《欧式空间》word版.doc

2005年研究生入学考试题欧氏空间20050027： 给定n维实线性空间V的基，设在该基下的坐标分别为，定义实数证明：（a）实数构成V的内积； （b）在该内积意义下是V的标准正交基。200500210： 证明： （a） 若A为实反对称矩阵，则是正交矩阵； （b）若Q为正交矩阵且E+Q可逆，则存在实反对称矩阵A使得。20050032： 在欧氏空间中，已知向量组I：线性无关，向量组 : （1）求向量组的秩; （2）试问I组能否由组线性表示？组能否由I组线性表示？请阐述理由。（3）求由向量组所生成的线性子空间的一个标准正交基。20050034： 在欧氏空间中,为一已知单位向量,线性变换定义为, （1）证明是的一个正交变换; （2）求关于的基的矩阵A20050052： 已知向量组，试求向量，使构成维向量空间的一个标准正交基20050058： 证明：n阶矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是；且当时，的每个元素等于它的代数余子式；当时，的每个元素等于它的代数余子式的相反数2005006： 阶整系数的行列式等于的正交矩阵共有个2005006： 设A是行列式等于的正交变换，则一定是A的特征值200500612： 由标准欧几里得空间中的向量组，张成的子空间W的一组规范正交基为 .20050061： 设是n维欧几里得空间，W是V的子空间，则（）（）（）（）20050087： 证明:任一n阶实可逆矩阵A可以分解成一个正交阵Q与一个正定阵S之积,即A=QS.2005-00810： 证明:不存在n阶正交阵A,B,使得.2005-0095： 已知实二次型通过正交线性替换化成标准形,求参数的值及所用的正交线性替换.2005-0097： 设V为n维欧氏空间,为V中线性无关的固定向量.证明:（I）W=为V的一个子空间.（II）dim W=n-3.2005-0099： 在实数域R上线性空间上(其中为R上所有n阶方阵之集)定义一个二元函数,（I）验证上述定义是内积,从而构成欧氏空间.（II）设定义的一个线性变换:证明:是欧氏空间的正交变换的充分必要条件是A为正交矩阵.(表示矩阵A的迹,表示矩阵A的转置)2005-0111(9)： 正交矩阵的实特征值为_2005-0117： 设V是一个n维线性空间,是V的一个标准正交基,A是V的一个线性变换,是A关于这个基的矩阵,证明 (其中表示内积).20050145（1）： 设实数域上阶矩阵的元为。在实数域上维线性空间 中，对于。试问：是不是上的一个内积，写出一个理由。20050151（1）： 欧氏空间的度量矩阵一定是- （A）正交矩阵； （B）正定矩阵； （C）上三角矩阵； （D）下三角矩阵。20050151（7）：欧氏空间线性变换称为正交变化是指：对任意的，都有- （A）； （B）； （C）； （D）。2000163： 设是一维欧氏空间，是中一固定向量。（1）证明： 是的子空间；（2）证明：的维数等于20050176： 证明：任何阶实对称方阵必合同于对角阵，即存在阶非奇异实方阵使得，这里；任何阶实反对称非奇异方阵必为偶数阶（即），且合同于块对角阵，即存在即存在阶非奇异实方阵使得，这里；对迹（对角元之和）为0的阶实方阵，存在实正交阵，使得的主对角元全为零。注：这里的分别表示的转置。20050226： 设A为正交矩阵，A的特征根均为实数，证明A为对称矩阵。20050227： 设A，B为实对称矩阵，证明A，B的特征根全部相同的充要条件是存在正交 矩阵T，使得。20050229： 设为欧氏空间V中的一个单位向量，定义 （其中表示与的内积，证明： （I） 正交变换。这样的正交变换称为镜面反射； （ii） 对任意的，V，若，均为单位向量，则存在镜面反射。 使=，并求这个镜面反射的特征值及所对应的特征子空间。20050251（9）：在中，已知=（1，2，2，3），=（1，1，2，2），求与的夹角。 （内积按通常的定义）。20050261（6）：欧氏空间中，令=（1,2,3,1）,=(2,1,2