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杭州电子科技大学 硕士学位论文 混沌pn序列的性能分析与比较 姓名：冯伟 申请学位级别：硕士 专业：电路与系统 指导教师：王光义 20100201 杭州电子科技大学硕士学位论文 i 摘 要 混沌是非线性确定性系统产生的一种类似随机的现象，广泛地存在于各种非线性系统之 中。 由于混沌表现出的非周期， 宽频谱和对初始值非常敏感的特性， 使得其产生的伪噪声 （pn） 序列性能优良，具随机性与长周期特性，适合于保密通信以及扩频码的产生。本文基于 fpga 技术，在分析一个新的连续超混沌系统基础上，将混沌系统的各状态值抽位量化，得出 pn 序 列，并对得到的 pn 序列进行随机性 fips 性能分析，结果表明该 pn 序列通过测试，在实际工 程应用具有一定的价值。然后进行了几种成熟的混沌系统 fips 性能指标的分析比较，得出了 相对于某种特定测试，哪个混沌系统的测试结果较为理想的结论。最后提出了 pn 序列发生器 的可行性原理。 本文的主要工作有： （1）通过 altera 公司开发的 dspbuilder 工具，构建多种混沌系统，再下载到 fpga 芯 片转化成 vhdl 语言，从而节省了硬件实现混沌的时间，使批量研究混沌系统及混沌 pn 序 列成为可能。 （2）构造了一个新的 lu 超混沌系统,并分析了其对称性，平衡点及稳定性，耗散性，吸 引子相图，lyapunov 指数谱和分岔图等特性并构造了对应电路。 （3） 利用 fpga 数字技术得到该混沌的 pn 序列， 并对该 pn 序列的 fips 各项指标进行 了细致分析，得出其具有良好的随机性能，为工程实现提供了理论依据。 （4）对 lorenz，chen，lu， sproott 这四类经典混沌系统的数字 pn 序列性能进行了综 合分析，得出：对于频率测试和串列测试，lorenz 系统的效果较好，而对于 poker 测试和游 程测试，lu 系统的效果更好，最后对于自相关测试，四个混沌系统则相差无几。 （5）在分析众多混沌系统的基础上，提出了 pn 序列发生器的原理和可行性。 关键词：混沌，fpga，pn 序列，fips，pn 序列发生器 杭州电子科技大学硕士学位论文 ii abstract chaos is a quasi stochastic phenomenon occurring in the non-linear determinate dynamic systems, which is ubiquitous in very nonlinear system. in virtue of its characteristics such as non-cycle, wide spectrum and sensitivity to the initial values. the chaotic pn sequences are highly random and have long periods which mean that its suitable for secret communication and spreading code generation. based on the analysis of a new continuous hyperchaotic system which is based on the use of fpga technology and quantify the state value of chaotic system to arrive pn sequence, and analyse the randomness fips performance, then know the pn sequence get through the test and have practical engineering application value. then test several mature chaotic system through fips performance analysis and comparison of obtained results which is better. finally, this paper proposes with the feasibility of pn sequence generator principle. the main work of this paper includes: (1) dsp builder toolbag, which is developed by altera, is employed to firstly construct chaotic systems in matlab. the systems are then coverted into vhdl language and downloaded into fpga chip. this process shortens the development cycle of chaos hardware realization and makes it possible to analyze a large amount of chaotic pn sequences. (2) constructed a new hyperchaotic