系统非线性环节的仿真

2.5 系统非线性环节的仿真 在实际系统中，往往存在各种非线性特性，可将此当作非线 性环节处理，这种环节的输入和输出之间关系是一种非线性函 数关系，因此非线性环节的仿真就是用仿真语言来描述这些关 系。本节介绍几种典型的非线性环节的仿真算法。 2.5.1 饱和环节饱和环节 饱和环节在控制系统中较普遍，例如饱和放大器、限幅装置、 伺服阀饱和特性等。饱和环节特性如图所示。 图 2.5-1 饱和特性 该特性对应的数学表达式为： (2.5-1) cuc cuc cuu y 式中，c 为饱和环节特征参数，斜率为 1，该环节特性可用 MATLAB 编程仿真，利用上面算法的编写的 MATLAB 函数 SATURATION，调用格式为： ),(cusaturationy 其中，u 为输入；c 为饱和环节特征参数，y 为饱和环节输出。 Saturation.m; amp209.m 2.5.2 死区环节死区环节 在控制装置中，放大器的不灵敏区，伺服阀和比例阀阀芯正 遮羞特性，传动元件静摩擦等造成的死区特性。典型死区非线 性环节特性如图 2.5-2 所示。 图 2.5-2 死区特性 可用下面数学关系来描述： (2.5-2) cucu cucu cu y 0 式中，c 为死区特征参数，斜率为 1。 该环节可根据上述算法编写 MATLAB 函数 deadzone 供调用， 格式如下： ),(cudeadzoney 其中，u 为环节输入；c 为死区环节特征参数，y 为死区环 节输出。 Deadzone.m; amp210.m。 2.5.3 齿隙非线性环节齿隙非线性环节 齿轮传动副和丝杆螺母传动副中存在传动间隙都属这一类非 线性因素，它对系统精度带来影响。齿隙非线性环节特性如图 2.5-3 所示。 图 2.5-3 齿隙特性 当输入 u 增加时，输出沿线段变化；当输入 u 减小dba 时，输出沿线段变化。在线段 bd 上，输入增加时，当aed 前输出值 y(k)总是大于前一时刻的输出值 y(k-1)。而在 ea 上， 输入减小时，当前输出 y(k)总是小于前一时刻的输出值 y(k-1)。 在 ab 段和 de 段，y(k)=y(k-1)。以上特性的数学描述如下： （2.5-3） 且且ky ckuk且ykuk且ucku ckuk且ykuk且ucku ky ) 1( )() 1(0) 1()()( )() 1(0) 1()()( )( 式中，c 为齿隙环节特征参数，斜率为 1。 根据（2.5-3）算法编写的 MATLAB 函数 backlash，调用格 式如下： ), 0, 0, 1(1cyuubacklashy 其中，u0,u1 分别为前一时刻和当前时刻输入值；y0,y1 分别为 前一时刻和当前时刻输出值；c 为齿隙特征参数。Backlash.m, amp211.m. 2.5.4 继电非线性环节继电非线性环节 继电非线性环节特性如图 2.5-4 所示，(b)为具有死区继电环 节，(a)为(b)特例，即 c=0。对于图(b)所示特性，可用下面数学 关系描述： 图 2.5-4 继电环节特性 (2.5-4) cku cku cku y )(1 )(1 )(0 根据（2.5-4）算法编写的 MATLAB 函数 relaydead，调用格 式如下： ),(curelaydeady 其中，u 为环节输入，c 为环节输出，y 为死区特征参数。 Relaydead.m, amp212.m. 2.5.5 具有滞环的继电环节具有滞环的继电环节 具有滞环的继电非线性环节特性如图所示，可用下面数学关 系描述： 图 2.5-5 带滞环继电特性 （2.5-5） 且且ky ck且ukukuh ck且ukukuh ky ) 1( )() 1()( )() 1()( )( 根据（2.5-5）算法编写的 MATLAB 函数 relaydelay，调用 格式如下： ), 0, 0, 1(hcyuurelaydelayy 其中，u0,u1 分别为前一时刻和当前时刻环节输入值；y0,y1 分 别为前一时刻和当前时刻输出值；c,h 为环节特征参数。 Relaydelay.m, amp213.m. 2.5.6 库仑库仑粘性摩擦力环节粘性摩擦力环节 图 2.5-6 库仑-粘性摩擦特性 机械摩擦具有非线性如图所示，它由库仑摩擦和粘性摩擦两 部分组成。当物体运动速度不为零时，出现的库仑摩擦力为和 相对运动速度相反的、与速度大小无关的恒定力，而粘性摩擦 力则速度大小成正比。上述特性可用数学关系来描述： (2.5-6) 且且cuGusign k且vkvc k且vkvc kf )()( 0) 1()0)( 0) 1(0)( )( 根据式（2.5-6）的算法，编写的 MATLAB 函数 friction，调 用格式为： ), 1,(Gcuufrictiony 其中，u,u1 分别为当前时刻和下一时刻的输入值（速度） ；y 为 输出值（摩擦力） ；c 为库仑摩擦力值；G 为粘性摩擦系数。 