四川省资阳市2017届高考数学模拟试卷（文科）（4月）含答案解析

2017 年四川省资阳市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=R，集合 A=x|（ x+1）（ x 3） 0， B=x|x 1 0，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A x|x 1 或 x 3 B x|x 1 或 x 3 C x|x 1 D x|x 1 2等差数列 ， a1+0， ，则数列 公差为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3 在集合 x|0 x a， a 0中随机取一个实数 m，若 |m| 2 的概率为 ，则实数 a 的值为（ ） A 5 B 6 C 9 D 12 4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为 2 的正方形；俯视图是边长为 2 的正方形及其外接圆则该几何体的体积为（ ） A B C D 5双曲线 E： =1（ a 0， b 0）的一个焦点 F 到 E 的渐近线的距离为 ，则 E 的离心率是（ ） A B C 2 D 3 6定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） = 则 f（ 3） =（ ） A 3 B 2 C 已知 数是一个求余函数，记 m， n）表示 m 除以 n 的余数，例如 8， 3） =2如图是某个算法的程序框图，若输入 m 的值为 48 时，则输出 i 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 8已知函数 （其中 0）图象的一条对称轴方程为 x= ，则 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 10 D 16 9已知 0 c 1， a b 1，下列不等式成立的是（ ） A D 0对于两条不同的直线 m， n 和两个不同的平面 ， ，以下结论正确的是（ ） A若 m， n ， m， n 是异面直线，则 ， 相交 B若 m ， m ， n ，则 n C若 m， n ， m， n 共面于 ，则 m n D若 m ， n ， ， 不平行，则 m， n 为异面直线 11抛物线 x 的焦点为 F，点 A（ 5， 3）， M 为抛物线上一点，且 M 不在直线 ，则 长的最小值为（ ） A 10 B 11 C 12 D 6+ 12如图，在直角梯形 ， ， C=1，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 ，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动若 ，其中 x， y R，则 4x y 的最大值为（ ） A B C 2 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知复数 z 满足 z（ 1+i） =2，则 |z|= 14某厂在生产某产品的过程中，产量 x（吨）与生产能耗 y（吨）的对应数据如表所示根据最小二乘法求得回归直线方程为 =a当产量为 80 吨时，预计需要生产能耗为 吨 x 30 40 50 60 y 25 30 40 45 15设命题 p：函数 f（ x） =2x+1）的定义域为 R；命题 q：当时， 恒成立，如果命题 “p q”为真命题，则实数 a 的取值范围是 16我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？ ”意思是：今有蒲生长 1 日，长为 3 尺；莞生长1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 日（结果保留一位小数，参考数 据： 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 12 分）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 （ ） 求角 A 的大小； （ ） 若 a= ， 面积为 ，求 b+c 的值 18（ 12 分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托 “互联网 +”，符合 “低碳出行 ”的理念，已越来越多地引起了人们的关注某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单 车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100 人根据其满意度评分值（百分制）按照 50， 60）， 60， 70）， ， 90，100分成 5 组，制成如图所示频率分直方图 （ ） 求图中 x 的值； （ ） 已知满意度评分值在 90， 100内的男生数与女生数的比为 2： 1，若在满意度评分值为 90， 100的人中随机抽取 2 人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率 19（ 12 分）如图，在三棱柱 ，底面 等边三角形，且平面 D 为 中点 （ ） 求证：直线 平面 （ ） 若 ， E 是 中点，求三棱锥 体积 20（ 12 分）如图，在平面直角坐标系 ，椭圆 ：的离心率为 ，直线 l： y=2 上的点和椭圆 上的点的距离的最小值为 1 （ ） 求椭圆 的方程； （ ） 已知椭圆 的上顶点为 A，点 B， C 是 上的不同于 A 的两点，且点 B，C 关于原点对称，直线 别交直线 l 于点 E， F记直线 斜率分别为 求证： k1定值； 求 面积的最小值 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =a（ x 1），其中 a R （ ） 当 a= 1 时，求证： f（ x） 0； （ ） 对任意 t e，存在 x （ 0， + ），使 t 1） f（ x） +a 0 成立，求 a 的取值范围 （其中 e 是自然对数的底数， e=） 请考生在 22， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4标系与参数方程 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ 10 分）已知在平面直角坐标系中，曲线 参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 =2 （ ） 求曲线 点的平面直角坐标； （ ） 点 A， B 分别在曲线 ，当 |大时，求 面积（ 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 23已知函数 f（ x） =|x+1| （ ） 解不等式 f（ x+8） 10 f（ x）； （ ） 若 |x| 1， |y| 1，求证： f（ y） |x|f（ ） 2017 年四川省资阳市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=R，集合 A=x|（ x+1）（ x 3） 0， B=x|x 1 0，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A x|x 1 或 x 3 B x|x 1 或 x 3 C x|x 1 D x|x 1 【考点】 表达集合的关系及运算 【分析】 由阴影部分表示的集合为 U（ A B），然后根据集合的运算即可 【解答】 解：由图象可知阴影部分对应的集合为 U（ A B）， A=x|（ x+1）（ x 3） 0=（ 1， 3）， B=x|x 1 0， A B=（ 1， + ）， 则 U（ A B） =（ ， 1， 故选 D 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，利用 确定集合的关系是解决本题的关键 2等差数列 ， a1+0， ，则数列 公差为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 设数列 公差为 d，则由题意可得 2d=10， d=7，由此解得d 的值 【解答】 解：设数列 公差为 d，则由 a1+0， ，可得 2d=10， d=7，解得 d=2， 故选 B 【点评】 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题 3在集合 x|0 x a， a 0中随机取一个实数 m，若 |m| 2 的概率为 ，则实数 a 的值为（ ） A 5 B 6 C 9 D 12 【考点】 几何概型 【分析】 利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于 a 的等式解之即可 【解答】 解：由题意 |m| 2 的概率为 ， 则 = ，解得 a=6； 故选： B 【点评】 本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区间长度是解决本题 的关键，比较基础 4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为 2 的正方形；俯视图是边长为 2 的正方形及其外接圆则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 首先由几何体还原几何体，是下面是底面为正方体，上面是半径为 的半球，由此计算体积 【解答】 解：由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为正方体，上面是半径为 的半球， 所以几何体的体积为 2 2 2+ =8+ 故选 C 【点评】 本题考查了组合 体的三视图以及体积的计算；关键是明确几何体的形状，由体积公式计算 5双曲线 E： =1（ a 0， b 0）的一个焦点 F 到 E 的渐近线的距离为 ，则 E 的离心率是（ ） A B C 2 D 3 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点 F 到渐近线 的距离为 b，结合题意可得 b= ，由双曲线的几何性质可得 c= =2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案 【解答】 解：根据题意，双曲线 E： =1 的焦点在 x 轴上，则其 渐近线方程为 y= x，即 ， 设 F（ c， 0）， F 到渐近线 的距离 d= = =b， 又由双曲线 E： =1 的一个焦点 F 到 E 的渐近线的距离为 ， 则 b= ， c= =2a， 故双曲线的离心率 e= =2； 故选： C 【点评】 本题考查双曲线的几何性质，注意 “双曲线的焦点到其渐近线的距离为b” 6定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） = 则 f（ 3） =（ ） A 3 B 2 C 考点】 分段函数的应用 【分析】 由已知中 f（ x） = ，将 x=3 代入可得答案 【解答】 解： f（ x） = ， f（ 3） =f（ 2） =f（ 1） =f（ 0） =， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，难度不大，属于基础题 7已知 数是一个求余函数，记 m， n）表示 m 除以 n 的余数，例如 8， 3） =2如图是某个算法的程序框图，若输入 m 的值为 48 时，则输出 i 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，根据题意，依次计算 