小学数学“十佳”思维训练题(1-40)

小学数学小学数学“十佳十佳”思维训练题（思维训练题（1 1） 参赛教师姓名参赛教师姓名 王桃芳王桃芳 学校学校 西流河一小西流河一小 1、有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的 2 倍。现在从这堆棋子中每次取出黑子 4 个，白子 3 个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有 16 个。求黑、白棋子各 有多少个？（假设思维）（假设思维） 【分析与解答】假设每次取出的黑子不是 4 个，而是 6 个（6=32），也就是说每次 取出的黑子个数也是白子的 2 倍。由于这堆棋子中黑子个数是白子的 2 倍，所以，待 取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。但是实际上当白子取尽时，（留下）黑子还 有 16 个，这是因为实际每次取黑子是 4 个，和假定每次取黑子 6 个相比，相差（留 下的是）2 个。由此可知，一共取的次数是：162=8（次）。白棋子的个数为： 38=24（个）。黑棋子的个数为 242=48（个）。 2、小华解答数学判断题，答对一题给 4 分，答错一题扣 4 分，她答了 20 道判断题， 结果只得 56 分。小华答对了几题？（假设思维）（假设思维） 【分析与解答】假设小华全部答对：该得 420=80（分），现在实际只得了 56 分，相 差 80-56=24（分），因为答对一题得 4 分，答错一题扣 4 分，这样，一对一错相比， 一题就差 8 分（4+4=8），根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出 做错的题数：248=3（题），一共做 20 题，答错 3 题，答对的应该是：20-3=17（题） 417=68（分）（答对的应得分）43=12（分）（答错的应扣分）68-12=56（分） （实际得分） 3、一个化肥厂计划在 50 天内生产一批化肥，从前 24 天的生产情况看，每天实际生产 的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产 3 天进行整顿。整顿之后， 每天比整顿前多生产化肥 25 吨，结果只用了 49 天（包括停产整顿所用的 3 天时间） 就完成了原计划 50 天的生产任务。已知整顿后比整顿前一共多生产化肥 400 吨，问整 顿前后各生产化肥多少吨？（因果关系）（因果关系） 【分析与解答】我们容易算出整顿后生产的天数是：49-24-3=22（天）。由于整顿后 每天比整顿前多生产化肥 25 吨，所以，一共多生产化肥 2225=550（吨）。可题目中 却说整顿后比整顿前一共多生产化肥 400 吨，这岂不是“自相矛盾”吗？ 究竟“矛盾”出在哪里呢？原来，我们刚才算出的“550 吨”是整顿后 22 天比整顿前 22 天多生产的化肥；而题目中告诉我们的“400 吨”是整顿后 22 天比整顿前 24 天多 生产的化肥。这完全是两码事，所以“550 吨”与“400 吨”并不矛盾。从上面的比较 中，我们看出：“550 吨”与“400 吨”的差 150 吨正好是整顿前 2 天的产量，因此， 整顿前每天生产化肥 1502=75（吨）。从而，7524=1800（吨）就是整顿前产的化 肥；1800+400=2200（吨）就是整顿后产的化肥。 4、红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比计划多生产 80 台，结果 25 天 就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器？（因果关系）（因果关系） 【分析与解答】这道整数应用题，我们无论是从条件想起，还是从问题想起，都不容 易找到解决问题的办法。如果抓住题目中的“25 天完成全月计划”这一条件深入思考： 这个厂为什么用 25 天就完成了全月的生产任务？这最后 5 天的生产任务为什么能提前 完成？问题就能很快地得到解决了。因为实际每天比原计划多生产 80 台，这样生产了 25 天，就比计划 25 天多生产了：8025=2000（台） 就把原来计划在后 5 天的生产任务给提前完成了。换句话说，这 2000 台机器就是原计 划后 5 天的生产任务。那么，原计划每天生产的台数应为 20005=400（台） 原计划十一月份的生产任务应为 40030=12000（台） 5、新光机器厂装配拖拉机，第一天装配 50 台，第二天比第一天多装配 5 台，第三、 第四两天装配台数是第一天的 2 倍多 3 台，平均每天装配多少台？（移多补少）（移多补少） 【分析与解答】按惯例，应该用四天装配的总台数除以 4，综合算式为：50+（50+5） +（502+3）4=52（台）。如果采用移多补少的方法，将会十分简便。假设每天都 装配 50 台，那么四天一共多装配 5+3=8（台），把这 8 台平均分成四份，84=2（台） ，因此，平均每天装配 50+2=52（台），综合算式为：50+（5+3）4=52（台），你看， 这种解法多么巧妙！ 6、有 6 个木工和一个漆工完成了一套家具生产任务。每个木工各得 200 元，漆工的工 资比 7 个工人的平均工资多 30 元。漆工得了多少元钱？（移多补少）（移多补少） 【分析与解答】根据“移多补少”的原则，漆工比平均工资高出的 30 元，分别补给 6 个木工以后，6 个木工的平均工资恰好应该是 7 个人的平均工资：306=5（元）从而， 7 个人的平均工资应是 200+5=205（元）漆工的工资是 205+30=235（元） 7、百货商店运来 300 双球鞋，分别装在 2 个木箱、6 个纸箱里。