2.6 采样控制系统仿真 2.6.1 采样控制系统的基本组成 采样控制系统是指系统一处或几处信号是以采样形式来传递 的，而被控对象是连续的。典型的采样控制，是一种连续离 散混合系统，系统如图 2.6-1 所示。 图 2.6-1 采样控制系统 随着计算机技术的发展，计算机控制系统成为采样控制系统 的主要形式。系统（a）和系统（b）的主要区别在于系统闭环 的输入信号类型，前者是模拟信号，后者是数字信号。系统中 的 A/D 转换器是采样开关，将连续模拟量转变为离散的数字量 并根据计算量的位数进行进行量化处理；D/A 转换器是将离散 的数字量转变为模拟量，同时它也是一个保持器，且一般具有 零阶保持器特征。A/D 和 D/A 转换器在模拟量和数字量之间存 在确定的比例关系，相当于系统中的比例环节。 2.6.2 采样控制系统仿真特点 采样控制系统包含连续部分和离散部分。对于连续部分仿真 方法和连续系统仿真一样，可采用数值积分法或离散相似法。 若采用数值积分法则需要确定积分步长，若采用离散相似法则 需要确定虚拟的采样周期。对于离散部分，A/D 转换器和 D/A 转换器是实际存在的，采样周期和保持器类型也均是实际存在 的。因此采样控制系统仿真中，仿真步距或虚拟采样周期和系 统实际采样周期之间存在同步问题。 2.6.3 仿真步长和采样周期 对采样控制系统进行仿真时，连续部分仿真步长的选择必须 根据被控对象的动态特性、系统采样周期大小、仿真精度的要 求等综合考虑。一般按下面两种情况处理： （1）仿真步长 h 等于采样周期 T； （2）仿真步长 h 小于采样周期 T。 第一种方法适用于系统连续部分参数变化较缓慢或系统幅 值穿越频率较小的系统。对于大多娄机电类采样控制系统， c 系统连续部分参数变化较快，常采用第二种方法，以保证系统 中连续部分足够的仿真精度。 若仿真步长 h 小于采样周期 T，为了全球仿真程序的实现， 通常取采样周期 T 恰好是仿真步长 h 的整数倍速，即，其 N T h 中 N 为正整数。采样系统仿真采用定步距，对于连续部分在每 个计算点均作仿真运算，而对于离散部分（数字控制器）只有 在采样时刻才执行仿真运算，在其他计算点不执行仿真运算。 在仿真程序中，采样时刻点可借助仿真时间/采样周期为整数的 关系来确定。采样控制系统仿真程序流程如图 2.6-2 所示。 2.6.4 采样控制系统仿真方法 如前所述，采样控制系统分为连续部分和离散部分。对于连 续部分仿真有不同的处理办法，采样控制系统仿真方法分为两 种。 一、基于数值积分法 图 2.6-2 采样控制系统仿真程序流程图 对系统连续部分仿真采用数值积分法，图 2.6-2 是基于数值 积分的采样控制系统仿真程序框图。这种方法需选择连续部分 仿真步长、仿真数值积分方法等。一般采用定步距，且仿真步 长一般小于离散部分采样周期。离散部分仿真是基于递推法， 十分简单。 二、基于离散相似法 系统的连续部分先进行 z 变换，若连续部分模型已知，)(sG 则可借助 MATLAB 函数 C2D 将连续模型转换为离散模型，)(zG 将和原系统离散部分模型合并后可求得采样控制系统的)(zG)(zD 离散模型，这样就可以进行仿真运算。在连续部分离散化)(zW 时，可优先选择虚拟的采样周期和系统实际采样周期相同。在 仿真运算时可根据仿真速度和精度要求，采用不同的采样周期， 但这时需用 MATLAB 函数 D2D 对模型进行变换。)(zW 以下实例介绍基于数值积分法的采样控制系统仿真程序的编 写。 例 2-9已知一个计算机控制的电液伺服位置控制系统框图 如图 2.6-3 所示，度用 MATLAB 编写仿真程序。 图 2.6-3 例 2-9 示意图 系统主要参数如下： （1）数字控制器，仅考虑比例控制，取；2 p K （2）数字限幅：；1024 （3）12 位 D/A 转换器系数；2048/5VKda （4）伺服放大器：电压放大器增益系数；电压/电流2 . 1 a K 转换系数；电流限幅：；VmAKvi5 . 2/48mA40 （5）伺服模型： 1 2 )( 2 2 nv v nv sv v s K I Q sG 或以状态空间表达式描述，状态空间参数矩阵如下： 0 1 0 2 10 2 2 nvsvv v nvvnv v Kc b a 式中，伺服阀自然频率；伺服阀阻尼比；伺srad nv /2005 . 0 服阀流量系数可通过阀额定参数和实际工作点计算；伺服阀 sv K 额定工作电流为；mA40 （6）液压缸动力模型 ) 1 2 ( /1 )( )( )( 22 2 s s s A sQ sY sG nh h nh h 或以状态空间模型来描述，状态空间系数矩阵为： 001 0 0 20 100 010 2 2 c A b a nh nhhnh 其中，状态变量，为液压缸固有频率，, 321 yyyxxxX nh 为液压缸阻尼比，A 为液压缸面积。 h （7）数字式位移检测装置：感应同步器，精度一个脉冲 /0.01mm。 （8）感应同步器接口电路：感应同步器脉冲信号转换为数字量， 1/bit 每个脉冲。 