大学物理下册第十三章

1 I3 I 第十三章 稳恒磁场 131求各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。 解 (a) P 点在水平导线的延长线上， 水平导线在 P 点不产生磁场。 P 点到竖直导线两端的连 线与电流方向的夹角分别为 = 0 ， = 。因此，P 点的磁感应强度的大小为 B = 0I 0 cos 0 cos = 2 2 0 I 4a 2 4a 方向垂直纸面向外。 (b) 两条半无限长直导线在 P 点产生的磁场方向相同，都是垂直于纸面向内，它们在 P 点产 生的磁场的磁感应强度之和为 B = 2 0 I = 0 I 1 4r2r 半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形 导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即 B2 = 1 0 I = 0 I 2 2r4r 方向垂直纸面向内。 (c) P 点到三角形每条边的距离都是 d = 3 a 6 每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是 B = 0 (cos 30 0 cos150 0 )=0 0 4d2a 故 P 点总的磁感应强度大小为 B = 3B= 9 0 I 0 2a 方向垂直纸面向内。 132有一螺线管长 L20cm，半径 r=2.0cm，导线中通有强度为 I=5.0A 的电流，若在螺 线管轴线中点处产生的磁感应强度 B 6.16 10 3 T 的磁场， 问该螺线管每单位长度应多少 匝? 解 已知载流螺线管轴线上场强公式为 0 B =nI (cos 1 cos 2 ) = 0 nI cos 2 2 3 7 2 n = B 0 I cos 2 = B L 2 0 I 2 = 6.16 10 4 10 7 5.0 20 2 2 = 200匝 L + r 2 4 20 + 2 2 4 133若输电线在地面上空 25m 处，通以电流1.8 103 A。求这电流在正下方地面处产生 的磁感应强度。 解 已知直线电流的磁场公式 0 I B = 4a (cos1 cos 2 ) = 4 101.8 103 (cos 0 cos ) = 3.6 10 6 T 4 25 134在汽船上，指南针装在距载流导线 0.80m 处，该导线中电流为 20A。(1)将此导线作 无限长直导线处理， 它在指南针所在处产生的磁感应强度是多大?(2)地磁场的水平分量(向北) 为 0.18 10 4 T。由于电流磁场的影响，指南针的 N 极指向要偏离正北方向。如果电流的磁 场是水平的，而且与地磁场垂直，指南针的指向将偏离多大?求在最坏情况下，上述汽船中 的指南针的 N 极将偏离北方多少度? 解 (1) 电流在指南针所在处的磁感应强度的大小为 B = 0 I 2 10 7 20 =T = 5.0 10 6 T 1 2r0.80 (2) 如果电流的磁场是水平的而且与地磁场的水平分量 B2 垂直(如图 a)，指南针偏离正北方 向的角度为 ，则 tan = B1 = 5.0 10 6 = 0.28 = 150 31 B0.18 10 4 设指南针由于电流磁场偏离正北方向的角度为 1 ，由图(b)可知 B2 sin 1 = B1 sin 2 两边微分后可得 d1 d 2 = B1 cos 2 B2 cos 1 为求 1 的最大值 m ，令 d1 d 2 = 0 ，则有 13-3 m cos 2 = 0 2 = 2 因此sin m= B1 B2 = 0.28 = 16 0 8 135在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕平面线圈，通有电流 I， 方向如图所示。求中心 O 处的磁感应强度。 解 取一半径为 x 厚度为 dx 的圆环,其等效电流为: dI =jdx = NI dx R r dB0 dI = 0 2 x = 0 NIdx 2 x(R r ) B0 = R dB0 = 0 NIdx = 0 NI ln R NI r 2 x(R r )2(R r )r 方向垂直纸面向外. 136电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I=5.0A，圆筒半径 R=1.0 10 2 m 如图 所示。求轴线上一点的磁感应强度。 解 在金属片上对称地取两个宽为 ds = ds1 = ds2 的窄条。 