惠州市2015届高三第二次调研考试数学（文科）试题及参考答案

数学 试题（文科）                       第  1 页 ， 共  13 页  惠州市 2015 届高三第二次调研考试   数  学  试  题  (文科）    本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。  注意事项：   1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。  2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。  3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。   4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将答题卡一并交回  参考公式： 锥体的体积公式13V 其中  体的底面积， 为锥体的高 . 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项 . 合3, 2, 1,0,1A，集合2 4 0B ，则  (    ) A 2B2C2,2D  )z i i ( 在复平面上对应的点位于   (    ) A 第一象限           B 第二象限          C 第三象限       D 第四象限  题:p 2, 2 4 0x Rx x ，则  (    ) A2, 2 4 0x Rx x B20 0 0, 2 4 0x Rx x C2, 2 4 0x Rx x D20 0 0, 2 4 0x Rx x ,7)( 2,3)，则12 (    ) 2，        B. 1 52，          C. 1 52 ， 1 52， - 区间(0, )上为增函数的是 (    ) A1)B| 1|C12Dy x x数学 试题（文科）                       第  2 页 ， 共  13 页   0020 ，则2z x y的最 小 值为 (    ) A 6              B 2               C 3               D 4 ( ) x A x( 0, 0, )2A 的部分  图象如图所示 ,则函数()y f x的表达式是 (    ) A.( ) 2 )3f x x B. ( ) 2 )3f x x ) 2 )3f x x D. ( ) 2)12f x x ( 0,1)x x n n 有实根的概率为   （     ）  A12B13C14D(1, 2)，半径为 25的圆在 于  (    ) A 43            B 6              C 62             D 8 定各班每 10 人推选一名代表，当 各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 可以表示为    (    ) A 10B310C410D510二、填空题： （ 本大题共 5 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 20 分）  （一）必做题：第 11 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答  0的准线方程是              . 比数列54a ， 78a ，则 9a _.  3A ， 3 6则 C_. 数学 试题（文科）                       第  3 页 ， 共  13 页  （二）选做题：第 14、 15 题为选做题， 考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。  14.（坐标系与参数方程选做题） 在直角坐标系线 （为极点，以 线  ，则直线 的公共点有 _ 个 . 15.（几何证明选做题） 如图，在 半径为 3 的 圆 径 弦 足为 E（ 在 A、 之间） . 若 5  则 _. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤  16.（本 小 题满分 12 分）  设向量 3x x， x x，0,2x . （ 1）若求  （ 2）设函数()f x a b，求() 17.（本 小 题满分 12 分）  移动 公司 在 国庆 期间推出 4G 套餐 ，对 国庆节当日办理 套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠 200 元，选择套餐二的客户可获得优惠 500 元，选择套餐三的客户可获得优惠 300元 . 国庆节 当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率 .  (1) 求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率；  (2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人，再从该 6 人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率 .  A B C D E O 入网人数  套餐  套餐  套餐  套餐种类  1 2 3 50   100 150 数学 试题（文科）                       第  4 页 ， 共  13 页  18.（本小题满分 14 分）  如图，菱形 边长为 6 ， 60 ， 对角线 起，得到三棱锥 B ， 点 M 是棱 中点， 32. （ 1） 求证： /面   （ 2） 求三棱锥 的体积 . 19.（本小题满分 14 分）  已知数列和为 满足1 12a ， 12n n  S ( n且*  （ 1） 求证：数列1 （ 2） 求 20.（本小题满分 14 分）  已知椭圆 , )2M，点( 2,0)F是椭圆的左焦点，点 P、上的两个动点，且F、 （ 1） 求椭圆  （ 2） 求证：线段. 21.（本小题满分 14 分）  设函数 21af x a x x   ，  1. 曲线 y f x在点 1, 1. （ 1）求  （ 2）若存在 1,x ，使得 1a ，求  A B A B C C D M O D O 数学 试题（文科）                       第  5 页 ， 共  13 页  惠州市 2015 届高三第二次调研考试  文科数学答案与评分标准  一 选择 题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。  题号  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案  A B   B C D C A C D B 1【解析】方程2 40x解得 2x，则2,2 2B A B 2【解析】由题意可知， 11z i i，则对应的点为( 1,1)3【解析】 将全称命题改为特称命题即可  4【解析】(1,10)B ，则( , 5)22 5【解析】 0 ，所以y x x在区间(0, )上为增函数 6【解析】由约束条件画出可行域如图所示，  则根据目标函数画出直线0 1: 2l y x，  由图形可知将直线 0点取得 最小值，解方程组020  得11，即 (,1)z. 7【解析】从图可知 2A，且11 52 12 12 2T ，得 T ，故22 2T ，将点  5( , 2)12的坐标代入函数() 2 )f x x，且 2 得 3 所以函数()y f x的表达式为( ) 2 3f x x . x y x+2y=0 y=x A(1,1) 2=0 x+ 数学 试题（文科）                       第  6 页 ， 共  13 页  8【解析】方程2 0x x n有 实数根时， 14 0n 得1n ，由几何概型知14P . 9【解析】圆心(1, 2)到 ，圆半径 25r，由勾股定理知  半弦长为224，则弦长 为 8. 10【解析】当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除  以 10 再用这个余数与 3 相加，若和大于等于 10 就增选一名代表，将二者合并便得到推选  代表人数取整函数数 )可以表示为310或者用特值法验证也可  二、填空题（本大题共 5 小题，共 20 分 。 