m， n）的值，由题意 N*，从而得解 【解答 】 解：模拟执行程序框图，可得： n=2， i=0， m=48， 满足条件 n 48，满足条件 48， 2） =0， i=1， n=3， 满足条件 n 48，满足条件 48， 3） =0， i=2， n=4， 满足条件 n 48，满足条件 48， 4） =0， i=3， n=5， 满足条件 n 48，不满足条件 48， 5） =0， n=6， N*，可得： 2， 3， 4， 6， 8， 12， 16， 24， 48， 共要循环 9 次，故 i=9 故选： C 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的m， n）的值是解题的关键 8已知函数 （其中 0）图象的一条对称轴方程为 x= ，则 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 10 D 16 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意利用正弦函数的图象的对称性可得 + =， k Z，由此求得 的最小值 【解答】 解：根据函数 （其中 0）图象的一条对称轴方程为 x= ， 可得 + =， k Z，即 =12k+4，故 的最小值为 4， 故选： B 【点评】 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题 9已知 0 c 1， a b 1，下列不等式成立的是（ ） A D 考点】 不等式比较大小；不等式的基本性质 【分析】 根据题意，依次分析选项：对于 A、构造函数 y=指数函数的性质分析可得 A 错误，对于 B、构造函数 y=幂函数的性质分析可得 B 错误，对于 C、由作差法比较可得 C 错误，对于 D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得 D 正确，即可得答案 【解答】 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A、构造函数 y=于 0 c 1，则函数 y=减函数，又由 a b 1，则 有 A 错误； 对于 B、构造函数 y=于 0 c 1，则函数 y=增函数，又由 a b 1，则有 B 错误； 对于 C、 = = ，又由 0 c 1， a b 1，则（ a c） 0、（ b c） 0、（ b a） 0，进而有 0，故有 ，故 C 错误； 对于 D、 =），又由 0 c 1， a b 1，则有 0， 0，则有 =） 0，即有 D 正确； 故选： D 【点评】 本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用 10对于两条不同的直线 m， n 和两个不同的平面 ， ，以下结论正确的是（ ） A若 m， n ， m， n 是异面直线，则 ， 相交 B若 m ， m ， n ，则 n C若 m， n ， m， n 共面于 ，则 m n D若 m ， n ， ， 不平行，则 m， n 为异面直线 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可 【解答】 解： A 时， m， n ， m， n 是异 面直线，可以成立，故 A 错误， B若 m ， m ，则 ，因为 n ，则 n 或 n，故 B 错误， C利用线面平行的性质定理，可得 C 正确， D若 m ， n ， ， 不平行，则 m， n 为异面直线或相交直线，故 D 不正确， 故选： C 【点评】 本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理 11抛物线 x 的焦点为 F，点 A（ 5， 3）， M 为抛物线上一点，且 M 不在直线 ，则 长的最小值为（ ） A 10 B 11 C 12 D 6+ 【考点】 抛物线 的简单性质 【分析】 求 长的最小值，即求 |最小值设点 M 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义，可知 |因此问题转化为求|最小值，根据平面几何知识，当 D、 M、 A 三点共线时 |小，由此即可求出 |最小值 【解答】 解：求 长的最小值，即求 |最小值， 设点 M 在准线上的射影为 D， 根据抛物线的定义，可知 |因此， |最小值，即 |最小值 根据平面几 何知识，可得当 D， M， A 三点共线时 |小， 因此最小值为 1） =5+1=6， | =5， 长的最小值为 11， 故选 B 【点评】 考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当 D， M， |小，是解题的关键 12如图，在直角梯形 ， ， C=1，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 ，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动若 ，其中 x， y R，则 4x y 的最大值为（ ） A B C 2 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 建立直角坐标系，写出点的坐标，求出 方程，求出圆的方程；设出 P 的坐标，求出三个向量的坐标，将 P 的坐标代入圆内方程求出 4x y 范围 【解答】 解：以 A 为坐标原点， x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，则 A（ 0， 0）， D（ 0， 1）， C（ 1， 1）， B（ 2， 0）， 直线 方程为 x+2y 2=0， C 到 距离 d= 圆弧以点 C 为圆心的圆方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2= ， 