lu system, and an analysis of its symmetry, balance and stability, dissipative attractor phase diagram, lyapunov exponent spectra and bifurcation diagram and other properties, and construct the corresponding circuit. (3) based on fpga digital technology, get the chaotic pn sequences. analyse the pn sequence of fips performance is quite good, provided a theoretical basis for the engineering implementation. (4) as for lorenz, chen, lu, sproott four categories of classical chaotic system, conducted a comprehensive analysis of the pn sequences obtained: for the frequency test and serial test, lorenz system is the best, and for testing and poker test-runs test, lu system is the best. (5) on the analysis of many chaotic systems, proposed the principle and feasibility of pn sequence generator keywords：chaos, fpga, pn sequence, fips, pn sequence generator 杭州电子科技大学杭州电子科技大学 学位论文原创性声明和使用授权说明学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明原创性声明 本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除 文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文使用授权说明学位论文使用授权说明 本人完全了解杭州电子科技大学关于保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论 文工作的知识产权单位属杭州电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名 单位仍然为杭州电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论 文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 （保密论文在解密后遵守此规 定） 论文作者签名： 日期： 年 月 日 指导教师签名： 日期： 年 月 日 杭州电子科技大学硕士学位论文 1 第 1 章 绪论 1.1 研究背景与意义 随着以网络通信技术和计算机技术为代表的信息技术的不断发展和普及，通信保密问题 显得日益突出。信息安全问题已经越来越成为阻碍经济社会持续稳定发展和威胁国家安全的 一个重要问题。众所周知，信息安全的核心是密码问题，因此设计新型高性能的密码体制是 目前最亟待解决的重要问题。 由于密码的特殊作用，世界大多数国家的军政部门始终都有庞大的、秘密的密码研究机 构。当今，世界范围内的政治、军事、外交、经济等斗争更加尖锐与复杂，特别是社会信息 化导致了国家安全战略的变化，各国都在不断加强对密码学研究。 如今世界各国仍然对密码的研究高度重视，已经发展到了现代密码学时期。密码学已经 成为结合物理、 量子力学、 电子学、 语言学等多个专业的综合科学， 出现了如“量子密码”、 “混 沌密码”等先进理论，在信息安全中起着十分重要的角色。 混沌是确定性系统中的一种类似随机的运动。混沌系统都具有如下基本特性：确定性、 长期不可预测性和 pn 性、宽带性、有界性、对初始条件的敏感性、快速衰减的自相关性、 拓扑传递性和混合性1，正是由于混沌系统所具有的这些基本特性恰好能够满足保密通信及 密码学的基本要求：混沌动力学方程的确定性保证了通信双方在收发过程或加解密过程中的 可靠性；混沌轨道的发散特性及对初始条件的敏感性正好满足 shannon 提出的密码系统设计 的第一个基本原则扩散原则；混沌吸引子的拓扑传递性与混合性，以及对系统参数的敏 感性正好满足 shannon 提出的密码系统设计的第二个基本原则混淆原则；混沌输出信号 的宽带功率谱和快速衰减的自相关特性是对抗频谱分析和相关分析的有利保障，而混沌行为 的长期不可预测性是混沌保密通信安全性的根本保障等。因此，自 1989 年 r.mathews, d.wheeler, l.m.pecora 和 carroll 等人首次把混沌理论应用到序列密码及保密通信理论以来， 数字化混沌密码系统和基于混沌同步的保密通信系统的研究已引起了相关学者的高度关注 2。虽然近些年的研究取得了许多可喜的进展，但仍存在一些重要的基本问题尚待后人解决。 