江西省鹰潭市2017届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案

鹰潭市 2017 届 高三第二次模拟考试 数学试题（ 理科 ） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 合 22| 1 , | l o g , 0 41A x B y y x ， 则 （ ） A B (1,2 C ,1 D 2,3 2.“ 11s i n c o s 2Z i（其中 是虚数单位 ）是 纯虚数 .”是 “ 26 k” 的 （ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分 也不必要 n 项和是351, 4，则13S （ ） A 39 B 91 C 48 D 51 “ 平面中 到定点等于定长的点轨迹是圆 ” 拓展 至空间： “ 空间中 到定点的距离等于定长的点的轨迹是球 ” ， 类似可得：已知 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0，则点 集 , , | 1P x y z P A P B在 空间中的轨迹描述正确的是 （ ） A以 ,B以 , C. 以 ,点 的双曲线单 支绕 轴 旋转 而成的旋转 曲面 D以上 都不对 情好客，凡逢喜事，一定要摆上酒宴， 请 亲朋好友、同事 高 邻 来 助兴庆贺 迎亲嫁女，乔迁新居，学业有成，仕途风顺，添丁加口，朋友相聚 ，都要以酒示意，借酒表达内心的欢喜 有酒宴，一定要划拳，划拳是余江酒文化的特色 拳注重礼节，形式多样 ； 讲究规矩，蕴含着浓厚的传统文化和淳朴的民俗特色 节上，讲究 “ 尊老尚贤敬 远 客 ” 一般 是东道主自己 或委托 桌上一位酒量好的划拳高手来 “做关”， 就是依次陪桌上会 划拳 的划 一年 数十二 拳（也有半年 数六拳 ） 后晚辈还要敬长辈一杯酒 . 再一次 家族宴 上 ，小明先陪他的叔叔猜拳 12 下 ，最后他还要敬他叔叔一杯，规则如下：前两 拳只有 小明猜叔 赢 叔叔，叔叔才会喝下这杯敬酒，且 小明 也要陪喝，如果第一拳小明没猜到，则 小明喝下第一杯酒，继续猜第二拳，没猜到继续喝第二杯，但第三拳不管谁赢双方同饮 自己杯中酒，假设小明每拳赢叔叔的概率为 13，问在敬酒这环节小明喝酒三 杯 的概率是多少（ ） （猜拳 只是一种娱乐， 喝酒千万不要过量！） A 49B s i n 0 , 0 , 0f x A x A 的图象如图所示，则下列有关 描述正确的是（ ） A 23B 7 ,12x k k Z 为其 所有对称轴 C. 7,1 2 2 1 2 2kk 为其 减区间 D 变为 偶函数 7. 若 110，则下列结论正确的是（ ） A 22 B 11122 C. 2D 8. 已知有 下面程序，若程序执行后输出的 结果是 11880， 则在程序后面的 “_” 处 应填（ ） A 9i B 8i C. 10i D 8i 9. 已知 ,，则 226 8 2 5z x x y y 的取值范围是（ ） A 121,812B 121,732C. 65,73 D 65,81 10. 如图 是某几何体挖去一部分后得到的三视图，其中 主视图 和左视图相同都是 一个 等腰梯形及它的内切圆， 俯视图 中有 两个 边长分别为 2 和 8 的 正方形且图中的圆与主视图圆大小相等并且圆心为两个 正方形的中心 几何体的体积是（ ） A 420 323 B 336 323 3 D 1 6 8 2 6 4 23 2x 和 2 2 12x y的 公切线 P 是 抛物线的切点，未必是双曲线的切点 ）与 抛物线的准线交于 ,02，若 23P Q P F ，则抛物线的方程是 （ ） A 2 4 B 2 23 C. 2 6 D 2 22 12. 2 0 1 7 2 0 1 6 1 1 2 0 1 6 2 0 1 7f x x x x x x x ，在 不等式 2017 1xe a x x R 恒成立的条件下 等式 2 0 1 8 2 0 1 7f a f b 恒成立，求 ） A | 2 0 1 6 2 0 1 8 B 2016, 2018 C. 2018 D 2017 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） , 1a a b ，则 n 项和是 111, 2 a n N ， 则 15. 20 1 20 1x a x a x a x d x x x ， 则12 na a a l 与函数 c o s ,22y x x 图象相切于点 A ，且 , , 02l C P C ， P 为图象的极值点， l 与 x 轴 交点 为 B ，过切点 A 作 AD x 轴， 垂足 为 D ，则D 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在 中， 角 ,对边分别为 ,且 2b . （ 1）若 角 ,等差数列，求 外接圆的半径； （ 2）若三边 ,求 内切圆半径的最大值 . 18. 