如何将a4纸制作成一个体积最大的长方体

如何将如何将 A4 纸制作成一个体积最大的长方体纸制作成一个体积最大的长方体 六（9）班 郑木兰 一天放学，数学陈老师出了这样一道思考题：如何将一张 A4 大小的纸折叠成体积最大的长方体。老师布置思考题以后，我和爷 爷就一起开始想了。 A4 纸到底有多大呢？测量会有误差，所以我借助了电脑来帮忙， 通过 windows 是页面设置，我知道了 A4 纸的规格是 21cm297cm。 刚开始，我想 A4 纸一点都不浪费的话，体积当然就最大了。我 就画出了图 1。 图 1 中左下角和右下角的两个 X 应 该是一样的，但是 7.425 和 5.25 不相等。 不浪费一点纸看来不可行的。所以， （图 1） 我开始的设想，一点都不浪费纸张的设计 彻底失败，接着，我和爷爷把第一种不浪 费进行了改进。图 2 和图 3 是两种改进版 的方案。这两种方案浪费的是划阴影的部 分。 （ 图 2） 第二种比第一种浪费面积要多一些。 图 2 体积是 409.30 立方厘米，图 3 体积 是 678.1 立方厘米，图 3 比图 2 体积要大。 （图 3） 从中，我们发现了一种“奇怪”的现象：虽然浪费纸张多一些，但 体积反而可以大一些。 然后，我换了一种方式折叠。我和爷爷列出了一条计算体积公 式：v=（a/2-x） （b-2x）x。a 表示 A4 纸长，b 表示 A4 纸宽。如图 下一步就像图 5 中画的那样，要试出 体积最大的。 （图 4） （图5） 以下是我用公式试验的结果。V=（14.85-x）（21-2x）x， 当 x=1，v=13.85191=263.15=当 x=2，v2=12.85172=436.9, 当 x=3，v3=11.85153=533.25,当 x=4,v4=10.85134=564.2，当 x=5,v5=9.85115=541.75。从 试验中看出，x=4 最大。如果 a、b 取值调换，也就是长、宽调换会 怎么样呢？我又进行了一次试验。V=（a/2-x）(b-2x)x=(10.5- 2x)(29.7- 2x)x,x=1,v1=9.527.71=263.15,x=2,v2=8.525.72=436.9,x =3,v3=7.523.73=533.25,x=4,v4=6.521.73=564.2,x=5,v5= 5.519.75=541.75。我和爷爷惊奇地发现，两次试验结果一模一 样，而且体积最大取值都等于 564.2，看 来长、宽交换并不影响计算结果。 那么，是否还有体积更大的呢？爷 爷说他知道无盖的长方体体积可能有最大的。我们从无盖的长方体 里来了灵感两个无盖的长方体拼起来不就是一个有盖的长方体了吗？ （图 6） 那应该就是体积最大的长方体了。如图 7。我们也列了一条计算体 积公式：v=(a/2-2x)(b-2x)2x。我们开始了试验：x- 1,v1=12.85192=488.3,x=2,v2=0.85174=737.8,x=3,v3=8.8 5156=796.5,x=4,v4=6.85138=712.4。 这一种长方体体积可真够大的。我们也把 长，宽调换了位置。试验结果如下： x=1,v1=8.527.72=470.9,x=2,v2=6.525.74=668.2,x=3,v3= 4.523.7 (图 8) 6=639.9。结果没有原来那么理想。而且， 两次试验结果不一样。针对图 7 情况，我 们又用了“步步逼近法” ，寻求最佳取值， 又试验了一次： x=2.5,v=9.85165=788,x=2.8,v=9.2515.45.6=797.12,x=2.9 ,v=9.0515.25.8=797.84,x=3.1,v=8.6514.86.2= 图（9） 793.724,x=3.5,v=7.85147=769.3。 结论：看来，x=2.9，A4 纸制作的长方体体积最大是 797.84 立 方厘米。 最后我