目前，对保密通信系统的研究工作才刚刚起步，主要方法有：混沌时间序列分析、统计 分析（如周期及概率分布分析和相关分析等）和频谱分析（包括傅立叶变换和小波变换等） 3。后两者都是传统的信号分析方法，在此就不再赘述，而混沌时间序列分析是最近20 年来 才发展起来的一门基于数值计算和非线性动力学的新兴学科方向。目前利用混沌和混沌同步 实现保密通信已经成为近年来竞争最为激烈的混沌应用研究领域。混沌时间序列对初始条件 的敏感性，可把它用作扩频多址序列；混沌的类噪声特性可提高通信系统的保密性；混沌的 准确再生，可以用于混沌掩盖和信号恢复。混沌通信利用混沌信号作为载波，将传输信号隐 杭州电子科技大学硕士学位论文 2 藏在混沌载波之中，在接收端利用混沌的属性或同步特性解调出所传输的信息。迄今为止混 沌保密通信大致分为三大类：第一类是直接利用混沌进行保密通信；第二类是利用混沌同步 进行保密通信；第三类是利用混沌数字编码的保密通信。混沌通信具有许多优点：(1) 保密 性强，因为具有宽带特性,特别是利用时空混沌增强抗破译、抗干扰(鲁棒性)能力；(2) 具有高 容量的动态存储能力；(3) 具有低功率和低观察性；(4) 设备成本低等。因此，混沌通信和信 息加密新技术正是适应未来信息战的需要， 这是一个在21 世纪大有发展前景的极富挑战性的 高新科技领域。 pn 码（pseudo random code）又称为伪噪声码（pseudo noise code） 。简单地说，pn 码 是一种具有类似白噪声性质的码文。白噪声是一种随机过程，它的瞬时值服从正态分布，其 功率谱在很宽的频带内都是均匀分布的。白噪声具有优良的相关特性，但时至今日都无法实 现对其进行放大、调制、检测、同步及控制等操作。在工程实践中，只能用类似于带限白噪 声统计特性的 pn 码信号来逼近，并作为扩频通信系统的扩频码。 近些年来，正是由于 pn 序列系列具有良好的随机性和接近于白噪声的相关函数，并且 有预先的可确定性和可重复性，因此其作为一个不可或缺的分支被越来越多的科研人员应用 到保密通信和加密领域。这些特性使得 pn 序列得到了越来越广泛的应用，特别是在 cdma 系统中作为扩频码已成为 cdma 技术中的关键问题。实际中产生的随机数不是绝对随机数， 是相对的，称为“pn 数”。pn 数发生器（pseudo random number generator）在信息加密、扩 频通信和系统测试等领域中有着广泛的应用。在软件中一般都采用含有大数乘法的递推公式 所计算出的一组数值来产生 pn 数列。当其数列足够长时，这组数值就是看做近似满足均匀 分布的 pn 数列。 大部分 pn 码都是周期码，可以人为地加以产生与复制，通常由二进制移位寄存器来产 生。由于这种码具有类似白噪声的性质，相关函数具有尖锐的特性，功率谱占据很宽的频带， 因此易于从其它信号或干扰中分离出来，具有优良的抗干扰特性。 在工程上常用二元域0，1内的 0 元素与 1 元素的序列来表示 pn 码，它具有如下特点： （1） 在每一个周期内，0 元素与 1 元素出现的次数近似相等，最多只差一次； （2） 在每一个周期内，长度为 k 比特的元素游程出现的次数比长度为 k+1 比特的元素游程 出现的次数多一倍（连续出现的 r 个比特的同种元素叫做长度为 r 比特的元素游程） ； （3） 序列的自相关函数是一周期函数，且具有双值特性，当码元延时为 n 的整数倍时，自 相关函数 r=1，当不是 n 的整数倍时，r=-k/n。 作为扩频码的 pn 信号，应具有下列特点： （1） pn 信号必须具有尖锐的自相关函数，而互相关函数值应接近 0 值； （2） 有足够长的码周期，以确保抗侦破与抗干扰的要求； （3） 码的数量足够多，用来作为独立的地址，以实现码分多址的要求； （4） 工程上易于产生、加工、复制与控制。 目前主要的 pn 序列有 m 序列5，gold 序列6等，但这些序列都具有密钥空间小，周期短 杭州电子科技大学硕士学位论文 3 的缺点。如何克服这些缺点一直是国内外研究热点，而当混沌理论出现并在实际工程实现中 成熟，走向应用后，人们发现，利用混沌系统产生的 pn 序列具有很好的随机性，且具有较 长周期5-8。 另外，在硬件实现 pn 序列的手段上，由于收发两端的模拟器件难以完全匹配，并且模 拟混沌加密安全性较差，无法充分实现混沌通信对同步的要求，所以，采用主流的 fpga 数 字技术可实现收发端高度一致并同步的数字 pn 序列25。数字技术有如下优点： （1） 数字通信差别于模拟通信，它首先数字化模拟信号，由于其在数字通信系统中实现的 信号都是确定的 01 码元，更容易实现加解密，在传输过程中易完整地保持数据，且具 有比模拟系统更高的加密强度，对影响原始信号的程度较小，更适于收发端的同步通 信。 （2） 由于数字加密是采用比特连续加密等算法，加密速度较模拟的快，因此信号加密时产 生的时延相对较小。 （3） 当处理冗余可懂度高的信号时，对于模拟加密而言是无法根除该信号的主要特征，而 且系统的部分有用信息可以通过这些特征被还原出来。而对于数字加密系统而言则去 掉了这些特征。 （4） 从理论上数字加密的优点是可以产生无限多组并且相互独立的密钥的集合。但是由于 模拟加密在加解密过程中产生信号的冗余可懂度高，因此独立密钥集合较小。 （5） 随着数字信号处理技术和微电子技术的发展，易于实现数字加密设备，并且日益小型 化，便于携带，可大批量生产。 然而，数字化带来一系列好处的同时内在的缺陷也不可避免地存在着。