设 P（ m， n）则 =（ m， n）， =（ 0， 1）， =（ 2， 0）， =（ 1， 1） 若 ， （ m， n） =（ 2x y， y） m=2x y， n=y P 在圆内或圆上 （ 2x y 1） 2+（ y 1） 2 ， 设 4x y=t，则 y=4x t，代入上式整理得 80 48t+32） x+8 0， 设 f（ x） =80 48t+32） x+8 0， x ， ， 则 ， 解得 2 t 3+ ， 故 4x y 的最大值为 3+ ， 故选： B 【点评】 本题考通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知复数 z 满足 z（ 1+i） =2，则 |z|= 【考点】 复数求模 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解 【解答】 解： z（ 1+i） =2， ， 则 |z|= 故答案为： 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题 14某厂在生产某产品的过程中，产量 x（吨）与生产能耗 y（吨）的对应数据如表所示根据最小二乘法求得回归直线方程为 =a当产量为 80 吨时，预计需要生产能耗为 x 30 40 50 60 y 25 30 40 45 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出 x， y 的平均数，代入 y 关于 x 的线性回归方程，求出 a，把 x=80代入，能求出当产量为 80 吨时，预计需要生成的能耗 【解答】 解：由题意， =45， =35，代入 =a，可得 a= 当产量为 80 吨时，预计需要生成能耗为 80+ 故答案为： 【点评】 本题考查了最小二乘法，考查了线性回归方程，解答的关键是知道回归直线一定经过样本中心点，是基础题 15设命题 p：函数 f（ x） =2x+1）的定义域为 R；命题 q：当时， 恒成立，如果命题 “p q”为真命题，则实数 a 的取值范围是 （ 1，2） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 对于命题 p： a 0 时，函数 f（ x） =2x+1）的定义域不为 R由函数 f（ x） =2x+1）的定义域为 R，则 ，解得 a 范围对于命题 q：当 时，利用基本不等式的性质可得： x+ 2，根据恒成立，可得 a 的求值范围如果命题 “p q”为真命题，可得实数 a 的取值范围 【解答】 解：对于命题 p： a 0 时，函数 f（ x） =2x+1）的定义域不为R 由函数 f（ x） =2x+1）的定义域为 R，则 ，解得 a 1 对于命题 q：当 时， x+ 2，当且仅当 x=1 时取等号由当时， 恒成立， a 2 如果命题 “p q”为真命题，则实数 a 的取值范围是 1 a 2 故答案为：（ 1， 2） 【点评】 本题考查了对数函数的定义域、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16我国古代数学著作九章算术有如下 问题： “今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？ ”意思是：今有蒲生长 1 日，长为 3 尺；莞生长1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 （结果保留一位小数，参考数据： 【考点】 数列的应用 【分析】 设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 其 ，公比为 ，其前 n 项和为 （植物名）的长度组成等比数列 其 ， 公比为 2，其前 n 项和为 用等比数列的前 n 项和公式及其对数的运算性质即可得出 【解答】 解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 其 ，公比为 ，其前 n 项和为 莞（植物名）的长度组成等比数列 其 ，公比为 2， 其前 n 项和为 ， ， 由题意可得： = ，化为： 2n+ =7， 解得 2n=6， 2n=1（舍去） n= =1+ 估计 蒲、莞长度相等， 故答案为： 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 12 分）（ 2017资阳模拟）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a，b， c，已知 （ ） 求角 A 的大小； （ ） 若 a= ， 面积为 ，求 b+c 的值 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 （ ） 求出 ，即可求角 A 的大小； （ ） 若 a= ， 面积为 ，利用余弦定理及三角形的面积公式，求b+c 的值 【解答】 解：（ ）由已知得 ，（ 2 分） 化简得 ， 整理得 ，即 ，（ 4 分） 由于 0 B+C ，则 ，所以 （ 6 分） （ ）因为 ，所以 （ 8 分） 根据余弦定理得 ，（ 10 分） 即 7=（ b+c） 2 2，所以 b+c=3（ 12 分） 【点评】 本题考查三角函数知识的运用，考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017资阳模拟）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托 “互联网 +”，符合 “低碳出行 ”的理念，已越来越多地引起了人们的关注某部门为了对该城市共享单车加强监管 ，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值（百分制）按照 50， 