北京市海淀区2017届高三5月期末(二模)数学试题(理)含答案

12999 数学网 12999 数学网 海淀区高三年级第二学期期 末 练习 数学（理科） 试卷共 4 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。 2,0,1A ， | 1B x x 或 0x ，则 A. 2 B. 1 C. 2,1 D. 2,0,1 x x（的 展开式的第二项是 A. 46x B. 46x C. 412x D. 412x 0,3 0,3, 则 2的最小值为 A. 11 D. 2 220x y y 与曲线 =1的 公共点 个数为 A 4 B 3C 2 穷 等 比 数列，且公 比 1q ，记 n 项和， 则下面结论正确的是 A. 32. 12+0. 2 D. ) R 上的奇函数，则“120”是“12( ) ( ) 0f x f x”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 现有编 号为、 的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图 1、 图 2、 图 3，则 至少存在 一个 侧面 与此底面 互相 垂直的 三棱锥的所有编号是 A. B. C. D. 1图2图 12999 数学网 12999 数学网 个半径不等的圆 盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将 其 分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1 2 3 4, , ,x x x x，大圆盘上所写的实数分别记为1 2 3 4, , ,y y y y,如图 所示 1, 2,3, 4)次，每次转动 90 ，记 ( 1, 2, 3, 4)转动 i 次后各 区域 内两数乘积之和 ，例如1 1 2 2 3 3 4 4 1T x y x y x y x y . 若1 2 3 4+ + 0x x x x，1 2 3 4+ + + 0y y y y ， 则以下结论正确的是 3 4, , ,T T T 少有一个为正数 3 4, , ,T T T 少有一个为负数 3 4, , ,T T T 多有一个为正数 3 4, , ,T T T 多有一个为负数 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 极点到 直线 的距离为 . ，则 |z _. 中， 2， 23，则 _. 数 1( ) 2x，则 1()21)f （填“ ”或“ ”）； ()区间 1( , )1上存在零点，则 正整数 n _. 边 形 ， 2. 若 1 ()2D A C A C B， 则 _. ： 222 16(0 6)b 的两个焦点分别为 1F 和 2F ，短轴的两个端点分别为1 P 在椭圆 G 上， 且 满足1 2 1 2P B P B P F P F . 当 b 变化时，给出 下列 三个命题 ： 点 P 的轨迹关于 y 轴对称； 存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个； |最小值为 2 ， 其中，所有正 确命题的序号是 _ 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 1 12999 数学网 12999 数学网 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 3 3 ( ) s i n 2 c o s c o s 2 s i x x x. （ ） 求 ()最小正周期和对称轴的方程； （ ） 求 ()区间 0, 2上的最小值 . 16.（本小题满分 13 分） 为了响应 教育部 颁布的 关于推进中小学生研学旅行 的意见 ,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查 (调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程 ) 上图中，已知课程 , , , ,A B C D E 为人文类课程，课程 ,自然科学类课程 合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取 1% 的学生作为研究样本组 (以下简称“组 M” ). ( )在 “组 M” 中，选择 人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？ ( )为参加某地举办的自然科学营活动，从“组 M” 所有 选择自然科学类课程的同学中随机抽取 4 名同学前往，其中选择课程 F 或课程 H 的同学参加本次活动，费用为每人 1500元，选择课程 G 的同学参加，费用为每人 2000 元 . ( )设随机变量 X 表示选出的 4 名同学中选择课程 G 的人数，求随机变量 X 的分布列； ( )设随机变量 Y 表示选出的 4 名同学参加科学营的费用总和，求随机变量 Y 的期望 . 17.（本小题满分 14 分） 如图，三棱锥 P ，侧棱 2，底面三角形0 课程 课程 课程 课程 课程100400300200人数A 12999 数学网 12999 数学网 正三角形，边长为 2 ，顶点 P 在平面 的射影为 D ，有 B ，且 1. （ ） 求证： /面 （ ） 求二面角 P 的余弦值； （ ） 线段 是否存在点 E 使得 平面 如果存在，求 果不存在，请说明理由 . 18.