由于数字系统的 存储单元位长有限，有限位的二进制数是其表示实数的方式，根据二进制数理论可知，有限 位长的二进制数同样只能表示有限多的实数。尽管混沌系统在理论上而言是无周期恶类似噪 声信号，可以产生无限个不重复的信号值，但是对于目前的数字系统来讲明显无法表征无限 个实数，只能用来近似地处理信号，并自动舍入，当信号出现重复时，便据此进入了循环， 重复上一次的输出值，这就是有限精度效应。因此使得混沌 pn 序列的使用范围受限，目前 国内外有对定性研究有限精度的，如文献26提到，混沌系统的周期与位长的关系为 o(2b)。 但在具体工程实践时，则必须要有定量分析。 另外，目前人们设计产生的混沌系统较多，各类系统虽都具有周期长，随机性好，初值 敏感高等特点，但彼此之间性对比之下仍有部分差异，因此需要做更进一步的分析研究，以 甄别出具有更好性能的混沌系统，产生周期更长随机性更好的 pn 序列。 目前国内外在这方面主要工作有：在已有混沌的基础上构造更高阶数的超混沌方程，设 计扰动系统，设计切换系统，以及多个混沌系统相互结合运算组成混合混沌系统等。 一个保密系统是否具有良好的密码特性是通过确定性的密码系统产生的 pn 混乱状态所 保证的。从算法的角度来看，任何好的密码系统也可以看成是一个混沌或者拟混沌系统。好 的密码系统对明文加密后带来的密文混乱状态非常类似于由复杂动力系统产生的混沌现象。 杭州电子科技大学硕士学位论文 4 由于混沌系统可以产生“不可预测”的 pn 轨道， 许多研究集中在使用混沌系统构造 pn 数发生 器（prng）的相关算法及性能分析上面。对于连续混沌系统而言，很多混沌 pn 序列已经被 证明具有优良的统计特性。大部分混沌流密码的核心部分是混沌 pn 数发生器，它的输出作 为密钥流掩盖（一般采用异或操作）明文。因此，有理由相信通过研究混沌系统产生的 pn 序列有助于丰富传统密码学的内容，为更好的密码系统的设计提供更多的设计思路和手段。 同时，我们可以发现通过对混沌产生 pn 序列的研究，我们可以丰富关于离散时间离散空间 混沌系统（即所谓的数字化混沌系统）的理论知识。 1.2 国内外研究背景与现状 pn 序列广泛应用于扩频通信、数字加密、数字系统测试等领域。对于 pn 序列产生的研 究一直是国内外信息领域的热点，为了提高 pn 序列性能，近几年对于移位型计数器状态利 用率的研究有不少报道或是采用修改线性反馈网络函数方法，或是利用触发器的直接置位、 复位端使计数器进入有效循环。国内外常用来产生 pn 序列的方法有：线性反馈移位寄存器 （lfsr）法、线性同余法、二次同余法、三次同余法、密码编码法、非线性反馈移位寄存器 （nlfsr）法等。在这些方法中同余法已经被成功破译；密码编码法实现速度较慢 ；nlfsr 法还没有可靠的数学理论基础；lfsr 容易用硬件实现，较常用，同时也有可靠的数学理论基 础。但它也有一些非随机特性，需要仔细设计抽头序列，才能保证其输出是 m-序列。 高度安全的 pn 序列发生器是信息加密的核心算法，几乎各类加密算法都需要。近几年 来， 随着混沌密码理论的深入研究， 现场可编程门阵列 （field programmable gate array， fpga） 实现混沌 pn 序列发生器（chaotic pseudorandom sequences generator，cprsg）引起了人 们的极大兴趣。寻找一种性能优良的 cprsg 并且完成其硬件实现意义重大，是理论研究与 工程应用研究的新挑战。 目前国内外大部分混沌 prng 都只采用单个混沌系统，因此可能存在一些潜在的基于动 力学的攻击方法从拟混沌轨道中提取有用的信息，比如那些在基于混沌同步的保密通信系统 领域中广泛采用的一些信息分析方法。另外，一些基于混沌 prng 的流密码不断被破译的事 实也蕴含了这种危险。因此建议使用多个混沌系统，这是一个提升数字化混沌密码抵抗动力 学分析安全性的通用方法。事实上，存在几种数字化混沌流密码由于采用了多混沌系统，实 现了对潜在动力学攻击的较高安全可靠性以及更好的整体性能。提出了一种基于一对混沌系 统的新型 pn 比特发生器（prbg） ，初步的理论分析和试验结果表明该 prbg 具有良好的密 码学特性，并可以用来构造高安全性的流密码。 以时间序列为出发点来研究混沌系统， 开始于 packard 等人在 1980 年提出的相空间重构 （phase space reconstruction）理论。众所周知，对于决定混沌系统长期演化的任一变量的时 间演化，均包含了该混沌系统中所有变量长期演化的信息（亦称为全息性） ，这是由混沌系统 的非线性特点决定的，同时这也是混沌系统很难分解和分析的主要原因。因此，理论上可以 通过研究决定混沌系统长期演化的任一单变量的时间序列来研究混沌系统的动力学行为，这 杭州电子科技大学硕士学位论文 5 就是混沌时间序列分析的基本思想。混沌时间序列分析的目的是通过对混沌系统产生的时间 序列进行相空间重构分析，利用数值计算估计出混沌系统的宏观特征量，从而为进一步的非 线性预测4（包括基于神经网络或模糊理论的预测模型）提供模型参数，这基本上也就是目 前对混沌保密通信系统进行分析或评价的主要思路。描述混沌吸引子的宏观特征量主要有： lyapunov 指数（系统的特征指数） 、kolmogorov 熵（动力系统的混沌水平）和关联维（系统 复杂度的估计）等3。而这些混沌特征量的估计和 poincare 截面法都是以相空间重构以及 f.takens 的嵌入定理为基础的， 由此可见相空间重构理论在混沌时间序列分析中的重大意义。 