四川省绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学试题（理）含答案

绵阳市高中 2014 级第三次诊断性考试 数学（理工类） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . U ， 02 2 1 则 )( ) A ),0( B. )1,( C )2,( D （ 0,1） 2. 已知 i 是虚数单位，则 ) A 1 B 22 C 2 D 2 3. 某路口的红绿灯，红灯时间为 30 秒，黄灯时间为 5 秒，绿灯时间为 40 秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见 不是 黄灯的概率是 ( ) A1514 C. 53D214. 等比数列 42 21 7324 4 ，则 5a( ) A161B81C. 20 D. 40 5. 已知正方形 边长为 6， M 在边 且 ， N 为 中点，则 ( ) A B 12 D . 在如图所示的程序框图中，若函数),0(2),0)(21 ) A 16 B 8 C. 162 D 82 7. 已知函数 )c 4)( 0,0( 为奇函数， )0,( )0,(其图像上两点，若 的最小值是 1，则 )61(f( ) A 2 B C. 23D238.九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱 堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( ) A 50 B 75 D . 已知函数 s (2c o ，其中 21 m (最大值记为 )(则 )(最小值为 ( ) A41B 1 C. 33 D 13 是双曲线 C ： )0,0(12222 A ， B 分别为 C 的左 、 右顶点 . O 为坐标原 点， D 为 C 上一点， 轴 的直线 l 与线段 于点 E ，与y 轴交于点 M ,直线 y 轴交于 点 N ， 若 3 ，则双曲线 C 的离心率为（ ) A 3 B 4 D 6 11. 三棱锥 中， 相垂直， 1 M 是线段 一动点，若直线 平面 成角的正切的最大值是26，则三棱锥 的外接球表面积是 ( ) A 2 B 4 C. 8 D 16 12. 已知函数 3 2 若存在实数 5,1, 足 2，)()( 成立，则实数 a 的最大值为 ( ) A8 3B438 3D34 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 满足,5,02,0则 的最小值是 的直线： 021 圆： 9)5()1( 22 切于点 N ，则 2( 2 的展开 式中各项系数的和为 32，则展开式中 25系数为 （用数字作答） 的等差数列 n 项和为 2a ，5a， 11a 成等比数列，且)(211 ),0( 则 的值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在 中， a ， b ， c 分别是内角 A ， B ， C 的对边，且 )( 22 . （ ）求角 B 的大小； （ ）若 2b ，且 s s s ，求 的面积 . 18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时 尚 2016 年该市共享单车用户年龄登记分布如图 1 所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图 2 所示 轻人”（ 20 岁 39 岁）和“非年轻人”（ 19 岁及以下或者 40 岁及以上）两类，将一周内使用的次数为 6 次或 6 次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为 5 次或不足 5 次的称为“不常使用单车用户” 常使用单车用户”中有65是“年轻人” . （）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机 抽样的方法，抽取一个容量为 200 的样本，请你根据图表中的数据，补全下列 22 列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？ 使用共享单车情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 120 不常使用单车用户 80 合计 160 40 200 （）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取 3 人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量 X ，求 X 的分布与期望 . （参考数据： 独立性检验界值表 )( 02 中，)()()()( 22 ， ） 19. 已知矩形 菱形 在平面互相垂直，如图，其中 1 23 N 是线段 中点 . （）试问在线段 是否存在点 M ， 使得直线 /面 若存在，请证明 /并求出不存在，请说明理由； （）求二面角 的正弦值 . 0,2(E ，点 P 是椭圆 F ： 36)2( 22 任意一点，线段 垂直平分线 于点 M ，点 M 的轨迹记为曲线 C . （）求曲线 C 的方 程； （）过 F 的直线交曲线 C 于不同的 A ， B 两点 ,交 y 轴于点 N ，已知 ， ，求 的值 . 21. 