这是一个典型的采样控制系统，包含有连续部分：电液伺服 阀、伺服放大器、液压缸装置；离散部分：计算机控制器；接 口部分：D/A 转换器、感应同步器接口板等。系统采样周期为 10ms，采用四阶 R-K 法对连续部分进行仿真，仿真步长为 1ms，仿真程序包括： 主程序 hm45.m，电液伺服阀模型的 m 函数 valve( )，液压 缸模型的 m 函数 hysys( )，数据文件 svdada.m。主程序运行时 首先调入数据文件，两个 m 函数文件，给一些参数初始化，然 后进行仿真循环计算，最后输出仿真结果及存储仿真数据。 主程序中用到 MATLAB 函数 FEVAL，其功能是执行字符 串所描述的函数，调用格式为： , 1, 1XnXFfevalYnY 其中，F 为一个函数名的字符串；为该函数的输入参数；XnX, 1 为该函数的输出参数。YnY, 1 程序运行结果如图 2.6-4 所示。改变比例控制器增益 Kp 可 看出 Kp 对系统动态性能的影响。 图 2.6-4 系统的阶次响应 2.7 Simulink 动态仿真 Simulink 是 MATLAB 软件包之一，用于可视化的动态系统 仿真，它适用于连续系统和离散系统，也适用于线性系统和非 线性系统。它采用系统模块直观地描述系统典型环节，可十分 方便地建立系统模型而不需要花较多时间编程。 利用 Simulink 进行系统仿真的步骤是： （1）启动 Simulink，打开 Simulink 模块库和模型窗口； （2）在 Simulink 模型窗口下，创建系统框图模型并调整模 块参数； （3）设置仿真参数，进行仿真； （4）输出仿真结果。 2.7.1 启动 Simulink 启动 Simulink 就是进入 Simulink 的工作环境，并且打开 Simulink 模块库和一个 Simulink 模型窗口，为建立系统的 Simulink 模型作准备。 2.7.2 系统 Simulink 模型的建立 系统 Simulink 模型是一种以系统环节方块图为基础的方块 图模型，十分直观。系统典型环节或常用环节的方块图在 Simulink 模块库中都可以找到，因此建立系统的 Simulink 模型 十分方便和快捷。 建立新的系统 Simulink 模型的主要步骤如下： （1）打开 Simulink 模型窗口(untitled)； （2）选取模块或模块组； （3）模块拷贝及删除； （4）模块调整； （5）模块参数设置； （6）模块的连接； （7）模块文件的取名和保存。 2.7.3 系统仿真运行 在建立系统的 Simulink 框图模型后，就可以进行系统动态 仿真。系统仿真运行有两种方式进行，一种是利用 Simulink 模 型窗口的菜单 Simulation 下的选项，二是在 MATLAB COMMAND 窗口下输入命令。 一、 Simulink 模型窗口下仿真 Simulink 模型窗口下仿真的具体步骤如下： （1）开系统的 Simulink 模型窗口，窗口内有已建立的系统 框图模型。 （2）在模型窗口选取菜单，设置仿真ParametersSimulation 参数。 （3）在对话框模型窗口内选取，仿真开始，StartSimulation 在设置的仿真终止时间仿真结束。 由上可知，在系统 Simulink 模型窗口下仿真，主要工作是 利用对话框设置仿真参数，仿真参数设置包ParametersSimulation 括：solver（数值积分法） ，Workspace I/O（工作空间输入/输出） ，Diagnostics（诊断）和 Real-Time Workspace（实时工作空间） 。 （一）Solver 页有关参数设置 设置内容有： （1）Simulation time（仿真时间） （2）Solver options（仿真解法选择项） Typt：Variable-step(变步距)和 Fixed-step（定步距）两种。 （3）变步距解法选择项仿真算法 （4）定步距解法选择项 （5）输出选择项 （二）Workspace I/O 页 设置内容有： （1）Load from workspace(从工作空间调入数据) 例 2-10若系统 Simulink 框图模型 hexam1，如图 2.7-1 所示， 采用从 Workspace 调入数据的步骤如下： 图 2.7-1 例 2-10 系统框图模型 1. 激活 Workspace I/O 页; 2. 在 input:输入t,ua; 3. 在 MATLAB COMMAND 窗口下工作空间内装入矩阵格 式数据 t 和 ua。对于简单输入数据可直接在 MATLAB 工 作空间内直接手工输入；对于较复杂输入数据可用 M 文 件。本例 amp216.m。 模型 hexam1 仿真运行结果。 （2）Save to workspace（保存数据到工作空间） 仿真结果的数据可以保存到 MATLAB 工作空间，这些 数据包括：Time（时间） 、Sta