条上电流为 dI = ds I R 每个窄条是一条无限长载流直导线，在中心轴线上 P 点产生的 dB 为 dB = dB= 0 dI 12 2R dB1 和 dB2 的方向已表示于图中，两者 x 分量相抵消，y 分量相加，总场只有 y 分量。由这 两条导线上电流共同贡献的磁感应强度是 dB = 2 0 dI cos = 0 I cosds 2R ds = Rd 2 R 2 I dB = 0 cosd 2 R I dB = 0 cosd 2 R 137如图所示，长直导线通有电流 I，求通过与长直导线共面的矩形面积 CDEF 的磁通 量。 I 解 长直导线形成的磁感应强度为: B = 0 ,取如图所示的微元,设顺时针方向为正,则 2x rr I d = B dS = 0 ldx 2x b Il Il b = d = 0 dx =0 ln S a 2x 2 a 138长直导线 aa 与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点 a， 另一直导线 bb 沿半径方向与 圆环接于点 b，如图所示。现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。 (1)求圆环中心点 O 的 B。 (2)B 沿闭合路径 L 的环流 B dl 等于什么? L rrrrr 解(1) B0 = B1 + B2 + B3 + B4 其中:B4 = 0 B1 = 0 I 4R 13-5 B = 2 0 I 2 , B = 1 0 I 3 , I 2 = l3 2 3 2R 3 3 2RI 3l2 rr 故 B2 与 B3 大小相等,方向相反,所以 B2 + B3 = 0 因而 Bo = B1 = 0 I 4R ,方向垂直纸面向外. (2)由安培环路定理,有: rr 2I B dl L = 0 I i = 0 (I 3 I ) = 0 3 139矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共 N 匝，通以电流 I，试证明通过螺 绕环截面的磁通量为 = 0 NIh ln D1 2 D2 证明 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为 r， D2 B1 ，说明载流平面的磁场 B0 的方向与所放入的均匀磁场 B 的方向在平 面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面 电流密度为 j。则 13-11 k 2 B1 = B B0 = B B2 = B + B0 = B + 1 0 j 2 1 0 j 2 由此二式解得 B = 1 (B+ B )，j = 1 (B B ) 1221 0 在载流平面上沿电流方向取长为 h、宽为 dl 的条形面积，面积 dS=hdl，面积上电流 dI=jdl， 此电流受到的磁力大小为 dF = BhdI = Bjhdl = BjdS 载流平面单位 面积所受磁力大小为 dF = Bj = 1 (B + B )(B B )= 1 (B 2 B 2 ) 212121 dS2 0 2 0 方向为垂直于平面向左。 13-20磁 场 中 某 点 处 的 磁 感 应 强 度 B = 0.40i 0.20 j(T )， 一 电 子 以 速 度 v = 0.5 10 6 i + 1.0 10 6 j(m s )通过该点。求作用在该电子上的磁场力。 解 由洛仑兹力公式,有: rrs ijk r r r F = qv B = 1.6 10 19 0.5 0.4 1.0 0.2 0 106 0 = 8 10 14 ( N ) 1321质子和电子以相同的速度垂直飞入磁感应强度为 B 的均匀磁场中，试求质子轨道 半径 R1 电子轨道半径 R2 的比值。 解 由粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径公式 r = mv qB Rm v 质 =质 m电 v = m质 = 1.67 10 27 = 1.84 103 R电q质 Bq电 Bm电0.9110 30 1322估算地磁场对电视机显像管中电子束的影响。假设加速电压为 2.0 10 4 V ，电子枪 到屏的距离为 0.40m。试计算电子束在 0.50 10 4 T 的横向地磁场作用下，约偏转多少?假定 没有其它偏转磁场，这偏转是否显著? 解 电子动能 1 mv 2 = eU 2 式中 U 为加速电势差。