四川省雅安市2017届高三第三次诊断考试数学试题(理)含答案

雅安市高中 2014 级第三次诊断性考试 数学试题（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 0 , 1, 2 , 3 , 4U ，集合 0 , 1, 2M ， 0, 3, 4N ，那么 （ ） A 0 B 3, 4 C 1, 2 D 2复数 3 的共轭复数是（ ） A 2i B 2i C 1i D 1i 3若 y f x 是定义域在 R 上的函数，则 y f x 为奇函数的一个充要条件为（ ） A 00f B对 ， 0都成立 C0，使得 000f x f x D对 ， 0f x f x 都成立 40 （ ） A 1 B 2 C 0 D 5阅读程序框图，为使输出的数 据为 31，则判断框中应填入的条件为（ ） A 4i B 5i C 6i D 7i 6将函数 s i n 43f x x 的图象向左平移 （ 0 ）个单位后关于直线12x 对称，则 的最小值为（ ） A6B 524C4D 7247已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 3 B 103C 6 D 838对一切实数 x ，不等式 2 10x a x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A ,2 B 2, C 2,2 D 0, 9半径为 2 的球内有一底面边长为 2 的内接正四棱柱（底 面是正方形，侧棱垂直底面），则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ） A 16 3 B 16 2 C 8 2 3 2 D 8 2 3 10若 内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 2 s i n 2 3 s i a B ，且 2，则 ） A 32B 43C 2 D 3 11已知点 A 是抛物线 2 4的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且当 抛物线相切时，点 P 恰好在以 A 、 B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A 512B 212C 21 D 51 12已知函数 x x ， 2042gx x 011则方程 1f x g x实根的个数为（ ） A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13变量 x ， y 满足约束条件 20201 ，则目标函数 3z x y 的最小值 14展开式 5232中的常数项为 15设 a ， b ， 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6c ，若以 a ， b ， c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个 16直线 0ax by c 与圆 O ： 2216相交于两点 M 、 N 2 2c a b， P 为圆 O 上任意一点，则 N取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在等差数列 723 ，3829 （ 1）求数列 （ 2）设数列 首项为 1，公比为 q 的等比数列，求 n 项和18电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查 制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” . （ 1）根据已知条件完成上面的 22 列联表，若按 95% 的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？ （ 2）将上述调查所得到的频率视为概率 用随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X X 分布列，期望 附： 22 n a d b b c d a c b d 19在四棱锥 P 中， 平面 C ， 24D，10A B C D. （ 1）证明： 平面 （ 2）若二面角 A 的大小为 60 ，求 值 . 20已知椭圆 C ： 221（ 0 ）的短轴长为 2，离心率为 22，直线 l ： y kx m与椭圆 C 交于 A ， B 两点，且线段 垂直平分线通过点 10,2. （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）当 O 为坐标原点）面积取最大值时，求直线 l 的方程 . 21已知函数 21x x a x（ ） . （ 1）若 2, 2f 处的切线与直线 2 2 0 垂直，求实数 a 的值； （ 2）求函数 （ 3）讨论函数 1,e上零点的个数 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4标系与参数方程 平面直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 3 （ 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 s i n 24. （ 1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角； （ 2）设点 0,2P ，直线 l 和曲线 C 交于 A ， B 两点，求 B . 23选修 4等式选讲 已知函数 1f x x （ 1）求不等式 2 1 1f x x 的解集 M ； （ 2）设 a ， ，证明： f a b f a f b . 