1.3 本文研究内容与结构安排 本文研究了大量连续的混沌系统，分析其混沌特性，并利用 matlab 的 dspbuilder 搭 建系统模块，下载到 fpga 芯片，转化为 vhdl 语言，最后将抽取的 pn 序列能过串口读回 计算机，进行 nist 制定的 fips 标准的测试，分析比较各类混沌 pn 序列的优劣，并提出了 在各项性能方面，哪个混沌系统所产生的 pn 更适合应用到实际工程中去。pn 序列的性能主 要包含周期性与随机性。周期性是由数字系统的有限精度引起的，本文构造了一个新的超混 沌 lu 系统，并详细分析了该lu 序列的多项性能。经分析表明，该方案实现的 pn 序列周期 长，测试发现，该系统具有优良的随机性。 除了通过 fpga 开发板实现的 vhdl 代码外，本文所有程序都是使用 matlab 程序编 写的。matlab 不仅在数值处理计算方面具有强大功能，而且可以用一个指令就完成例如求 余误差函数等复杂的数学运算， 而且可以利用其 simulink 模块搭建仿真图形， 操作方便快捷。 本文的结构安排如下： 第 1 章绪论部分着重介绍目前混沌密码学的研究背景与意义，并指出混沌 pn 序列的数 字实现的优越性与不足点，以及国内外研究现状及发展趋势。 第 2 章主要介绍混沌的基本理论知识，系统地介绍了一些常用的连续混沌方程。 第 3 章主要介绍一个新的超混沌系统的设计及其电路实现。首先构造一个新的超混沌系 统（本文构造了一个新的 lu 超混沌系统） ，并分析了其对称性，平衡点及稳定性，耗散性， 吸引子相图，lyapunov 指数谱和分岔图等各项性能，然后对其进行了电路实现，发现产生的 吸引子相图吻合于前者。 第 4 章主要介绍通过 fpga 产生了混沌 pn 序列，并重点分析了在第四章基础上产生的 混沌 pn 序列对其进行了频率测试 （frequency test） 、 串列测试 （serial test） 、 poker 测试 （poker test） 、游程测试（runs test） 、自相关测试（autocorrelation test）五个方面的性能分析。 第 5 章主要研究了一些比较成熟的（超）混沌系统，比如 lorenz、chen、lu、rossler 等，对其产生的混沌序列进行类似第 5 章五个方面的分析，并得出了在各项性能当中哪个系 统相对来说更理想。 第 6 章介绍了基于混沌的 pn 序列发生器的可行性问题。 第 7 章总结。 杭州电子科技大学硕士学位论文 6 本文的研究为以下国家与省基金项目的部分内容： 1、国家自然科学基金项目（数字混沌密码优化及其在存储介质密码系统中的实现研究， 批准号：60971046） 2、省自然科学基金项目（cdma 系统超混沌扩频序列的一种生成方法及性能比较分析 研究，批准号：y105175） 除第 1 章、第 2 章内容外，其它内容均根据作者已发表和尚未发表的论文整理而成。 杭州电子科技大学硕士学位论文 7 第 2 章 混沌基本理论及一些混沌系统的分析 2.1 混沌学的起源和发展 混沌是指非线性确定系统出现的一种类似随机的过程，它与相对论、量子力学同被列为 二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。 混沌的理论基础可以追溯到19世纪末创立的定性理论，但真正得到发展是在20世纪70年 代，现在方兴未艾。 目前公认为真正发现混沌的第一位学者，是伟大的法国数学和物理学家 h. poincare，他 在研究天体力学时，发现即使只有三个星体的模型仍能产生明显的随机效果。1903 年，h. poincare 在他的科学与方法一书中提出了 poincare 猜想。他为现代动力系统理论贡献了 一系列重要概念，如动力系统、奇异点、极限环、分叉、同宿和异宿等；提供了许多有效的 方法和工具，如小参数展开法、poincare 截面法等。这一系列数学成就对以后混沌学的建立 发挥着广泛而深刻的影响。在 h. poincare之后，一大批数学家和物理学家在各自的研究领域 所做的出色工作为混沌学的建立提供了宝贵的知识积累。 1972 年 12 月 29 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一 e.n.洛伦兹在美国科学 发展学会第 139 次会议上发表了题为蝴蝶效应的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴 西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确 预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚 兴趣。今天，伴随计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的 前沿科学。 一般地，如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以 称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为 动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。而一些动力系统中，两个几乎完全一致 的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种 系统被称为敏感地依赖于初始条件。 