安徽省蚌埠市2017届高三第二次数学质量检查理科数学试卷含答案

安徽省蚌埠市 2017 届高三第二次数学质量检查 理科数学试卷 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 2| 2 0 , 1 , 0 , 1 , 2A x x x B ，则 （ ） A 0,2 B 0,1,2 C 1,2 D 1,0,1 2. 已知复数 z 满足 i ，则 z （ ） A 1i B 1i C 1i D 1i 3 4 1的图象大致是 （ ） A B C D 4. 已知等差数列 n 项和为满足692 4 , 6 3，则4a（ ） A 4 B 5 D 7 5. 如图所示的程序框图中 ，如输入 4, 3， 则输出 y （ ） A 61 B 62 D 184 6. 平行四边形 ， 2 , 1 , 1A B A D A B A D ，点 M 在边 ， 则 （ ） A 2 B 2 2 1 D 31 7. 在射击训练中 ，某战士射击了两次 ，设命题 p 是“ 第一次射击击中目标”，命题 q 是“ 第二次射击击中目标 ”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 （ ） A 为真命题 B 为真命题 C. 为真命题 D 为真命题 8. 已知双曲线 222 10 ， 以原点 O 为圆心 ， 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 , , ,A B C D 四点 ，四边形 面积为 b ， 则双曲线的离心率为 （ ） A 3 B 2 D 22 9. 已知函数 2 31c o s s i n 0 , 2xf x x x ,2内没有零点 ， 则 的取值范围是 （ ） A 50,12 B 5 5 1 10 , ,1 2 6 1 2 C. 50,6 D 5 5 1 10 , ,1 2 6 1 2 10. 已知函数 1xf x x a e，曲线 y f x 上存在两个不同点 ，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直 ，则实数 a 的取值范围是 （ ） A 2 ,e B 2,0e e D21 ,0e 11. 如图 ，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某四棱锥的三视图 ，则该几何体的体积为 （ ） A 15 B 16 53312. 数列 a 为 首项， q 为公比的等比数列，数列 121 . . . 1 , 2 , . . a a a n ， 数列 足 122 . . . 1 , 2 , . . b b b n ，若 （ ） A 2 B 3 C. 5 D 6 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案 填在答题纸上） 13. 二项式 3 1 的展开式中， 所有项的二项式系数之和为 4096 ， 则常数项等于 14. 已知边长为 3 的正 的三个顶点都在球 O 的表面上，且 成的角为 60 ， 则 球 O 的表面积为 点作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的射影 ，由区域 22 3 90 内的点在直 线 : 2 3 9 2 0l x y x y 上的射影构成线段记为 则 16. 赌博有陷阱 某种赌博游戏每局的规则是：参与者现在从标有 5,6,7,8,9 的相同小球中随机摸取一个 ， 将小球上的数字作为其赌金（单位 ：元）； 随后放回该小球，再随机摸取两个小球 ，将两个小球上数字之差的绝对值的 2 倍作为其奖金（单位 ：元）若随机变量 和 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌 金与奖金 ，则 （元） 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，内角 , 对的边分别为 ,知 2 s i n 2 s i n s i B C ，且2A . （ 1）求 ； （ 2）若 2,3，求 的面积 . 18. 如图，四棱锥 P 中，平面 平 面 2 2 4A C B C C D ， 60A C B A C D . （ 1）证明： D ； （ 2）若 22A P P C， 求二面角 A 的余弦值 19. 某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 300 名教师，为调查他们的备课时间情况 ，通过分层 抽样获得了 20 名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时） ： 高一年级 7 8 9 高二年级 7 8 9 10 11 12 13 高三年级 6 7 11 17 （ 1） 试估计该校高三年级的教师人数 ； （ 2） 从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级 选出的人记为乙 ，假设所有教师的备课时间相对独立，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ； （ 3） 再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师， 他们该周的备课时间分别是8,9,10 （单位： 小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1x ，表 格中的数据平均数记为0x，试判断0 （结论不要求 证 明） 20. 如图 ，已知椭圆 22 10xy 的左右顶点分别是 2 , 0 , 2 , 0,离心率为 22,设 点 ,0P a t t ,连接 椭圆于点 C ，坐标原点是 O . （ 1）证明： C ； （ 2） 若三角形 面积不大于 四边形 面积，求 t 的最小值 21. 已知函数 2 1 2 l n Rf x a x a x x a . （ 1） 求函数 1,2 上的最大值 ； （ 2）若 1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y C x 120 2，试判断 0 之间的大小关系，并证明 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 在极坐标系中，曲线1 : 2 c o ， 曲线 2 : c o s 4 c o 极轴为 x 轴正半轴建立 直角 坐标系 曲线 C 的 参数方程 为122 (32 为参数） . （ 1）求12,； （ 2） C 与12,四点在 C 上的排列顺次为 , , ,H I J K ， 求 K 的值 . 