如果 2 个纸箱同 1 个 木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？（等量代换）（等量代换） 【分析与解答】我们根据“2 个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成纸箱， 也就是说，把 300 双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2 个木箱里的球 鞋刚好装满 4 个纸箱，再加上原来已装好的 6 个纸箱，一共是 10 个纸箱。这样，题目 就变为“把 300 双球鞋平均装在 10 个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋？”可以求 出每个纸箱装多少双球鞋。也就能求出一个木箱装多少双球鞋。300（22+6） =30（双）302=60（双） 8、如图正方形面积是 50 平方厘米。求阴影部分的面积。（等量代换）（等量代换） 【分析与解答】要求阴影部分的面积，必须知道正方形的面积和扇形的面积，然后用 正方形的面积减去扇形的面积求得阴影部分的面积。正方形的面积已知道，扇形的面 积还不知道。要求出扇形面积必须知道扇形的半径，而扇形的半径就是正方形的边长， 从正方形的面积求正方形边长，小学阶段没有学过，怎么办呢？如果把计算扇形面积 的公式“S=r24”认真观察、思考一下，就不难发现这里的 r2 恰好是正方形边长 的平方，就等于正方形的面积 50 平方厘米。所以，计算扇形面积只要用“50”代换算 式中的 r2 就可以了，没有必要再求出半径 r 的长度。因此，这道题可列式解答如下： 50-3.14504=10.75（平方厘米） 9、“ 2357111317”的各位数字之和是多少？（整体思维）（整体思维） 【分析与解答】 解这道题的一般思路是先算出这个连乘式的结果，再把它各位上的数 字相加。但这是一道“华杯”赛决赛的一道口试题，要求在 1 分钟内报出答案。在口 试中，规定时间内答不出题是不能得分的。怎么办呢？ 办法是有的。只要把算式中的每个数都仔细观察一番，抓住这些数字特点，可以 绕开“把 7 个数连乘”这段弯路。 你看，式中有 2，又有 5， 25=10，10 与其它 5 个数的积相乘，只要在末尾添 个 0，不影响各位上的数字和。 再看看，式中有 7，11，13。你如果记得：71113=1001，而 1001 与位数比它 少的自然数相乘，积的各位上除 0 以外，就是这个数重复一遍，如 511001=51051。 题中 7 个数除 2，5，7，11，13 外，还有 317=51。所以，本题的答案为（51） 2=12。 10、有甲、乙、丙三种货物。如果买甲 3 件，乙 7 件，丙 1 件，共花去 3.15 元；如 果买甲 4 件，乙 10 件，丙 1 件，共花去 4.20 元。现在买甲、乙、丙各 1 件，需要花 多少钱？（整体思维）（整体思维） 【分析与解答】数学家在分析这个问题时，同一般人不一样。在数学家眼中， “X1+X2+X3”可以看成一个整体，“求 X1X2X3 =？”与“分别求 X1=？，X2=？，X3=？”是两回事。如果用题中的条件直接能求出 X1X2X3 这个 “和”，那么，把 X1、X2、X3 分别求出来再相加，就是“绕弯路”、“自讨苦吃”了。 由已知条件可得： 买甲 3 件，乙 7 件，丙 1 件，花 3.15 元 买甲 4 件，乙 10 件，丙 1 件，花 4.20 元 要想求出买甲 1 件，乙 1 件，丙 l 件，共需花多少钱，必须使上述与中对应 的“件数”相差 1。为此，可转化已知条件： 将条件中的每个量都扩大 3 倍，得： 买甲 9 件，乙 21 件，丙 3 件，花 9.45 元 将条件中的每个量都扩大 2 倍，得： 买甲 8 件，乙 20 件，丙 2 件，花 8.40 元 所以，买甲、乙、丙各一件，共需要花的钱数为 9.45-8.40=1.05（元） 小学数学小学数学“十佳十佳”思维训练题（思维训练题（2 2） 参赛教师姓名：杨宏伟 学校：实验小学 网研成员编号：100 1. 在里填上不同的质数，使等式成立。 【分析与解答】 如果两个质数的和（或差）是奇数，那么必须是奇数与偶数的和（或 差），而偶质数只有 2，则填写重复。所以这个和只能是偶数。一个因数是 2.可以列 出 100 以内的质数来选择列举。 3+7=25=23-13 3+11=27=37-23 3+7=25=71-61 3+19=211=29-7 2. 甲乙两种奥运会纪念品的单价相差 0.6 元，用 36 元钱买乙种纪念品比买甲种纪念 品刚好可以多买 2 个，则甲的单价是多少元，乙的单价是多少元？ 【分析与解答】 以角做单位，则 360=甲的单价甲的数量=（甲的单价-6）（甲的数量+2）。 360=1360=2180=1036=1230=1524=1820 观察知道，甲的单价是 36 角，即 3.6 元，乙的单价是 3 元。 3. 一个长方体的玻璃缸，长 8 分米，宽 6 分米,高 4 分米，水深 2.8 分米,如果投入一 块棱长为 4 分米的正方体铁块,缸里的水溢出多少升? 【分析与解答】 铁块的体积 444=64(立方分米) 水的体积 862.8=134.4 (立方分米) 玻璃缸的容积 864=192 (立方分米) 注意到铁块的高度与玻璃缸的高度相同,而水的体积与铁块的体积的和比玻璃缸 的容积大,则溢出水的体积是 64+134.4-192=6.4 (立方分米)=6.4(升) 4. 