电子的速度大小为 v = 2eU =2 1.6 10 19 2.0 10 4 m s = 8.4 10 7 m s m9.1 10 31 在横向地磁场的作用下，电子沿弧形轨道运动，轨道半径为 R = mv = 9.1 10 31 8.4 10 7 m = 9.6m eB1.6 10 19 0.5 10 4 设电子枪到屏的距离为 d，由图可知，电子到达屏时，它的偏转距离为 x = R R 2 d 2 = (9.6 9.6 2 0.2 2 )m = 2 10 3 m = 2mm 相对于电子枪到屏的距离，这偏转不算显著。 1323一块半导体的体积为 a b c ， 如图示。 沿 x 方向有电流 I， 在 z 方向有均匀磁场 B。 这时实验得出的数据为 a=0.10cm，b=0.35cm， c=1.0cm，I1.0mA，B=0.30T，半导体片两 侧的霍耳电势差 U AA 6.55mV。 (1)问这块半导体是 p 型还是 n 型? (2)求载流子浓度。 解 (1) 因载流子所受磁力方向沿 y 轴反方向，侧面 A 电势较低，故载流子是负电荷(即电 子)，这半导体是 N 型半导体。 (2) 霍尔电压 U AA = IB nea 由此可得载流子浓度 IB1.0 10 3 0.30 n = eaU AA = 1.6 10 19 0.10 10 2 6.55 10 3 个 m 3 = 2.86 10 20 个 m 3 13 24掺 砷的硅片是 n 型半导体，其中载流子浓度是 2.0 10 21 个 m 3 ，电阻率是 1.6 10 2 m 。 用 这 种 硅 做 成 霍 耳 探 头 以 测 量 磁 场 。 硅 片 的 尺 寸 相 当 小 ， 是 0.50cm 0.20cm 0.0050cm。将此片长度的两端接入电压为 1V 的电路中。当探头放到磁场 13-13 2 = 2 2 0 2 = 22 某处并使其最大表面与磁场方向垂直时，测得 0.20cm 宽度两侧霍耳电压是 1.05mV。求磁场 中该处的磁感应强度。 解 设 a=0.5cm，b=0.2cm，c=0.005cm。硅片的电阻 R = a bc 因此电流 I = U R = Ubc a 硅片的霍尔电压 U H = IB nec = BUb nea 由此可得磁感应强度 neaU B = H Ub 2119223 = 2 10 1.6 101.6 10 0.5 101.05 10 T = 1.34 10 2 T 1 0.2 10 2 1325从经典观点看， 氢原子可视为是一个电子绕核作高速旋转的体系。 已知电子和质子 的电量均为 e，电子质量是 m，氢原子圆轨道半径为 r，电子作平面轨道运动。试求电子的 轨道磁矩 pm 和它在圆心处产生的磁场 B0 。 解 电子作角速度为 的圆周运动，则有： mr 2 = e 2 4 0 r 因此 = e 4mr 3 I = ne = e = eee 2 r 32 2 24 0 mr 4r 0 m PIS er r 2 er m =n = 4r 2 0 m = 4 0 m Ie 2 r e 2 r e 2 1 圆心处的B = 0 = 0 0 3 0 2 2r2r4r 0 m 8r 0 m8r 0 mr 1326半径为 a、线电荷密度为 (常量)的半圆，以角速度 绕轴 OO 匀速旋转，如图 所示。求： (1)在点 O 产生的磁感应强度 B； (2)旋转的带电半圆的磁矩 Pm 。 2 解 （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量 dq = dl = ad 旋转后形成电流元 dI = n dq = 2 dq = a d 2 IR 2 由圆环 B = 0 得 2(R 2 + x 2 )3 2 R = a sinx = a cos dB = 0a sin 2 dI a 2 = 0 sin 2 dI = 0 sin 2 d 2(a 2 sin 2 + a 2 cos 2 )3 2 2a 3 4 B =dB = 0 sin 2 d = 0 方向向上 0 48 （2） P a a 3 =a 2 sin 2 d = a 3 sin 2 d = 方向向上。 m 0 2 2 0 4 1327有一均匀带电细直棒 AB，长为 b，线电荷密度为 。此棒绕垂直于纸面的轴 O 以 匀角速度 转动，转动过程中端 A 与轴 O 的距离 a 保持不变，如图所示。求： (1)点 O 的磁感应强度 B0 ； (2)转动棒的磁矩 Pm ； (3)若 ab，再求 B0 和 Pm 。 解(1)对 r r + dr 段,电荷 dq = dr ,等效电流为: dI = dq 2 = dr 2 13-15 它在 O 点的磁感应强度 dB0 = 0 dI 2r = 0 dr 4r B = dB a +b dr a + b = 0 = 0 ln 00 4 a r4a 2 1 2 (2) dpm = rdI =r dr 2 a +b 1 2 pm = dpm = a r dr