如图半圆柱1， 面11过上下 底面圆心连线1， , 一点 . （ 1）证明 ：三棱锥 Q 体积 13Q ，并指出 P 和 Q 满足什么条件时有 Q （ 2）求二面角 P 平面角 的取值范围，并说明理由 . 19. 鹰潭市 龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家 旅游景区 龙虎山主景区排 衙峰 下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园， 园内 汇集了 3000 余 种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢 观融合法、英 、 意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖 草花溪、 台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示 区自 2015 年 春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美 人等赏花旺季日入园人数最高达万人 . 某学校 社团为 了解 进 园 旅客 的 具体情形 以及 采集 旅客 对园区的建议，特别在 2017 年 4 月 1日 赏花旺季对 进园游客 进行取样调查，从当日 12000 名 游客中抽取 100 人 进行统计分析， 结果 如下：（ 表 一） 年龄 频数 频率 男 女 0,10) 10 5 10,20) 20,30) 25 2 13 30,40) 20 0 10 40,50) 10 4 50,60) 10 7 60,70) 5 4 70,80) 3 2 80,90) 2 2 合计 100 5 55 （ 1）完成 表格一中的空位 - ， 并 在 答题卡 中补全 频率分布直方图，并估计 2017 年 4 月1 日当日接待游客 中 30 岁 以下人数 . （ 2）完成表格二 ，并问你能否有 把握认为在 观 花游客中 “ 年龄 达到 50 岁 以上 ” 与“ 性别 ” 相关 ？ （ 3）按分层抽样 （ 分 50 岁 以上与 50 以下 两层） 抽取被 调查 的 100 位 游客中的 10 人 作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这 10 人 中选取 2 人 接受电视台采访，设这 2 人中年龄在 50 岁 以上（ 含 ） 的 人数为 ，求 的分布列 （表二） 50 岁 以上 50 岁 以下 合计 男生 女生 合计 2()P K k 10 k 参考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d ，其中 n a b c d .） 20. 已知 1 , 0 , 1 , 0 , ,A B A P A B A C 4 （ 1）求 P 的轨迹 E （ 2）过 轨 迹 E 上任意一点 P 作圆 22:3O x y的切线12,直线12,OP l 2,k k k，试问在三个斜率都存在且不为 0 的 条件下，0 1 21 1 1k k k是否是定值 ， 请说明理由，并加以证明 . 21. 已知 函 数 2 l n 2 l x x a （ 1）若 0k ，证明 0； （ 2）若 0，求 k 的取值范围 ； 并证明此时 a 无关 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分 . : 2 c o s 8 0C 曲线 2:1（ t 是 参数） （ 1）求曲线 C 的普通方程，并指出它是什么曲线 . （ 2）当 k 变化时 指出曲线 E 是什么 曲线 以及它 恒 过的 定点 并求曲线 E 截 曲线 C 所得 弦长 的最小值 . 23. 2=f x x a x a ， 1,3a （ 1）若 1a ，解不等式 4 （ 2）若对 , 1, 3x R a ，使得不等式 m f x 成立，求 m 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1 B B B C A 6 D D A A B 11、 12： B A 二、填空题 13. 1 14. 2112 3 2n n 15. 12 2 1 16. 2 44 三、解答题 17.（ 1）由 角 A B C， ， 成 等差数列 及 A B C 得3B ， 设 外接圆 的半径为 R 由 正弦定理 2 1 2 3233s i ， （ 2）由 三边 ,差数列得 2b a c ， 所以 6 ， 设 内切圆 半径为 r ， 面积为 s ， 则 11 s i a b c r a c B 所以 r 方法一： 42 4 22 2 2 2422a c a ca c bc o s Ba c a c 1 2 2 6 6 1112 4 2c a c （ 取等号） 3(0B ，所以 32（3B 时取等号） 34s i n 326 6 3a c （ ,3a c B 时 取等 ，即 三角形为正三角形时 ） 方法二 ： 22 2 2 2422a c a ca c bc o s Ba c a c 1 2 2 6 12 c a c 2226 1 2 3 6s i n 1 c o s 1 1c a c 2392s i n 3 96 6 3ac ac c B a 4c ba b cb c a ， 13132 24 2 4 ( 3 , 4 a c a a a 3(0, 3r 33r18.