一个棱长 10 厘米的正方体的玻璃缸,水深 3 厘米,如果投入一块棱长 6 厘米的正方 体铁块,缸里的水上升了多少厘米? 【分析与解答】正方体没有淹没于水中,所以不能用正方体的体积底面积.根据水的 体积不变,而水的底面积由 1010=100(平方厘米)变成了(1010-66)平方厘米了,由 此可以求出水的高度. 10103(1010-66)=4.6875 (厘米) 上升 4.6875-3=1.6875 (厘米) 5. 一个棱长 10 厘米的正方体的玻璃缸,水深 4 厘米,如果投入一块棱长 6 厘米的正方 体铁块,缸里的水上升了多少厘米? 【分析与解答】开始好像正方体没有没于水中,如上计算水深是 10104(1010-66)=6.25 (厘米) 大于 6 厘米说明水已经淹没了铁块,计算上升的高度直接用铁块的体积玻璃缸的底 面积. 666(1010)=2.16(厘米) 另解:当知道铁块没于水中后,由水的体积也可求高度.铁块高 6 厘米,铁块周围的水是 以底面积是(1010-66)平方厘米来计算的,高于铁块的部分的水的底面积是 1010=100 平方厘米. 10104-(1010-66)6(1010)+6-4=2.16(厘米) 6.把数字 1 至 9 填入算式中，使等式成立。 /=/=/ 【分析与解答】 2/4=3/6=79/158 (填法很多) 7.把数字 1 至 9 填入算式中，使算式成立。 = 【分析与解答】17384=6952 或 19634=7852 8.在射箭比赛中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过 10 的自然 数，甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总 环数比乙少 4 环。求甲、乙的总环数。 【分析与解答】因为每箭射中的环数都是 1764 的因数，而 1764=223377，并且环数是不超过 10 的自然数。 所以必有两箭是 7 环。其它 3 箭是 2233 的因数，有 5 种可能： 7，7，1，4，9 和为 28； 7，7，2，3，6 和为 25； 7，7，1，6，6 和为 27； 7，7，3，3，4 和为 24； 7，7，2，2，9 和为 27 因为甲的总环数比乙少 4，所以甲的总环数是 24，乙的总环数是 28. 9.在算式 1997=9 的两个方框中填入适当的数，可以组成正确的算式，这样的 算式共有多少个？ 【分析与解答】 1997-9=1988 是除数的倍数，而除数大于余数 9，也就是求 1988 的大 于 9 的因数有多少个。列举得到 ：答案是 8 个 10.龟兔进行 10000 米赛跑，兔子的速度是乌龟的 5 倍,当它们从起点出发后,乌龟不停 地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉,兔子醒来时,乌龟已经领先它 5000 米,兔子奋起直追,当 乌龟到达终点时,兔子仍落后 100 米,那么兔子睡觉期间乌龟跑了多少米? 【分析与解答】 10000-(10000-100)5=8020 (米) （本训练题适用五年级学生） 小学数学小学数学“十佳十佳”思维训练题（思维训练题（3 3） 参赛教师姓名参赛教师姓名肖永刚肖永刚 学校学校西流河一小西流河一小 网研成员编号网研成员编号 414414 1、分数 3/71 的分子和分母同时加上一个相同的数，使分数变成 1/5。问：这个加上的 数是多少？（类比转化法）（类比转化法） 【分析与解答】本题的要求是要我们求分子和分母同加上什么数，使分数的分母是 分子的 5 倍。因为分子和分母不管加上什么数，它们的差 713=68 是不变的，所以， 根据这一特点，我们一定会想起本题和年龄问题相类似。例如，儿子今年 6 岁，父亲 33 岁，问几年以后父亲的年龄正好是儿子的 4 倍？父亲与儿子的年龄差是 27 岁，这个 差是不变的。几年后父亲的年龄是儿子的 4 倍，27 岁相当于几年后儿子年龄的（4 1=）3 倍。用除法就可以求出：（336）（41）=9 岁，96=3 年，也就是 3 年后 父亲的年龄是儿子的 4 倍。 同理，本题中分母与分子的差 68 相当于新分子的（51=）4 倍，用除法可求出新 分子，进而再求出分子和分母同加上的是什么数。（713）（51）3=14，即分 子与分母同时加上 14，可以使分数变成 1/5。 2、某商品 76 件，出售给 33 位顾客，每位最多买 3 件，买 1 件按定价，买 2 件降价 10%， 买 3 件降价 20%。最后结算，平均每件恰好按原价的 85%出售，那么买 3 件的顾客 有多少人？（类比转化法）（类比转化法） 【分析与解答】题目已给出平均数 85%，可以作为比较的基准。1 人买 3 件少 5%3；1 人买 2 件多 5%2；1 人买 1 件多 15%1。1 人买 3 件与 1 人买 1 件组成 A 组， 即按 1：1 的比例；2 人买 3 件与 3 人买 2 件组成 B 组，即按 2；3 的比例。A 组是 2 人 买 4 件，每人平均买 2 件；B 组是 5 人买 12 件，每人平均买 2.4 件。 现在已经建立了一个鸡兔同笼模型的问题：总脚数 76，总只数 33，兔脚数 2.4， 鸡脚数 2。B 组人数是（76233）（2.42）=25 人，其中买 3 件的有 25（2+3）2=10 人，买 2 件的有 25（2+3）3=15 人；A 组人数是 3325=8 人， 其中买 3 件的有 4 人，买 1 件的有 4 人。