而对初始条件的敏感的依赖性也可作为一个混沌的定义。 与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究 似乎总是把人们对“ 正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。 例如， 孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程 中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始 条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。 混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且 这样的系统产生于生活的各个方面。举个例子，生态学家对某物种的长期性态感兴趣，给定 杭州电子科技大学硕士学位论文 8 一些观察到的或实验得到的变量（如捕食者个数、气候的恶劣性、食物的可获性等等） ，建立 数学模型来描述群体的增减。如果用 pn 表示 n 代后该物种极限数目的百分比，则著名的“罗 杰斯蒂映射”：pn+1=kp（1-pn（k 是依赖于生态条件的常数）可以用于在给定 po，k 条件下， 预报群体数的长期性态。如果将常数 k 处理成可变的参数 k，则当 k 值增大到一定值后， “罗 杰斯蒂映射”所构成的动力系统就进入混沌状态。 最常见的气象模型是巨型动力系统的一个例 子：温度、气压、风向、速度以及降雨量都是这个系统中随时间变化的变量。洛伦兹 （e.n.lorenz）教授于 1963 年大气科学杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，阐述了 在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性 与不可预见性之间的关系。洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候， 偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。洛伦兹打了个比 喻，即我们在文首提到的关于在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气 流， 几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风， 这就是天气的 “蝴蝶效应”。 混沌学的另一个重要特点是，他致力于研究定型的变化，而非日常我们做熟悉的定量。 这是由它的成立的目的解决复杂的，多因素替换成为引起变化的主导因素的系统而决定 的。它的基本观点是积累效应和度，即事物总处在平衡状态下的观点。它是与哲学一样，适 用面最广的科学。 混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的， 万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠， 由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究 价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。 2.2 混沌的定义 在非线性科学中，“混沌”这个词的含义和本意相似但又不完全一致，非线性科学 中的混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。 它的外在表现和纯粹的随机运 动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它 的不可预测性是来源于运动的不稳定性。 或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也 具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。混 沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。混沌现象的一个著 名表述就是蝴蝶效应：南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就会在佛罗里达引起一场飓风。 混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平，这里 是非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一。混沌系统经常是自反 馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，没完没了，任何初始值的微小 差别都会按指数放大，因此导致系统内在地不可长期预测。 混沌确定系统是庞加莱在研究三体问题时第一次发现的。 杭州电子科技大学硕士学位论文 9 2.3 混沌的特性 用于分析和描述混沌的主要特征的常用方法包括 lyapunov 指数、 分岔现象、 功率谱密度、 吸引子、耗散性、平衡点、测度熵、分数维等。而 lyapunov 指数、分岔分析在混沌分析中占 有及其重要的位置。 