等式选讲 已知 , R , 7 , 1 1x y m n f x x x . （ 1） 解不等式 f x m n x； （ 2）设 m a x ,a a a b ，求 22m a x 4 , 2F x y m y x n 的最小值 安徽省蚌埠市 2017 届高三第二次数学质量检查理科数学试卷 参考答案 一、选择题 1 6 11、填空题 13. 220 三、解答题 17. 解： (1)由 2 s i n 2 s i n s i B C ，得 4 co s A B A B ，得 2 s i n c o s s i n c o B A ， 因为2A ，所以 A ，得 ， 由正弦定理 12, 2，故 12. (2) 由 余 弦定理 可知： 22 4a b ，又由 (1)知 2，联立 22 42a b a ，解得 2 3 4 3,33， 故三角形的面积为 1 2 3s i a b C . 18. 解： (1) 如图 ，连接 点 O ， D ，即 为等腰三角形， 又 ，故 D ，因为平面 底面 平面 面,A B C D A C B D 平面 因 平面 所以 D . (2)作 C 于点 E ，则 底面 ,A B C D P E B D ，以 O 为 坐标原点 ,C 方向分别为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O ，则c o s 6 0 1O C C D，而 4，得 3A O A C O C，又 s i n 6 0 3O D C D，故 0 , 3 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 1, 0 , 3 , 0 , 0A B C D. 由 22A P P C，得 90，故 0, 1, 2P ，所以 3 , 3 , 0 , 3 , 1, 2 , 3 , 1, 0A B B P B C ， 设平面 法向量为 1 1 1,m x y z ， 平面 法向量为 2 2 2,n x y z ，由 00m P ，得111 1 1303 2 0y z ， 因此可取 3 , 1,1m . 由 00n C ，得 222 2 230y z ， 因此可取 1, 3 , 3n ,从而法向量 ,3 1 0 5c o s ,3535 是钝角 ，故二面角A 的余 弦值为 10535. 19. 解： (1) 抽出的 20 位教师中 ，来自高三年级的有 8 名 ，根据分层抽样方法 ，高三年级的教师共有 83 0 0 1 2 020(人 ). (2) 设事件为 甲是现有样本中高一年级中的第 i 个教师 ” ,i 1, 2, 3, 4, 5 , 事件 乙是现有样本中高二年级中的第 j 个教师 ” ， 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7j ,由题意知 ： i 11,57 P C, 1 15 7 3 5 C P A P C 为“ 该周甲的备课时间比乙的备课时间长 ” 由题意知 ，2 1 3 1 4 1 5 1 4 2 5 2M A C A C A C A C A C A C，所以 2 1 3 1 4 1 5 1 4 2 5 2 166 3 5 3 5P M P A C P A C P A C P A C P A C P A C ， 故 29135P M P M . （ 3） 7 7 . 5 8 8 . 5 9 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 38 , 1 057 高 一 高 二， 6 6 . 5 7 8 . 5 1 1 1 3 . 5 1 7 1 8 . 5 118x 高 三 ， 三组总平均值0 4 0 7 0 8 8 9 . 920x ， 新加入的三个 数 8,9,10 的平均数为 9 ，比0故拉低了平 均值 ，10. 20. 解： (1) 由已知易得 : 2 , 1 椭圆方程为 2 2 12x y,设直线 方程为 222,由 22 12222x ，整理得 2 2 2 24 2 2 2 8 0t x t x t ，解得： 212 24 2 22, 4 t ，则点 C 的坐标是 2224 2 2 4,44， 故直线 斜率为 2t，由于 故直线 斜率为2 ，所以 1,B C O Pk k O P B C . (2)由（ 1）知 321 2 224O B P P B C t ，32 2 2 21 4 4 2 4 2 2 22 2 ,2 4 4 4 4t t t tS t t t t ，整理得2 m i , 2 , 2t t t . 21. 解： (1) 21 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 a x a x a x xf x a x ax x x , 当 0a 时， 1,2x 时， m a 0 , 2 2 l n 2xf x f x ； 当 0a 时， 1,2x 时， m a 1 0 , 2 2 l n 2a x xf x f x ； 当 0a 时，由 0，得121 ,12 ，又 1,2x ， 则有如下分类 ： 当 1 22a，即 1 04 a 时， 1,2 上是增函数 ， 所以 m a x 2 2 l n 2f x f ； 当 1122a ，即 1124a 时， 1, 2a上是增函数 ， 在 1 ,22a 上是减函数 ， 所以 m a x 111 l n 224f x f ； 当 1 12a，即 12a时， 1,2 上是减函数 ， 所以 m a x 11f x f a ，综上，函数 1,2 上的最大值为 m a x2 l n 21 1 11 l n 2 ,4 2 411,2f x a . (2) 2212 1 2 1 2 2 11 2 1 21 1 2 l n l a x x a x x x xx x x x 211212l n l x x a , 0 0 1 20 1 212 2 1 2 1 2f x a x a a x x ax x x , 1 2 2 101 2 1 2 1 2l n l n 2y y x x x x x x 2112 22121 2 1 2 1 2 1121211l n l n l xx x x x x x ,令 22 2212 1 1 4 1, l n , 01 11x g t t g tx t t t t t ，所以 0, 上是增函数 ，又 10g ，当12， 1211 , 0 , 1 0t g t ，故 12 012yy ；当 12时， 1210 1 , 0 , 1 0t g t ，故 12 012yy ，综上知： 12 012yy . 22. 解： (1)因为 c o s , s i ，由 2 ，得 2 2 co s ， 所以曲线1 2 211 ；由 c o s 4 c o s ，得 22s i n 4 c o s ，所以曲线2 4. (2) 不妨设四点在 C 上的排列顺次至上而下为 , , ,H I J K ,它们对应的参数分别为1 2 3 4, , ,t t t t，如 图，连接 1,1 正 三 角 形 ，所以 1， 1 4 1 41