 2 0 0 4 0 4 ErR q ERrR r ERrR Qq ErR r 电势的分布为： 当 1 rR 时， 2 13 1 22 00 44 R RR qQq Udrdr rr 01203 11 () 44 qQq RRR ， 当 12 RrR 时， 2 3 2 22 00 44 R rR qQq Udrdr rr 0203 11 () 44 qQq rRR ， 当 23 RrR 时， 3 3 2 0 4 R Qq Udr r 03 4 Qq R ， 当 3 rR 时， 4 2 00 44 r QqQq Udr rr ， （1） 0.10rm ，适用于 3 rR 情况，有： 3 4 2 0 9 10 N 4 Qq E r ， 4 0 900 V 4 Qq U r ； （2） 0.06rm ，适用于 12 RrR 情况，有： 4 2 2 0 7.5 10 N 4 q E r ， 3 2 0203 11 ()1.64 10 V 44 qQq U rRR ； （3） 0.03rm ，适用于 1 rR 情况，有： 1 0E ， 3 1 01203 11 ()2.54 10 V 44 qQq U RRR 。 12-6两块带有异号电荷的金属板A和B，相距 mm0 . 5 ，两板面积都是 2 cm150 ，电量分 别为 C1066 . 2 8 ，A板接地，略去边缘效应，求：（1）B板的电势；（2）AB间离 A板mm0 . 1处的电势。 3 R 2 R 1 R q Q B P A 5mm 1mm 解：（1）由 0 E 有： 0 q E S ， 则： 0 AB qd UEd S ，而 0 A U ， 83 122 2.66 105 10 1000 8.85 101.5 10 B UV ， 离A板 mm0 . 1 处的电势： 3 1 ( 10 )200 5 P UV 12-7平板电容器极板间的距离为 d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚 度为 t(td)的金属板，求无金属板时和插入金属板后极板间电势差的比；如果保持两极板 的电压不变，求无金属板时和插入金属板后极板上的电荷的比。 解：（1）设极板带电量为 0 Q ，面电荷密度为 0 。 无金属板时电势差为： 0 10 0 UEdd ， 有金属板时电势差为： 0 20 0 ()()UEdtdt ， 电势差比为： 0 01 0 2 0 () d Ud Udt dt ； （2）设无金属板时极板带电量为 0 Q ，面电荷密度为 0 ， 有金属板时极板带电量为Q，面电荷密度为。 由于 12 UU ，有 0 ()EdEdt ，即 0 00 ()ddt 00 Qdt Qd 。 解法二： 无金属板时的电容为： 0 0 S C d ，有金属板时的电容为： 0 0 S C dt 。那么： （1）当极板电荷保持不变时，利用 Q C U 知： 1 2 Ud Udt ； （2）当极板电压保持不变时，利用 Q C U 知： 0 Qdt Qd 。 12-8实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E垂直于地面向下，大小约为 V/m130 .在 离地面 km5 . 1 的高空的场强也是垂直向下，大小约为 5V/m2 . （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到 km5 . 1 高空的空气中的平均电荷密度 解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用 0 0 E 考察，选 0 E d 0 E 0 0 d t E U t 0 130E 地面 1.5hkm S 25E 竖直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为 0 130EV ，所以： 1292 0 8.85 10( 130)1.15 10EC m ； （2）如图，由高斯定理 0 1 i S S E dSq A 内 ，有： 0 0 () h S ESES ，则： 3 12 1.5 10 25( 130) 8.85 10 ， 得： 133 6.2 10C m 。 12-9同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱 半径为1 R ，电势为1 V ，外圆筒的内半径为2 R ，电势为2 V .求其离轴为r处(1 R r2 R )的 电势。 解：1 R r2 R 处电场强度为： 0 2 E r ， 内外圆柱间电势差为： 2 1 2 12 001 ln 22 R R R VVdr rR 则： 12 021 () 2ln() VV RR 同理，r处的电势为： 2 2 2 00 ln 22 R r r R UVdr rr （*） 2 2 0 ln 2 r R UV r 2 122 21 ln() () ln() Rr VVV RR 。 【注：上式也可以变形为： r U 1 112 21 ln() () ln() r R VVV RR ，与书后答案相同，或将（*） 式用： 1 1 001 ln 22 r r R r VUdr rR 计算，结果如上】 12-10半径分别为 a 和 b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将 两者相连接，并给系统带上电荷 Q，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑 a 和 b 的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等： 00 44 ab ab qq rr ，再由系统电荷为 Q，有： ab qqQ 两式联立得： a Qa q ab ， b Qb q ab ； （2）根据电容的定义：0 4 a QQ C Uq a （或0 4 b QQ C Uq b ） ，将（1）结论代入， 有： 0 4()Cab 。 12-11图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下， 内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。 1 R2 R 1 V 2 V 解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为： 2 0 4 Q E r ， 而电势差： 2 00 44 bb aa QQba UE d rd r rab ， 0 4 QUab ba ，那么，场强表达式可写为： 2 abU E ba r 。 因为要考察内球表面附近的场强，可令 ar ，有： () a bU E ba a ， 将a看成自变量，若有 0 a dE da 时，出现极值，那么： 22 (2 )0 () bU ba aba 得：2 b a ，此时： min 4 a U E b 。 12-12一空气平板电容器，极板 B、A 的面积都是S，极板间距离 为d接上电源后，A板电势 VU A，B板电势 0 B U 现将 一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极 板的中间位置，如图所示，试求导体片C的电势。 解：由题意，22 ABBC dd VEE ，而： 0 A AB E ， 0 A BC E 且 q S ， 00 2 Ad qd V S ，则： 0 0 () 2 A qd V Sd 。 导体片C的电势： 0 22 A CCBCB dd UUE ， 0 1 () 22 C q UVd S 。 12-13两金属球的半径之比为 14，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径 时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球 1 rR ，大球 2 4rR ，两球各自带有电量为q，有： 接触之前的电势能： 22 0 00 444 qq W RR ； （2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为 1 q ，大金属球带电为 2 q ， 有： 12 0102 44 qq RR 和 12 2qqq ，联立解得： 1 2 5 q q ， 2 8 5 q q 。 那么，电势能为： 22 22 12 0 0000 464 16 2525 44444425 qq qq WW RRRR 。 思考题思考题 1212 12-1一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有 q 和 q 的电 荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电 场线应如何分布。 答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交， 两板的电场线接近板面时应该垂直板面。 12-2在“无限大”均匀带电平面A附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面 导体板B，如图所示已知A上的电荷面密度为 ，则在导体板B的两个表面 1 和 2 上的感生电荷面密度为多少？ 答：2 1 ，2 2 。 12-3充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F与两极板间的电 压U之间的关系是怎样的？ 答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。 12-4一个未带电的空