2.3.1 lyapunov 指数 lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相 邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大 lyapunov 指 数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的 lyapunov 指数,意味着在系统相空间中,无论初 始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测, 这就是混沌现象。 lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对hamilton 系统,lyapunov指数的 和为零; 对耗散系统,lyapunov 指数的和为负。 如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有 的 lyapunov 指数通常是负的。如果是一个简单的 m 维流形（m = 1 或 m = 2 分别为一个曲线 或一个面） ,那么,前 m 个 lyapunov 指数是零,其余的 lyapunov 指数为负。不管系统是不是 耗散的,只要 1 0 就会出现混沌。 微分动力系统 l yapunov 指数的性质 对于一维（单变量） 情形,吸引子只可能是不动点（稳定定态） 。此时 是负的。对于二 维情形, 吸引子或者是不动点或者是极限环。对于不动点,任意方向的 xi , 都要收缩, 故这时 两个 lyapunov 指数都应该是负的, 即对于不动点, （1 ,2 ） = （ - , - ） 。至于极限环, 如果取 xi 始终是垂直于环线的方向,它一定要收缩,此时 10时，转入原始lorenz系统，当10x 时，转入修改后的 lorenz系统。这样，通过简单的键控方式，就使混沌系统具有了更高复杂度。 和离散映射不同的是，连续方程含有微分运算，而微分运算适合于模拟电路中使用运算 放大器来构建，但是因为模拟电路的自身缺陷使得混沌系统在真正的工程应用中举步维艰。 这是因为，混沌加解密系统要求发送系统和接收系统的系统参数以及同一时刻的初始条件都 保持一致，但由于收发端的模拟器件不可能完全相同，这在模拟电路中很难精确的做到11-14； 而且混沌信号具有类似白噪声的特性，在传输过程中易受白噪声以及其他干扰影响，混合在 一块而无法精确的分离出来14。因此，有必要将连续方程离散化，使之适合于数字电路实现。 连续混沌方程的离散化方法将在下文论述。 杭州电子科技大学硕士学位论文 16 2.4.3 离散混沌映射 离散混沌映射的定义表达式15为： 0 (1)( ), ) (0) x nf x n xx += = （2.8） 其中，f（）表示某个非线性的混沌映射运算。是系统参数。 以logistic映射17为例，logistic方程如下： 1 (1), 1,2,3, nnn xxxn + =? （2.9） (0,1) n x , (0,4). 当取值3.5718,4时， 该映射进入混沌态，并表现出复杂的的 动力学特性。在此取4=，令 n x的初值 0 0.3125x=，则 n x的时间序列和吸引子相图如图 2.5所示。 xn 的时间序列 吸引子图像 图 2.5 logistic 映射的时间序列和吸引子图像 由xn的时间序列可以看到，logistic的时间序列具有高度随机性，没有特定规律可言。 为了进一步分析其混沌特性，特考察其分岔行为。分岔行为可以描述为：当的值从3开始 向4不断靠近时，系统进入倍周期，出现分岔现象。并且分岔间隔越来越短，一直在某一处 达到无穷大的周期。也就是说，有一个倍周期分岔序列： 1 2 4 8 16 32.2n. （2.10） 在达到这一点称为点，那么，, 4这个区间内是混沌的。当=3.828427时，出 现了一个稳定的周期为3的轨道，也就是常说的周期3代表混沌。其分岔过程如下图所示： 图 2.6 logistic 分岔图 杭州电子科技大学硕士学位论文 17 另外离散映射还有tent映射，bernoulli移位映射，二维henon映射等。 2.5 本章小结 本章主要介绍了混沌的基本理论知识，包括混沌的定义，混沌的特性，以及混沌的分类 与主要的混沌系统四个方面。其中混沌的特性一节介绍了lypunov指数、分岔现象、高度的 初值敏感性、长时间不可预测性等特性；混沌的分类一节中介绍了连续混沌方程与离散混沌 映射，连续方程中又介绍了lorenz，rosslor，lu超混沌，lorenz切换混沌等系统，在离散映 射中着重介绍了logistic映射。 杭州电子科技大学硕士学位论文 18 第 3 章 新的超混沌系统的设计与电路实现 自lorenz于1963年提出第一个混沌系统模型19以来，混沌作为非线性动力学的一个必 不可少的分支，得到了长足的发展。混沌现象的普遍性，混沌序列的随机性，混沌系统的可 控性以及其他一些特性使得混沌在激光、非线性电路、通信、控制等诸多领域20,21得到了广 泛的研究和应用。目前，人们已经研究设计出了较多三维的混沌系统，但对于保密通信而言， 混沌加密函数样本的增大，非常有必要建立一个庞大的混沌函数集。因为设计实现更多更新 的混沌系统的，可使得信号截获者更难分析通信系统采用的是何种系统，从而提高了通信的 保密性。 近年来，在激光、非线性电路、通信、控制、同步等诸多领域，超混沌系统的应用越来 越成为研究的热点。