也就是说买 3 件的一共有 10+4=14 人。 3、两人轮流从 1，2，3，9 这 9 个数字中取数。每次取 1 个，谁先取的数中有 3 个数的和为 15 就算赢家。如果第 1 个人取的数是 5，那么第 2 个人应该取几才能 使自己立于不败之地？（类比转化法）（类比转化法） 【分析与解答】这个问题实际上是“井字棋”游戏，乙的对策如果不对，会导致失 败。本题条件中的“和为 15”，使我们联想到“三阶幻方”，它的每行、每列及对角 线的和都是 15。故本题等价于甲乙二人轮流将黑白二色棋子放入九宫格中，哪一方放 入的棋子先成一行（横行、竖行和斜行）者为胜。甲先占了中间一格，乙应选哪一格 才能保证自己不败？ 假设乙选择边上的位置，比如选 3，则甲选 4，乙只好选 6。甲再选 2，这时 8、9 这两个位置乙只能选一个，甲必得其一，这样甲就必胜无疑了。 当甲选 5 时，乙应选九宫格中位角上的数字，即应选 2、4、6、8 中的一个，才能 使自己立于不败之地。 4、21 个球队用淘汰制决定冠军，总共要赛多少场？（逆推法）（逆推法） 【分析与解答】淘汰制就是每两个队比赛一场淘汰一个队，依此类推，赛到最后一 对，胜利者就是冠军。解答此题的一般是顺推法，比较复杂，如果用逆推法就简单、 巧妙得多。 因为淘汰一个队要赛 1 场，总共是 21 个队，而获得冠军的只有 1 个队，也就是说 要淘汰 20 个队，总共要赛 20 场。 5、一份试卷共 25 道题。每一道题给出 4 个答案，其中只有一个正确。要求考生把正 确的选出来，每选对一题得 4 分，不选或错选扣 1 分。如果一个学生得 90 分，那 么他做对了几道题？（逆推法）（逆推法） 【分析与解答】此题按正向思维的方法解，很难，要不就用假设法。如果用逆推法 就简单、巧妙得多。因为选错或不选扣 1 分，与做对相比，损失 5 分，得 90 分的人被 扣了 10 分，这就是选错或不选的有 2 道题，所以选对了 23 题。 6、一年级和六年级共 100 人摘了 100 千克茶叶，六年级每人摘 3 千克，一年级每 3 人 摘 1 千克，问一年级和六年级各有多少人？（分组法）（分组法） 【分析与解答】学生一般用假设法来解答这类题。如果用分组法解答此题就更简单、 更容易理解。 因为六年级 1 人摘 3 千克，一年级 3 人摘 1 千克，所以把六年级的 1 人和一年级的 3 人分为一组，这 4 人可以摘茶叶 4 千克，100 千克里有几个 4 千克，就有几组学生， 有几组就有几名六年级的学生。100（3+1）=25 人，10025=75 人。 7、甲乙二人做换棋子游戏，甲有 100 个棋子，乙有 20 个棋子。如果甲每次给乙 5 个 棋子，乙再还给甲 3 个棋子，那么按照这样的方法连续调换多少次，乙的棋子是甲 的 3 倍？（抓不变量）（抓不变量） 【分析与解答】此题如果我们按照甲的棋子每次减少（53）个，乙的棋子每次增 加（53）个，一步一步地推算，解答起来就很麻烦。如果能抓住“和不变”进行思 考，问题就简单了。当“乙的棋子是甲的 3 倍”时，则两人共有的棋子（100+20）个 就相当于甲这时所有棋子的（3+1）倍。（100+20）（3+1）=30 个，（10030） （53）=35 次。 8、龟兔进行 10000 米赛跑，兔子的速度是龟的速度的 5 倍，当它们从起点一起出发后， 龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时，龟已经领先它 5000 米。 兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后 100 米，那么兔子睡觉期间龟跑了多 少米？（灵感思维）（灵感思维） 【分析与解答 1】假定兔子不睡觉（这是巧妙之处），当龟跑完全程 10000 米时，兔 子应跑 100005=50000 米，但实际上只跑了 10000100=9900 米，少跑了 50000 9900=40100 米，这 40100 米正是兔子睡觉所耽误的路程。因此在兔子睡觉期间龟跑了 401005=8020 米。 【分析与解答 2】假定兔子一次性跑到离终点 100 米处在睡觉（这是巧妙之处），此 时兔子跑了 10000100=9900 米，龟跑了 99005=1980 米，剩下 100001980=8020 米，这正是在兔子睡觉期间龟跑的路程。我们不难发现，题目中的条件“5000 米”是 多余的。 9、把 14 拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可使乘积最大？（极端（极端 思维）思维） 【分析与解答】十分明显，这样的数是很多的，我们不可能也没有必要一一找，如 果用极端思维，情况就变得十分简单了。首先把 14 这个数推向最大的一端，拆的个数 要尽可能多，多一个可多乘一次，接着把加数推向最小一端：加数不宜超过 4，比如 5 拆成 2 和 3，则 235，这就说明加数大于 4 的，要尽量拆小；但不应出现 1，因为 1 与任何数的乘积仍为原数；另外在所拆的数中，2 的个数不能多于 2，因为 22233。 这样 14 应尽可能拆成 3，因为 43=12，所以 14 拆成了 3、3、3、3、2 时，这些 数的乘积最大，其乘积为 33332=162。 10、有一天，某商店估计将进货单价为 90 元的某商品按 100 元售出后，能卖出 500 个。 已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为了使这一天能赚得更多利润， 售价应定为每个多少元？