60）， 60，70）， ， 90， 100分成 5 组，制成如图所示频率分直方图 （ ） 求图中 x 的值； （ ） 已知满意度评分值在 90， 100内的男生数与女生数的比为 2： 1，若在满意度评分值为 90， 100的人中随机抽取 2 人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ I）利用频率分布直方图的性质即 可得出 （ 据分层抽样，求出女生和男生得人数，再一一列举出所有得基本事件，找到所抽取的 2 人中至少有 1 名女生的基本事件，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ ）由（ x） 10=1，解得 x= 4分） （ ）满意度评分值在 90， 100内有 100 10=6 人， 其中女生 2 人，男生 4 人 设其中女生为 生为 中任取两人，所有的基本事件为（ （ （ （ ，（ （ （ （ （ （ （ （ （ b2，（ （ 15 个， 至少有 1 人年龄在 20， 30）内的有（ （ （ （ a1，（ （ （ （ （ 9 个 所以，抽取的两人中至少有一名女生的概率为 ，即为 （ 12 分） 【点评】 本题考查分层抽样，以及古典概型的概率公式，考查数据处理能力和分析 问题、解决问题的能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017资阳模拟）如图，在三棱柱 ，底面 平面 D 为 中点 （ ） 求证：直线 平面 （ ） 若 ， E 是 中点，求三棱锥 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）连接 点 F，由三角形中位线定理可得 由线面平行的判定可得 平面 （ ）直接利用等积法求三棱锥 体积 【解答】 （ ）证明：连接 点 F， 则 F 为 中点，又 D 为 中点， 又 面 面 平面 （ ）解：三棱锥 体积 其中三棱锥 高 h 等于点 C 到平面 距离，可知 又 【点评】 本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 20（ 12 分）（ 2017资阳模拟）如图，在平面直角坐标系 ，椭圆 ：的离心率为 ，直线 l： y=2 上的点和椭圆 上的点的距离的最小值为 1 （ ） 求椭圆 的方程； （ ） 已知椭圆 的上顶点为 A，点 B， C 是 上的不同于 A 的两点，且点 B，C 关于原点对称，直线 别交直线 l 于点 E， F记直线 斜率分别为 求证： k1定值； 求 面积的最小值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由题知 b=1，由 ， b=1，联立解出即可得出 （ ） 证法一：设 B（ 0），则 ，因为点 B， C 关于原点对 称，则 C（ 利用斜率计算公式即可得出 证法二：直线 方程为 y=，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出 直线 方程为 y=，直线 方程为 y=，不妨设 0，则 0 ，令 y=2 ，得 ，可得 面积 【解答】 解：（ ）由题知 b=1，由 ， 所以 ， 故椭圆的方程为 （ 3 分） （ ） 证法一：设 B（ 0），则 ， 因为点 B， C 关于原点对称，则 C（ 所以 （ 6 分） 证法二：直线 方程为 y=， 由 得 ， 解得 ，同理 ， 因为 B， O， C 三点共线，则由 ， 整理得（ k1+ 2） =0， 所以 （ 6 分） 直线 方程为 y=，直线 方程为 y=，不妨设 0，则 0， 令 y=2，得 ， 而 ， 所以， 面积 = = （ 8 分） 由 得 ， 则 S ，当且仅当 取得等号， 所以 面积的最小值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、项斜率计算公 式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21（ 12 分）（ 2017资阳模拟）已知函数 f（ x） =a（ x 1），其中 a R （ ） 当 a= 1 时，求证： f（ x） 0； （ ） 对任意 t e，存在 x （ 0， + ），使 t 1） f（ x） +a 0 成立，求 a 的取值范围 （其中 e 是自然对数的底数， e=） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数 f（ x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数 f（ x）的最大值，证明结论即可； （ ）问题转化为证明 ，设 ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ）当 a= 1 时， f（ x） =x+1（ x 0）， 则 ，令 f（ x） =0，得 x=1 当 0 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）单调递增；当 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）单调递减 故当 x=1 时，函数 f（ x）取得极大值，也为最大值，所以 f（ x） f（ 1） =0， 所以， f（ x） 0，得证（ 4 分） （ 题即对任意 t e，存在 x （ 0， + ），使 成立， 只需 设 ，则 ， 令 u（ t） =t 1 对于 t e 恒成立， 所以 u（ t） =t 1 e， + ）上的增函数， 于是 u（ t） =t 1 u（ e） =e 2 0，即 对于 t e 恒成立， 所以 为 e， + ）上的增函数，则 （ 8分） 令 p（ x） = f（ x） a，则 p（ x） = a（ x 1） a= 当 a 0 时， p（ x）