与混沌相比，超混沌系统具有两个或两个以上的正lyapunov指数，相轨 在更多方向上分离，其动力学行为更为复杂。复杂的超混沌信号可以提高混沌保密通信和混 沌信息加密的安全性。因此，对超混沌的研究将是信息工程领域中混沌应用的一个重要课题。 在诸如混沌通信、信息加密等利用超混沌的工程领域中，超混沌的生成是一个关键技术， 但迄今还没有一种生成超混沌的系统方法。 自chen利用混沌反控制方法成功实现一个新的连 续混沌系统（后称之为chen系统）以来22，人们对混沌和超混沌的生成研究产生了极大兴 趣。 本章将构造一个新的lu超混沌系统， 并把其作为研究对象， 对混沌和超混沌系统的动力 学特性进行了理论和数值分析。最后设计了实现该系统的模拟电子电路，并进行了实验验证， 获得了满意的结果。 3.1 新的超混沌系统的构造 lu三维混沌系统的具体表达如下所示： ()xa yx ycyxz zxybz = = = ? ? ? （3.1） 其中a=36，b=3，c=20，在这些参数下会出现混沌。 为了在lu混沌系统的基础上得到超混沌系统，我们可以在系统（3.1）的基础上，在第 一个方程中增加一个反馈控制项u，于是，可以得到一个自治的四维系统： ()xa yxu yxzcy zxybz uxzdu =+ = + = =+ ? ? ? ? （3.2） 其中a=36，b=3，c=20，d=1，在这些参数下会出现超混沌。 杭州电子科技大学硕士学位论文 19 3.1.1 对称性 该系统具有天然的对称性，即作如下变换后： ()(), , , ,x y z uxy zu 系统保持不变。上述变换可表述为 1000 0100 |, 0010 0001 xpx p = 44 :rrp，它满足()()ff=pxpx。即系统（2.2）关于z轴对称，其轨道在xyu立体 空间上的投影对原点对称，且这种对称性对所有的参数均成立。 3.1.2 平衡点及稳定性 分 析 系 统 （3.2） 的 动 力 学 行 为 ， 经 计 算 该 四 维 自 治 系 统 有 三 个 平 衡 点 0(0,0,0,0) s, 1(2 15,2 15,20,0) s, 2( 2 15, 2 15,20,0) s ， 得到其在 0 s平衡点的jacobian 矩阵 为： 363601 02000 0030 0001 = a 其特征方程为： (36)(20)(3)(1)0+= （3.3） 很明显，解之得特征根分别为：-36.0000，20.0000，-3.0000，1.0000。 分析可见，以上超混沌系统的四个特征根均为实数，且其中两个为正两个为负，则它的 平衡点为不稳定的鞍点。 3.1.3 耗散性 分析系统（3.2） ，其中系统参数a，b，c，d为待定常数。显然，对于该四维自治系统满 足成为超混沌系统的两个必备条件。然而，该系统是否能成为一个超混沌系统，还必须满足 如下两点： （1）系统是耗散的； （2）系统存在着不稳定平衡点。 为了保证系统是耗散的，可以通过观察相空间中一个小体积元的变分，而这个小体积元 v的变分可由流的散度决定，即： () xyzu vabcdp xyzu =+= + = ? （3.4） 若按照此前的参数取值，a=36，b=3，c=20，d=1，p将为负值。此时，方程组（3.2）描 述的是耗散系统，其相同的指数收缩率可以写成： 杭州电子科技大学硕士学位论文 20 18p dv ee dt = （3.5） 因此， 在超混沌系统 （3.2） 中， 对于一个体积元 0 v， 随着时间的变化， 它将以 18 00 ptt v ev e= 的形式紧缩18。这表明，当时间趋于无穷大时，每一个含有若干轨线的体积都将以指数速率 的形式收缩到零。因此动力系统的轨道最终将被限制到一个零体积的子集内，系统的渐进运 动最终决定了吸引子的位置。 3.1.4 吸引子相图 x-y 吸引子 x-z 吸引子 x-u 吸引子 y-z 吸引子 y-u 吸引子 z-u 吸引子 杭州电子科技大学硕士学位论文 21 x-y-z 吸引子 x-y-u 吸引子 x-z-u 吸引子 y-z-u 吸引子 图 3.1 lu 超混沌的十个吸引子图 3.1.5 lyapunov 指数谱和分岔图 根据图3.1所示，当系统参数a=36，b=3，c=20，d=1，时，系统（3.2）的lyapunov指 数为： 1 l=1.0003， 2 l=0.0745， 3 l=0， 4 l=-14.854；并因此计算出该系统的分维数为 1 1 1 | j li i j dj = + =+ = 23.4992 （3.6） 即维数为分数，进一步证明了动力学系统（3.2）的混沌特性。 杭州电子科技大学硕士学位论文 22 图 3.2 系统（3.2）随参数 c 变化的 lyapunov 指数谱 图 3.3 系统（3.3）随参数 c 变化在纵轴方向的分岔情况 系统（3.2）随参数c在纵轴方向的分岔情况如图（3.2）所示，可见lu超混沌系统的分岔图 和指数谱演化是一致的。 杭州电子科技大学硕士学位论文 23 3.2 超混沌系统的电路实现 为了混沌、超混沌系统能在保密通信中得到应用，一个首要的任务就是其系统级的设计 及其在硬件电路上的实现。因此，为了验证上述提出的新超混沌系统和得到该超混沌系统的 序列，设计了一个模拟电路，如图（3.4）所示： 图 3.4 新超混沌系统的电路实现 图 3.4 lu 超混沌硬件实现电路 杭州电子科技大学硕士学位论文 24 其产生的吸引子相图如图（3.5）所示： x-