（极端思维）（极端思维） 【分析与解答】这道题目的数量关系比较复杂，而题目所给的条件不够充分，若用 一般的方法去分析解答，看来比较困难。我们不妨抓住题目中的“涨价”和“销量减 少”这两个极端，问题就容易解答了。 因为按每个 100 元出售，能卖出 500 个，每个涨价 1 元，其销量减少 10 个，所以， 这种商品是按单价 90 元进货，共进了 600 个。现把 600 个商品按每份 10 个，可分成 60 份，因每个涨价 1 元，销售就减少 1 份（即 10 个）；相反，每个减少 1 元，销售就 增加 1 份。所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为 60），根据等周长 长方形面积最大原理可知，当把 60 分为两个 30 时，即每个涨价 30 元，卖出 30 份， 此时有最大利润。因此，每个售价定为 90+30=120 元时，这一天能获得最大利润。 小学数学“十佳”思维训练题（4） 参赛教师参赛教师 李芬李芬 学校学校 西流河一小西流河一小 1 1、 1、猜猜是几？ 一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的 1.5 倍，正着看是倒过来看的 2/3,这 个三位数是几? 【分析与解答】这个三位数是 666。其实，只要你稍加思索，就可以想出来了。这 道题如果要求找一个一位数，那就是 6；找一个两位数，则是 66；找一个四位数， 则是 6666，依此类推。 2、一筐苹果 入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果 2 个、2 个地数，余 1 个； 3 个、3 个地数，余 2 个；4 个、4 个地数，余 3 个；5 个、5 个地数，余 4 个；6 个、 6 个地数，余 5 个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？ 【分析与解答】根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加 1，就恰好是 2、3、4、5、6 的公倍数。而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个数应该 是 2、3、4、5、6 的最小公倍数减去 1。2，3，4，5，6=60 60-1=59 即这筐 苹果至少有 59 个。 3、有这样的数吗？ 小明异想天开地提出：“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们的差相等。 ”他的话音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑，大家都觉得这是不可能的。但是， 世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法，后来竟被同学们讨论证实了。 你能找到这样的两个数吗？告诉你，这样的数还不止一对呢！ 【分析与解答】下面举出几个两数的积等于两数的差的实例： 同学们，你可再试着找一些。 4、关键在于观察关键在于观察 你在数学课上学了不少几何图形的知识，掌握了不少平面图形的求面积公式。但是有 许多组合面积的计算，单靠这些知识是远远不够的，它更需要对组合图形的观察能力。 下面就是一道考查你的观察能力的题目。试试看，你能很快做出来吗？ 已知图内各圆相切，小圆半径为 1，求阴影部分的面积。 【分析与解答分析与解答】把半圆展开成整圆。可看出除小半圆外的阴影面积是大圆减掉 6 个小 圆后的 1/6，再加上小半圆面积即可。 5、扩大鱼池扩大鱼池 养鱼专业户张强，去年承包了一个叫“金三角”的鱼池（如下图），喜获丰收。为了 进一步增产，决定把鱼池扩大。但有这样的要求：扩大后的鱼池必须仍是三角形， 保持“金三角”鱼池的称号；扩大后的鱼池面积是原面积的 4 倍；原鱼池的三个 角上栽的 3 棵大柳树不能移动。你能替张强设计一个施工草图吗？ 【分析与解答分析与解答】金三角”一定是一个很特殊的三角形。扩大后的面积是原面积的 4 倍， 则还差三个“金三角”，拿三个“金三角”去原“金三角”拼摆，即可做到柳树不会 移动，而且面积扩大 4 倍，而且形状还是“金三角”。自然就能发现这个“金三角” 肯定就是“等边三角形”。 6、五个少年五个少年 五个少年，依次相差一岁，在 1994 年共同发奋学习，到公元 2018 年时，他们都在科 学上做出了很大贡献。那时他们的年龄也增长了，他们五人在公元 2018 年的年龄之和 正好是 1994 年的年龄之和的 3 倍。问在 1994 年时他们的年龄各是多少？ 【分析与解答分析与解答】设年龄为中间数的一个少年在 1994 年是 x 岁，则其余四人的年龄 分别为 x-2 岁、x-1 岁、x1 岁、x2 岁。 在 1994 年五人年龄之和为（x-2）（x-1）x（x1）（x2）=5x 2018 年五人年龄之和为 5x245=5（x24） 因为这五个少年 2018 年的年龄之和是 1994 年年龄之和的 3 倍，所以 5（x24）=35x，解得 x=12 因此，这五个少年的年龄分别为 10 岁、11 岁、12 岁、13 岁和 14 岁。 7、一本书的页数、一本书的页数 我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如 15，就要用 2 个 铅字；158，就要用 3 个铅字。