雅安市高中 2014 级第三次诊断性考试 数学试题（理科）参考答案及评分意见 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 4 14 40 15 27 个 16 6,10 三、解答题 17解：（ 1）设 等差数列 d 由已知 3 8 2 7 26a a a a d 3d 2 7 12 7 2 3a a a d m，得 1 1a ， 数列 通项公式为 32 （ 2）由数列 首项为 1，公比为 q 的等比数列， 1b q ， 1q a 132 ， 1 4 7 3 2 L 211 nq q q L 当 1q 时， 312232当 1q 时， 31211(1)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“体育迷”有 25 人，从而 22 列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 22 列联表中的数据代入公式计算，得 22 n a d b b c d a c b d 100 3 033 . 因为 ，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关 (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 14. 由题意 13,4X :，从而 X 的分布列为 来源 :学 &科 &网 X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 133 44E X n p ， 1D X n p p 1 3 93 4 4 1 6 . 19（ 1） 证明：设 O 为 交点，作 C 于点 E 由四边形 等腰梯形得 12B C A ， 22 3D E D C C E ， 所以 E ，从而得 45D B C B C A ，所以 90 ，即 D 由 平面 D ，因为 A AI ，所以 平面 （ 2）解：作 C 于点 H ，连接 由（ 1）知 平面 故 C 所以 平面 从而得 H ， H 故 是二面角 A 的平面角，所以 60 在 ，由 2，得 63在 ， C 设 PA x ，可得23618解得 3 2211x ，即 3 2211 1） 由已知可得2 2 22,22 2,b c 解得 2 2a ， 2 1b ， 故椭圆 C 的标准方程为 2 2 12x y （ 2）设 11,A x y， 22,B x y，联立方程 22,1,2y kx mx y 消去 y 得 221 2 4k x k m x 22 2 0m 当 228 2 1 0 V ，即 2221时， 12 2412k， 212 22212k 所以 12222 1 2xx ， 1222 1 2yy m k 当 0k 时，线段 垂直平分线显然过点 10,212A O B m V 21 2 2 12 2221 因为 1, 0m 0,1U ,所以 2 0,1m 112122A O ，当 2 12m 时，取到等号 . 则 l : 22y 当 0k 时，因为线段 垂直平分线过点 10,2， 所以121212202 1k，化简整理得 22 1 2 由 2222 1 2 ,2 1 ,得 02m 又原点 O 到直线 距离为21 2 121A B k x x 22224 2 22112所以 12A O B d 212m k 而 22 1 2 且 02m，则 21 422A O BS m mV， 02m. 所以当 1m ，即 2 12k 时， 得最大值 22 综上 最大值为 22， 此时直线 l : 2 12或 2 12 或 22y 21 解：（ 1）由题可知 0, ， 因为 21x x a x，所以 1f x a 21 因为直线 2 2 0 的斜率为 2 ， 14212 a ，解得 0a （ 2）由（ 1）知： 1f x a 21 当 0a 时， 0 ，所以 0, 上单调递增； 当 0a 时，由 0 得 1由 0 得 1所以 0,a上单调递增，在 1 ,a上单调递减 . 综上所述：当 0a 时， 0, 上单调递增；当 0a 时， 0,a上单调递增，在 1 ,a上单调递减 . （ 3）由（ 2）可知， 当 0a 时， 1,e上单调递 增，而 1102 ，故 1,e上没有零点； 当 0a 时， 1,e上单调递增，而 1102 ，故 1,e上有一个零点； 当 0a 时， 若 1 1a ，即 1a 时， 1,e上单调递减， 1102 Q， 在21,e上没有零点； 若 211 ，即41 1时， 1,a上单调递增，在 21 ,上单调递减，而 1102 ， 1 1 1 ， 24122f e a e， 若 11 1 02 ，即 1a e 时， 1,e上没有零点； 若 11 1 02 ，即 1a e 时， 1,e上有一 个零点； 若 11 1 02 ，即 1a e 时，由 241202f e a e 得44a e ，此时， 1,e上有一个零点； 由 241202f e a e 得44a e ，此时， 1,e上有两个零点； 若 21 即410 a e 时， 1,e上单调递增， 1102 Q ， 241202f e a e ， 在 21,e上有一个零点 . 综上所述：当440 a e 或 1a e 时， 1,e上有一个零点；当 0a 或 1a e 时， 1,e上没有零点；当 441 时， 1,e上有两个零点 . 选考题： 22、解 : (1)由 3 消去参数 ，得 即曲线 C 的普通方程为 2 2 19x y由 s i n 24，得 s i n c o s 2 ， (*) 将 代入 (*)，化简得 2 ， 所以直线 l 的倾斜角为4(2)由 (1)知，点 0,2P 在直 线 l 上，可设直线 l 的参数方程为c o s (t 为参数 )， 即22222 (t 为参数 )， 代入 2 2 19x y并化简，得 25 1 8 2 2 7 0 ， 21 8 2 4 5 27 108 0 ， 来源 :学 |科 |网 设 A 、 B 两点对应的参数分别为 1t 、 2t ， 则121 8 2 05 ， 12 27 05 ， 1 0t， 2 0t 所以 B12 12 1 8 25 23 解 : (1)( )当 1x 时，原不等式可化为 1 2 2 ， 解得 1x ( )当 112x 时，原不等式可化为 1 2 2 ，解得