第 14、 15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分 ）  111y12 16           13 414 1          15   1 11【解析】化为抛物线的标准方程2 4，则24p，得2p，且焦点在以12，即准线方程为y. 12【解析】由等比数列的性质知25 9 7a a a，故 916. 13【解析】因为 所以 ，而 C，所以，所以 4C . 14【解析】直线的普通方程为40，圆的普通方程为 222 2 8 ，圆心  到直线的距离为 222 2 4 2211 ，所以直线 相切，公共点只有1个 . 数学 试题（文科）                       第  7 页 ， 共  13 页  15【解析】因为 5且 3OC r，所以 22 2 23 5 2C ，  所以 321 . 或者由相交弦定理 2( 5) 5 ，  即(2 ) 5r A ，且 A r，得 1 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤  16. （本 小 题满分 12 分）  解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质  (1)由2 2 2 2( 3 ( 4(a x x x ，                       1 分  2 22( ( 1b x x ，                                  2 分  及得24x, 2x ，从而1x ，        4 分  所以 6x .                                                   6分  (2)2 3 1 1 1() 3 )2 2 2 6 2f x ab x x x x x x 9 分  50, , 2 , 2 6 6 6 则2,62x 当 即0, 32x 时， )6x 取最大值 1.     11 分  所以()                                      12分  17. （本 小 题满分 12 分）  解（ 1）设事件 A=“某人获得优惠金额不低于 300 元 ”，       1 分  则150 100 5() 50 150 100 6.           4 分  （ 2）设事件 B=“ 从这 6 人中选出两人，他们获得相等优惠金额 ” ，   5 分  数学 试题（文科）                       第  8 页 ， 共  13 页  由题意按分层抽样方式选出的 6 人中，获得优惠 200 元的 1 人，获得优惠 500 元的 3人，获得优惠 300 元的 2 人，                                     6 分  分别记为 1 1 2 3 1 2, , , , ,a b b b c c，从中选出两人的所有基本事件如下：  1112， 131112，13， 1112， 23 2122， 3132， 15 个 .                   9 分  其中使得事件 213， 2312 4 个     10 分  则4()15                                          12 分  18. （本 小 题满分 14 分）  解（）证明：因为点 O 是菱形 对角线的交点，  所以 O 是 中点  是棱 中点，  所以  的中位线， / 2 分                     因为 平面  平面   4 分  所以 /面                 6 分  （）三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积 .      7 分  由题意， 3 , 因为 32,所以 90 ， M .                 8 分  又因为菱形 所以 C .                             9 分  因为 C O ,所以 平面 即 平面   10分  所以 3为三棱锥 的高 .                          11分  的面积为= 1 3 9 3 32 2 2 2M ， 13 分  所求体积等于=M  1 9 332D .         14 分  A B C M O D 数学 试题（文科）                       第  9 页 ， 共  13 页  19.（本 小 题满分 14 分）  解（）证明：当 2n时， 112n n n n na s s ，         2 分  11(1 2 )n n ns s s 由上式知若 10，则0110，由递推关系知0( )ns n N，   由 式 可 得 ： 当 2n时， 11124 分  1中首项为 112，公差为 2.        6 分  (2)1 1 12( 1) 2( 1)s a ，  12ns n.           8 分  当 2n时，112 ( 1)n n na s s   ，                         10分  当 1n时，1112不适合上式，                             12分       1 , ( 1 , )21 , ( 2 , )2 ( 1 )nn n n                     14 分  20. （本 小 题满分 14 分）  解： (1)设椭圆 C 的方程为2222 1( 0, 0)xy ，                1 分  由已知，得 2261 4 12                                        2 分  解得2242                                                    3 分   椭圆的标准方程为142.                                4分  数学 试题（文科）                       第  10 页 ， 共  13 页  (2)证明：设 11( , )Px y， 22( , )Qx y，由椭圆的标准方程为22142，  可知22 2 2 11 1 1 12( 2) ( 2) 2 222x y x x ，    5分  同理222 2QF x，                                           6分  2262(1 2) ( ) 222 ，                             7分  2F ，12222(2 ) 4 ( )22 ，  122 .                                                   8 分  ( )当时，由22112224 得 2 2 2 21 2 1 22( ) 0x x y y ，  1 2 1 21 2 1 212y y x xx x y y . 设线段, )121212x x n ，  得线段 的中垂线方程为2( 1)y n  ，                    1 1分  (2 1) 0x n y ，该直线恒过一定点1( , 0)2A.                  1 2分  ( )当 12，6(1, )2P ，6(1, )2, )2P，6(1, )2Q ，  线段x 轴，也过点1( , 0)2A. 数学 试题（文科）                       第  11 页 ， 共  13 页  综上，线段, 0)2A.                        14 分  （ 2）问【解法二】  （ ）若 设 直 线为y kx b联立22142y k x ， 消 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x b 5 分  设点 1 1 2 2( , ), ( , )Px y Qx y，则：12 2212 24 ( 3 )1224 ( 4 )12 6 分  由于| | | | 2| |F 且 2,2, 2,2 所以12| | 2 2PF x，22| | 2 2QF x又因为| e x a ， 其中2 , 2, 12Me a x ， 故2| | 2可 得 12，从而 1222y y k b 8 分  由（ 3）式及2得2122 kb k 所以直线 1 2()122y y x 10 分  化简得11()2 11 分  故：直线, 0)2A 12 分  （ ）若 斜率不存在时：同解法一。                       14 分  21.（本 小 题满分 14 分）  解：（ ） 1af x a x ，                                2数学 试