函数 4 )()( x . （）若 ，设 )()()( ，试证明 )(存在唯一零点 )1,0(0 ，并求 )( （）若关于 x 的不等式 )()( 的解集中有且只有两个整数，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线 1C 的参数方程是c 为参数） 极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 1 . （）分别写出 1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程； （）若射线 l 的 极坐标方程 )0(3 ，且 l 分别交曲线 1C 、 2C 于 A 、 B 两点，求 等式选讲 已知函数 633)( 12)( （） 1a 时，解不等式 8)( （）若对任意 1 都有 2 ，使得 )()( 21 成立，求实数 a 的取值范围 . 绵阳市高 2014 级第三次诊断性 考试 数学 (理工类 )参考解答及评分标准 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 2 14. 4 16. 9 三、解答题 ） 把 )( 22 整理得， 222 , 由余弦定理有ac co 212 3B. （） 中， 即 )( ，故 ) ， 由已知 s s s 可得 s s )s , s o sc o ss s o sc o AA , 整理得 c o ss o s . 若 0A ，则2A， 于是由 2b ，可得3 32 此时 的面积为33221 若 0A ，则 AC ， 由正弦定理可知， ， 代入 222 整理可得 43 2 a ，解得332a ，进而334c ， 此时 的面积332s 综上所述， 的面为332 . ）补全的列联表如下： 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车 60 20 80 合计 160 40 200 于是 100a ， 20b ， 60c ， 20d ， 401 6 0801 2 0 )2060201 0 0(2 0 022 ， 即有 85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关 . （）由（）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为%10%10020020 ，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为 )( ,3,2,1,0X 7 2 0( 3 0 0 ( 3 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P X 的数学期望 ）作 中点 P ，连接 点 M ， M 点即为所求的点 . 证明：连接 N 是 中点， P 是 中点， ， 又 面 面 直线 /面 ， ， ， 2（）由（）知 ， 又面 面 ， 所以 故 ， . 以 N 为空间原点， 别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 ， 32 为正三角形， 3 )0,0,0(N ， )0,0,3(C ， )0,1,0(D ， )1,1,0(E ， )1,1,0( )0,0,3( )1,0,0( )0,1,3( 设平面 一个法 向量 ),(1 ，则由 01 01 得 ,03,0 1y ，则 )1,1,0(1 n . 设平面 一个法向量 ),( 1112 ，则由 02 02 得 ,03,0111 11x ，则 )0,3,1(2 n . 则46223,c nn 设二面角 的平面角为 ，则410)46(1s ， 二面角 的正弦值为410. ）由题意知， 46 故由椭圆定义知，点 M 的轨迹是以点 E ， F 为焦点，长轴为 6，焦距为 4 的椭圆，从而长半轴长为 3a ， 短半轴长为 523 22 b ， 曲线 C 的方程为： 15922 （）由题意知 )0,2(F ， 若直线 好过原点，则 )0,3(A ， )0,3(B ， )0,0(N ， )0,3( )0,5(则53m， )0,3( )0,1(则 3n ， 518 若直线 过原点，设直线 2 0t ， ),2( 11 ， ),2( 22 ， )2,0( . 则 ,2( 1 21 ， ),( 11 ， ,2( 2 22 ， ),( 22 ， 由 ，得 )(211 ，从而121 ； 由 ，得 )(222 ，从而221 ； 故 )21(2 )11(2221 212122 yy . 联立方程组得：,159,222 理得 02520)95(22 95 20221 t 5 25221 yy 518582252022 综上所述，518 21.（）证明：由题意知 4 ， 于是 1(11)( x e x 1)(1()1(1 令 1)( ， )0(0)1()( x ， )(x 在 )0( 上单调递减 . 又 01)0( ， 01)1( 1 所以存在 )1,0(0 ，使得 0)(0 x， 综上 )(在唯一零点 )1,0(0 . 解：当 ),0(0 0)( x ，于是 0)( )( ),0(0 当 ),(0 0)( x ，于是 0)( )( ),(0 故 00000m a x 4)( ， 又 01)( 000 00 1xx ，00 x ， 故 )00m a x 6151400 x. （）解： )()( 等价于 4 4 ， 令 ，则) ( ( ， 令 5 ，则 011)( 即 )(x 在 ),0( 上单调递增 . 又 023( ， 04( ， 存在 ),0( ，使得 0)( t . 当 ),0( ， )(0)(0)( 在 ),0( t 单调递增； 当 ),( )(0)(0)( 在 ),( t 单调递减 . 03)1( 02 22( 2 03 13( 3 且当 3x 时， 0)( 又)1( ， 222( ( ，44( ， 故要使不等式 )()( 解集中有且只有两个整数， a 的取值范围应为 3 132 2e . ）将 1C 参数方程化为普通方程为 3)1( 22 即 02222 1C 的极坐标方程为 02co . 将 2C 极坐标方程化为直角坐标方程为 122 （）将3代入 1C ： 02co