四川省绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学试题（文）含答案

绵阳市高中 2014 级第三次诊断性考试 文科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 02 2 , 1 ,则 ( ) A ),0( B. ),1 C )2,( D 1,2) 2. 已知 i 是虚数单位，则 ) A 1 B 22 C 2 D 2 3. 某人午觉醒来 ,他打开收音机 ,想听电台整点报时 ,则他等待的视角不多余 10 分钟的概率是 ( ) A61B14. 等比数列 42 21 7324 4 ，则 5a( ) A161B81C. 20 D. 40 5. 若某校 8 个伴参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示 ,则这组数据的中位数和平均数分别是 ( ) A 92 和 92 B 92 C. 91 和 D . 已知正方形 边长为 6， M 在边 且 ， N 为 中点，则 ( ) A B 12 C. 6 D . 九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即 底面是直角三角形的直三棱柱 堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( ) A 75 B 50 D . 在如图的程序框图中，若函数),0(2),0)(21 ) A 16 B 8 C. 162 D 82 9. 已知函数 s o , 且 3,2m (最大值记为)(则 )(最小值为 ( ) A817B29C. 223D4910. 三棱锥 中， 相垂直， 1 M 是线段 一动点，若直线 平面 成角的正切的最大值是26，则三棱锥 的外接球表面积是 ( ) A 2 B 4 C. 8 D 16 11. 已知 F 是双曲线 C ： )0,0(12222 A ， B 分别为 C 的左 、 右顶点 . O 为坐标原 点， D 为 C 上一点， 轴 的直线 l 与线段 于点 E ，与 y 轴交于点 M ,直线 y 轴交于 点 N ， 若 3 ，则双曲线 C 的离心率为（ ) A 3 B 4 D 6 12. 函数 )2()( 2 x ),( 在区间 ()上单调递增 ,则 1682 ) A 8 B 16 C. 24 D 28 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 满足,5,02,0则 的最小值是 的直线： 021 圆： 9)5()1( 22 切于点 N ，则 n 项和为 1a ， 0 121 2 y 上有一条长为 10 的动弦 则 中点到 y 轴的最短距离为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在 中， a ， b ， c 分别是内角 A ， B ， C 的对边，且 )( 22 . （ ）求角 B 的大小； （ ）若 2b ，且 s s s ，求 的面积 . 18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚某市有统计数据显示， 2016 年该市共享单车用户年龄登记分布如图 1 所示，一周内市民使用单车的频 率分布扇形图如图 2 所示若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（ 20 岁 39 岁）和“非年轻人”（ 19 岁及以下或者 40 岁及以上）两类，将一周内使用的次数为 6 次或 6 次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为 5 次或不足 5 次的称为“不常使用单车用户”已知在“经常使用单车用户”中有65是“年轻人” （）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为 200 的样本，请你根据图表中的数据，补全下列 22 列联表： 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 120 不常使用单车用户 80 合计 160 40 200 （）请根据（）中的列联表独立性检验，判断有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？ （参考数据： 独立性检验界值表 )( 02 0 15 0 10 0 050 0 025 0 010 0072 2 706 3 841 5 024 6 635 其 中，)()()()( 22 ， ） 19. 如图，矩形 菱形 在平面互相垂直，已知3 N 是线段中点 （）求证： ； （）试问在线段 是否存在点 M ，使得直线 /面 若存在，请证明 /并求出不存在，请说明理由 . 20. 已知点 )0,2(E ，椭圆 C ： )0(12222 0,2(F ，过 F 的直线 l 交椭圆 C 交 于 A ， B 两点， 的周长为 12 （）求椭圆 C 的方程； （）若直线 l 交 y 轴于点 N ，已知 ， ，求 的值 21. 函数 4 )()( x （）若 ，设 )()()( ，试证明 )(存在唯一零点 )1,0(0 ； （）若关于 x 的不等式 )()( 的解集中有且只有两个整数，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线 1C 的参数方程是c 为参数）以原点O 为极点， x 轴的 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 1 （）分别写出 1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程； （）若射线 l 的极坐标方程 )0(3 ，且 l 分别交曲线 1C 、 2C 于 A 、 B 两点，求 等式选讲 已知函数 633)( 12)( （） 1a 时，解不等式 8)( （）若对任意 1 都有 2 ，使得 )()( 21 成立，求实数 a 的取值范围 绵阳市高 2014 级第三次诊断性考试 数学 (文史 类 )参考解答及评分标准 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 14. 4 15. 12 n 、解答题 17. 解：（） 把 )( 22 整理得， 222 , 由余弦定理有ac co 212 3B （） 中， 即 )( ，故 ) ， 由已知 s s s 可得 s s )s , s o sc o ss s o sc o AA , 整理得 c o ss o s 若 0A ，则2A， 于是由 2b ，可得3 32 此时 的面积为33221 若 0A ，则 AC ， 由正弦定理可知， ， 代入 222 整理可得 43 2 a ，解得332a ，进而334c ， 此时 的面积332s 综上所述， 的面为332 18. 解：（ ）补全的列联表如下： 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车 60 20 80 合计 160 40 200 （） 于是 100a ， 20b ， 60c ， 20d ， 401 6 0801 2 0 )2060201 0 0(2 0 022 ， 即有 85%的 把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关 ）证明：菱形 ，3 是等边三角形 ， 又 N 是 线段 中点 ， 又 平 面 面 平 面 面 ， 所以 面 又 面 故 . （ ） 作 中点 P ，连接 点 M ， M 点即为所求的点 证明：连接 N 是 中点， P 是 中点， ， 又 面 面 直线 /面 ， ， ， 2 20. 解：（）由题意知， 124 解得 3a ， 又 2c ，故 549222 椭圆 C 的方程为： 15922 （）由题意知 )0,2(F ， 若直线 好过原点，则 )0,3(A ， )0,3(B ， )0,0(N ， )0,3( )0,5(则53m， )0,3( )0,1(则 3n ， 518 若直线 过原点，设直线 2 0t ， ),2( 11 ， ),2( 22 ， )2,0( 则 ,2( 1 21 ， ),( 11 ， ,2( 2 22 ， ),( 22 ， 由 ，得 )(211 ，从而121 ； 由 ，得 )(222 ，从而221 ； 故 )21(2 )11(2221 212122 yy 联立方程组得：,159,222 理得 02520)95(22 95 20221 t 5 25221 yy 518582252022 综上所述，518 （）证明：由题意知 4 ， 于是 1(11)( x e x 1)(1()1(1 令 1)( ， )0(0)1()( x ， )(x 在 )0( 上单调递减 又 01)0( ， 01)1( 1 所以存在 )1,0(0 ，使得 0)(0 x， 综上 )(在唯一零点 )1,0(0 （）解： )()( 等价于 4 4 ， 令 ，则) ( ( ， 令 5 ，则 011)( 即 )(x 在 ),0( 上单调递增 又 023( ， 04( ， 存在 ),0( ，使得 0)( t 当 ),0( ， )(0)(0)( 在 ),0( t 单调递增； 当 ),( )(0)(0)( 在 ),( t 单 调递减 03)1( 02 22( 2 03 13( 3 且当 3x 时， 0)( 又)1( ， 222( ( ，44( ， 故 要使不等式 )()( 解集中有且只有两个整数， a 的取值范围应为 3 132 2e 22. 解：（）将 1C 参数方程化为普通方程为 3)1( 22 即 02222 1C 的极坐标方程为 02co 将 2C 极坐标方程化为直角坐标方程为 122 （）将3代入 1C ： 02co 整理得 022 ， 解得 21 ，即 21 曲线 2C 是圆心在原点，半