现在知道有一本书在排版时，光是排出所有的页数就用 了 6869 个铅字，你知道这本书共有多少页吗？（封面、封底、扉页不算在内） 【分析与解答分析与解答】仔细分析一下，页数可分为一位数、两位数、三位数、。一位数 有 9 个，使用 19=9 个铅字；两位数有（99-9）个，使用 290=180 个铅字；三位数 有（999-90-9）个，使用 3900=2700 个铅字；依此类推。 我们再判断一下这本书的页数用到了几位数。因为从 1 到 999 共需用 9290+3900=2889 个铅字，从 1 到 9999 共需用 9290390049000=38889 个铅字，而 2889686938889，所以这本书的页 数用到四位数。 排满三位数的页数共用了 2889 个铅字，排四位数使用的铅字应有 6869-2889=3980（个） ，那么四位数的页数共有 39804=995（页）。因此这本书共有 999+995=1994（页）。 8、画一画画一画 下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画） 【分析与解答分析与解答】一笔画需要解决两个关键问题。一个是这幅图能不能一笔画？另一个 是，若能一笔画，应该怎样画？对于这两个问题，数学家欧拉在 1736 年研究了“哥尼 斯堡七桥”的问题后，做了相当出色的回答。他指出，如果一幅图是由点和线连接组 成，那么与奇数条线相连的点叫“奇点”；与偶数条线相连的点叫“偶点”。 例如，在图 17 中，B 为奇点，A 和 C 为偶点。 如果一幅图的奇点的个数是 0 或是 2，这幅图可以一笔画，否则不能一笔画。这是对第 一个问题的回答。欧拉又告诉我们，如果一幅图中的点全是偶点，那么，你可以从任 意一个点开始画，最后还回到这一点；如果图中只有两个奇点，那么必须从一个奇点 开始画，并结束于另一个奇点。 本题的 4 幅图，其中图（1）、（4）各有两个奇点，图（2）、（3）的奇点个数为 0。 因此这 4 幅图都可一笔画。画法请参看图 9、越减越多越减越多 同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去 1 个角，还剩几个角？”这 种题的最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多 少。 以下 3 幅示意图，表明了 3 种不同情况的 3 种不同答案。其中第 3 种情况最有趣，长 方形原有 4 个角，切去了 1 个角，反而多了 1 个角，出现了越减越多的情况。下面一 道题的思考方法与上题类似，看你能否正确回答。 “一个正方体，锯掉一个角，还剩几个角？”请注意，这里的“角”是立体的“角”， 它不同于平面上的角。 【分析与解答分析与解答】锯掉角的情况有 4 种，因此剩角的答案也有 4 种（如 14 图所示）。 10、河边洗碗河边洗碗 有一名妇女在河边洗刷一大摞碗，一个过路人问她：“怎么刷这么多碗？”她回答： “家里来客人了。”过路人又问：“家里来了多少客人？”妇女笑着答道：“2 个人给 一碗饭，3 个人给一碗鸡蛋羹，4 个人给一碗肉，一共要用 65 只碗，你算算我们家来 了多少客人。” 【分析与解答分析与解答】题目给出了碗的总数，以及客人和碗的关系。如果能求出每人占用多 少只碗，那么就可以求出客人的数目了。 小学数学小学数学“十佳十佳”思维训练题（思维训练题（5 5） 参赛教师姓名 钱广忠 学校 沔城回民小学 1、计算：（1+ + + ）（ + + + ）（1+ + + + ）（ + + ） 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 1 3 1 4 分析与解答：注意到这几个分数多次出现，我们把第一个括号里的（ + + ）看 1 2 1 3 1 4 成是一个数 a, 把第二个括号里的（ + + + ）看成是一个数 b,那么第三个括号里是 1 2 1 3 1 4 1 5 （1+b）, 第四个括号里就是 a. 解：设 + + =a + + + =b 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 5 原式=(1+a)b(1+b)a =b a= 1 5 2、下边是一个残缺的乘法竖式，那么乘积是多少？ a b c d 2 2 e 2 2 分析与解答：如右式。显然，e=9,d2。如果 d=1,则 a=b=2,此时 e 不可能等于 9，矛盾，所以 d=2,a=b=1。因为 e=9,所以 c=9,得到 1192=1012 3、小王、小张、小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士。现在知道小李 比战士年龄大，小王和农民不同岁，农民比小张年龄小。那么谁是工人？谁是农民？ 谁是战士？ 分析与解答： 小王小张小李 工人 农民 战士 由“小李比战士年龄大” ，说明小李不是战士，在小李的战士格子上打；由“农 民比小张年龄小” ，说明小张不是农民，在小张的农民格子上打；又由“小王和农民 不同岁” ，说明小王不是农民，在小王的农民格子上打。观察知道小李是农民，在小 李的农民格子上打。他们的年龄从大到小的顺序是小张农民=小李战士，因此， 小王是战士，小张是工人，小李是农民。 4，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点 作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来得下图。那么图中阴影部分的总面积等于 多少平方厘米？