（ 1） 证明： 13Q A B P A B PV s h，其中 h 是 Q 到平面 距离 ，（由 条件及圆柱性质 ）即 平面11 距离 且 为定值 1 由 半圆性质 90 所以 224P 所以 由均值不等式 221 124 P B P B P 1133Q A B P A B PV s h 要有 Q 因为 P 等价于要有 面 所以 需要 P 即可！ 注： 1、不用均值不等式证明老师斟酌给分 ，若数形结合证明，只要说清楚了就给满分 2、（ P 等价说法 ：1B， 面 可以！） （ 2） 如图以 O 为 原点、 x 轴 、1 轴建 坐标系作 直于平面 N ， 记 0,A O N ， 1,0,0A 1,0,0B c o s , s 0Q 平面 向量可取 0,0,1n 设 平面 法向量 ,m x y z c o s 1 , s i n , 1 2, 0, 0 00m Q 得 c o s 1 s i n 020x y 可令 0 , 1, s 2001s i n 20c o s , 0 ,1 2s i n 1 s i ns i 所以 二面角 P 平面角范围 ,4219.（ 1）完成表 （ 一 ） ； 完成频率分布直方图 30 岁 以下频率 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 5 0 . 5 以频率作为 概率，估计 2017 年 7 月 1 日 当日接待游客中 30 岁 以下 人数 ： 1 2 0 0 0 0 0 0 0 （表一） 年龄 频数 频率 男 女 0,10) 10 5 10,20) 20,30) 25 2 13 30,40) 20 0 10 40,50) 10 4 50,60) 10 7 60,70) 5 4 70,80) 3 2 80,90) 2 2 合计 100 5 55 （ 2）完成表格 50 岁 以上 50 岁 以下 合计 男生 5 40 45 女生 15 40 55 合计 20 80 100 22 1 0 0 5 4 0 4 0 1 5 400 4 . 0 4 5 . 0 2 42 0 8 0 5 5 4 5 9 9 所以 没有 把握认为在 观花 游客中 “ 年龄 达到 50 岁 以上 ” 与 “ 性别 ” 相关 （ 3）由 分层抽样应从这 10 人 中抽取 50 岁 以上人数： 10 人 ， 50 岁 以下人数 8 人取值可能 0,1,2 022821028045 112821016145 20282101245 0 1 2 P 2845 1645 145 20.（ 1）方法一 ： 如图 因为 B 所以 四边形 平行四边形 所以 C ， 由 4C得 4P 所以 P 的 轨迹是以 ,点的椭圆易 知 24a 1c 所以 方程 为 22143方法二 ： 设 ,P x y 由 A P A B A C得 1,A C A P A B B P x y 再 4C得 22221 1 4x y x y 移项 1 4 1x y x y 平方化简 得： 22143（从 22221 1 4x y x y 发现 是椭圆方程也可以直接得 24a 1c ， 分档批阅老 师自己把握 ） （ 2）设 00,P x y，过 P 的 斜率 为 K 的 直线 为 00y y k x x ，由直线与圆 O 相切 可得 02 31y 即 ： 2 2 20 0 0 03 2 3 0x k x y k y 由 已知可知12,关于 K ） 2 2 20 0 0 03 2 3 0x k x y k y 的 两个根 ， 所以由 韦达定理： 0012 202012 202333 两式相除：0012 21 2 02 3k y 又 因为 2200143所以 220033 4 代入 上 式可得 ：0121 2 083 k x 即：0 1 21 1 1 83k k k 为一个定值 . 21.（ 1）若 22220, a x ak f x x x x 当 0 , , 0 ,2ax f x f x 单调递减；当 , ) , 0 ,2ax f x f x 单调递增 所以 m i n 2 l n 2 2 l n 2 1 l n 2 022x f a ，得证 （ 1）若 2 l n 2 l n 0x x a ， 变形得到 2 ln x a x x， 令 =0x ，得到22 tt 232 l n 12 l n 1 , t t t g t ， 令 l n 1 , l nk t t t t k t t ，可得 ,1 单增，在 1, ) 单减，所以 0 , 0k t g t， 0, 单减，当 ,0t g t 所以 0， 0k （注 ：若令 0a ）， 得到 22 t t k 令 22 l n , 2 2 1 l ng t t t t g t t t ， 112 1 2 ， 所以在 (0,1 单减 ，在 1, ) 单增 ， 所以 10g t g，