（注 取 3.14） 分析与解答：如右图，原题阴影部分相当于该图的阴影部分的一半。小圆半径为 102=5（厘米） ，大圆半径的平方是（52+52） ，因此，所求阴影部分的总面积为 （52+52）522=39.25（平方厘米） 5、在中国古代算书张丘建算经中有一道题：已知小鸡一元钱三只，母鸡三元钱一 只，公鸡五元钱一只。现在用一百元钱买一百只鸡。问：这一百只鸡中，小鸡、母鸡、 公鸡各多少只？（每种鸡都须买） 分析与解答：解：设买小鸡 x 只，母鸡 y 只，公鸡 z 只。 X+y+z=100 (1) x+3y+5z=100 (2) 1 3 (2)3(1)得 8y+14z=200 4y+7z=100 Y=25 z 7 4 当 z=4 时，y=18,x=78; 当 z=8 时，y=11,x=81; 当 z=12 时，y=4,x=84; 答：买小鸡、母鸡、公鸡 78 只、18 只、4 只；或 81 只、11 只、8 只；或 84 只、 4 只、12 只。 6、兄弟四人一起去买一台电视机。老大带的钱是另外三个人所带钱总数的一半， 老二带的钱是另外三个人所带钱总数的 ，老三带的钱是另外三个人所带钱总数的 ， 1 3 1 4 老四带了 910 元。那么这台电视机需要多少元？ 分析与解答：先统一单位“1” ，再列式计算。例如根据“老大带的钱是另外三 个人所带钱总数的一半” ，把另外三个人所带钱总数看着单位“1” ，则老大带的钱是四 个人所带钱总数的 （1+ ）= ， 910（1 ）=4200（元） 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 5 7,某工程队先由甲单独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成。如果由甲乙两人 合作，需 48 天完成。现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，那么还需要做 多少天？ 分析与解答：思路一：由题目条件可知，甲做 15 天的工作量相当于乙做 20 天 的工作量，也就是甲的工效是乙的工效的 倍。由此可推出甲的工效为 ，乙的工效为 4 3 4 7 。这样，甲单独完成工程需 48 =84（天） ，乙单独完成工程需 48 =112（天） 。现 3 7 4 7 3 7 甲做了 42 天，完成了全工程的 ，剩下的 由乙完成，那么乙需 =56（天） 。 1 2 1 2 1 2 1 112 思路二：把“先由甲单独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成”转化为“先由 甲单独做 63-28=35 天，再由甲乙合做 28 天即可完成” 。 由此可推出甲的工效为（1- 28）（63-28）=，乙的工效为-=。现在甲先单独做 42 天，然后再由 1 48 1 84 1 48 1 84 1 112 乙来单独完成，那么还需要做的天数是（1-42）=56（天） 。 1 84 1 112 8，牧场上牧草匀速生长。27 头牛 6 天吃完；23 头牛 9 天吃完。如果一群牛 12 天吃完 这片牧草，这群牛有几头？ 分析与解答：解：设每头牛每天吃草量为 1。 每天生长的草量：（239276）（96）15 原有草量： 27615672 这群牛的头数：（72+1512）12=21（头） 9、苏步青教授是我国著名的数学家，他小时侯，一次在电车上，碰到了一位有名 的外国数学家，这位外国数学家出了一道题目让他做。题目是：甲乙两人同时从两地 出发，相向而行，距离是 100 千米。甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米，甲带着 一只狗，狗每小时跑 10 千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时侯，它又掉头朝甲这 边跑，碰到甲的时候又往乙那边跑，直到两人相遇。问这只狗一共跑了多少千米？ 分析与解答不难发现，不论狗在甲乙两人间跑了多少个来回，狗走的路程所用 的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间。所以，甲、乙两人相遇所用的时间是 100（6+4）=10（小时） ，狗一共跑的路程是 1010=100（千米） 10，俄罗斯作家托尔斯泰曾提出过一道十分有趣的数学题：有一组割草人要完成大 小两块草地的割草任务。已知大块面积是小块的两倍。上午全组人集中在大块草地， 下午一半人留在大草地，另一半人转入小草地割草，傍晚收工时，大草地全部割完， 小草地剩下的任务刚好第二天由一个人用一天的时间完成。请问这割草组总人数是多 少？ 分析与解答：解：设这割草组有 x 人。 从整体上看，大小两块草地需要（x+1）人割一天。已知大块的面积是小块的两 倍，那么小块草地需要 （x+1）人割一天。由题意知小块草地需要 x 人割 天后，剩 1 3 1 2 1 2 下的任务刚好第二天由一个人用一天的时间完成，即小块草地需要（ x+1）人割一天。 1 4 列方程得 （x+1）= x+1 解之得 x=8 1 3 1 4 答：这割草组有 8 人。 小学数学“十佳”思维训练题（6） 参赛教师姓名 曾娟 学校 郑场中心小学 网研成员编号 409 1.小华的爸爸 1 分钟可以剪好 5 只自己的指甲。他在 5 分钟内可以剪好几只自己的 指甲。 （分析与解答）：20 只，包括手指甲和脚指甲。 2、8+1=6，这张卡片写对了，你知道是为什么吗？ （分析与解答）：因为把卡片放倒了，9=1+8； 3、小军说：“我昨天去钓鱼，钓了一条无尾鱼，两条无头的鱼，三条半截的鱼。 你猜我一共钓了几条鱼？”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼？ （分析与解答）：0 条，因为他钓的鱼是不存在的； 4、在广阔的草地上，有一头牛在吃草。这头牛一年才吃了草地上一半的草。问， 它要把草地上的草全部吃光，需要几年？ （分析与解答）：它永远不会把草吃光，因为草会不断生长； 5、人带猫、鸡、米过河，船除需要人划外，至少能载猫、鸡、米三者之一，而 当人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，并使渡船次数尽量减 少。 （分析与答案）:： （1）带鸡过去 空手回来 （2）带猫过去 带鸡回来 （3）带米过去 空手回来 （4） 带鸡过去 6、打一数学名家：老爷爷参加赛跑 （分析与解答）：祖冲之 7、猜数学名词： （1）全部消灭（2）再见吧！妈妈。 （分析与解答）： （1）除尽（2）分母 8、“牛顿问题”：“有一牧场，已知养牛 27 头，6 天把草吃尽；养牛 23 头，9 天把草吃尽。如果养牛 21 头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不 断生长的。” （分析与解答）：假设牛每天吃一份草 27 头 6 天吃 162 份草 23 头 9 天吃 207 份草 9-6=3 天内草多长了 207-162=45 份 草的长速为平均每天 45/3 = 15 份 9 天内草长了 159 = 135 份 所以原来的草场为 207 - 135 = 72 份草 如果有 21 头牛, 每天吃 21 份草, 而草场每天就长 15 份草, 所以牛每天吃掉多长 出来的草 15 份和原草场的 6 份草. 原草场的 72 份草需要 72/6=12 天吃光 9、有只猴子在树林采了 100 根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆 50 米，猴子打算 把香蕉背会家， 每次最多能背 50 根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴 子最多能背回家几根香蕉？ （分析与解答）：先背 50 根到 25 米处，这时，吃了 25 根，还有 25 根，放下。 回头再背剩下的 50 根，走到 25 米处时，又吃了 25 根，还有 25 根。再拿起地上的 25 根，一共 50 根，继续往家走，一共 25 米，要吃 25 根，还剩 25 根到家。 10、50 名学生做物理.化学两种实验.已知物理实验做得正确的有 40 人,化学实验做 正确的有 31 人,两种实验都做错的有 4 人,问这两种实验都做对的有几人? （分析与解答）：设都做对的有 x 人，则只做对化学的有(31-x)人，只做对物理的 有(40-x)人。列等式如下 ：50=4+(40-x)+(31-x)+x ， x=25 ，所以两种都对的有 25 人。 小学数学小学数学“十佳十佳”思维训练题思维训练题(7) 参赛教师姓名：何志红 学校：西流河一小 网研成员编号：514 1、有一列数 1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、4、5、4、3、， 这列数中，第 2000 个数是多少？这 2000 个数的和是多少？ 分析与解答我们通过观察可以了现此题的排列规律是：如果我们从第一个数开 始，以每 5 个数为一段，那么各段的第一个和第五个数依次分别为 1、2、3、4、5、。每段中的 5 个数的各依次分别为 9、14、19、24、2004，排成一个公差为 5 的等差数列。观察每相邻两段的五个数 便可发现，后面的五个数分别比前面的五个数多 1，一共增加 5。解；因为 2000*5=400 所以第 2000 个数是 400。这 2000 个数的总和是：（9+2004）乘以 400 除以某 2=402600 2、某钟面的指针在 2 点整，再过多少分钏时针和分针第二次重合？ 分析与解答这个问题实际上就是行程中的追及问题。当用时针一小时转动的一 格作为路程的单位时，分针的速度为每分钟 1/5 格，时针的速度为每分钏 1/60 格，即 时针速度是分针速度的 1/12，然后运用追及问题的有关知识来解答。解：因为钏面上 的指针指在 2 点整，则此时时针与分针起始的位置相距 2 个格，当首次重合时分针比 时针多走 2 格，所以第二次重合时，分针应比时针多走一圈，即分针比时针共多走 14 格，则丙针第二次重合的时间为；14 除以（1/5-1/60）=76+4/11 分。 3、某数被 5 除余 2，被 6 除少 2，被 7 除少 3。这个数最小是多少/ 分析与解答将题目加以转化，被 6 除少 2，即被 6 除余 4，被 7 除少 3 即被 7 除 余 4。先求出符合两个条件的最小数 6 乘 7 加 4 等于 46。再在 46 的基础上逐一加上 6 和 7 的最小公倍数 42 总能满足两个条件，直至符合第一个条件为止。解：6 乘 7 加 4 等于 46 46+42=88（被 5 除余 3 舍去）46 加 42 乘 2 等于 130（被 5 除无余数， 舍去）46 加 42 乘 3 等于 172（被 5 除余 2，符合条件）。 4、某商店从外地购进 360 个玻璃制品，运输时抽坏了 40 个，剩下的按进价的 117%售出，商店可仍可盈利百分之几? 分析与解答求盈利百分之几，也就是求得利润占成本的百分数，即