（本小题满分 14 分） 已知动点 M 到点 (1,0)N 和直线 l： 1x 的距离相等 . （ ）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （）已知不与 l 垂直的直线 l 与曲线 E 有唯一公共点 A，且与直线 l 的交点为 P ，以 和圆 C 的位置关系，并证明你的结论 19.（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) e x x. （）若曲线 ()y f x 在 (0, (0)f 处的切线 l 与直线 2 3 0 垂直，求 a 的值； （） 当 1a 时 ，求证：存在实数0) 1 20.（本小题满分 13 分） 对于无穷数列 记 | , x x a a i j ， 若数列 存在 ，使得只要a t（ *, 且 ），必有11a t” ， 则称数列 ) 12999 数学网 12999 数学网 （ ）若 数列 , 2 ,2 5 , 3 , 判断 数列 有性质 (2)P ？是否 具有性质(4)P ？ （ ）求证：“ T 是有限集 ” 是“数列 0)P ” 的必要不充分条件； （ ）已知 有性质 (2)P ， 又 具有性质 (5)P ， 求证：存在整数 N ，使得12, , , , ,N N N N ka a a a 是等差数列 . 海淀区高三年级第 二 学期期 末 练习参考答案 数学（ 理 科） 一、 选择题（本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B D C A B A 二、填空题（本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 ,有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分， 共 30 分） 9 1 10 2 11. 3412. ,2 13 2 14 三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 80 分 ) 15.（本小题满分 13 分） 解： （ ） 3 3 3 ( ) s i n 2 c o s c o s 2 s i n s i n ( 2 )5 5 5f x x x x - 所以 ()小正周期 2 2T ， 因为 的对称轴方程为 ,2x k k Z， 令 3 2 ,52x k k Z， 得 11 1 ,2 0 2x k k Z. 12999 数学网 12999 数学网 所以 ()对称轴方程为 11 1 ,2 0 2x k k Z. 或者： ()对称轴方程为 3 2252 和 3 22 ,52x k k Z， 即 11 20和 ,20x k k Z. （ ） 因为 0, 2x， 所以 2 0,x ， 所以 3 3 2 2 , 5 5 5x 所以， 当 3 252x 即 20x时， ()0, 2 上 的最小值为 1 . 16.（本小题满分 13 分） 解： ( )选择人文类课程的人数为 (100+200+400+200+300) 1%=12(人 )； 选择自然科学类课程的人数为 (300+200+300) 1%=8(人 ). ( )( )依题意，随机变量 X 可取 0， 1， 2. 4062483( 0 ) 14 ； 3162484( 1 ) 7 ； 2262483( 2 ) 故随机变量 X 的分布列 为 X 0 1 2 p 31447314( )法 1： 依题意，随机变量 Y =2000X +1500(4 )X =6000+500X ， 所以 随机变量 Y 的数学期望为 E(Y )=6000+500E(X ) =6000+500( 3 4 30 1 21 4 7 1 4 ) =6500. ( )法 2： 依题意，随机变量 Y 可取 6000， 6500， 7000. 所以 随机变量 Y 的分布列 为 Y 6000 6500 7000 p 31447314所以 随机变量 Y 的数学期望为 E(Y )= 3 4 36 0 0 0 6 5 0 0 7 0 0 01 4 7 1 4 =6500. 12999 数学网 12999 数学网 17.（本小题满分 14 分） 解： （ ） 因为 B ，且 1， 2，所以 3， 所以 60. 因为 为正三角形，所以 60， 又由已知可知 平面四边形，所以 /C . 因为 平面 平面 所以 /面 （ ） 由 点 P 在平面 的射影为 D 可得 平面 所以 A ， B . 如图， 建立 空间直角坐标系，则由已知可知 (1,0,0)B ，(0, 3,0)A ， (0,0,1)P ， (2, 3,0)C . 平面 法向量 (0,0,1)n ， 设 ( , , )x y zm 为平面 一个法向量，则 由 0,0 0,0, 令 1y ，则 3, 3，所以平面 一个法向量 ( 3 ,1, 3 )m ， 所以 3 2 1c o s ,| | | | 771 所以 二面角 P 的余弦值为 217. （ ） 由 （ ） 可得 (1, 3 , 0 ) ( 2 , 3 , 1) 因为 ( 2 , 3 , 1 ) ( 1 , 3 , 0 ) 1 0P C A B u u ur u u 所以 垂直， 所以 在线段 不存在点 E 使得 平面 18.（本小题满分 14 分） D 12999 数学网 12999 数学网 解： （）设动点 ( , )M x y ， 由抛物线定义可知点 M 的轨迹 E 是以 (1,0)N 为焦点，直线 l： 1x 为准线的抛物线， 所以轨迹 E 的方程为 2 4. （）法 1：由题意可设直线 :l x my n， 由2,4x my 可得 2 4 4 0y m y n （ *）， 因为直线 l 与曲线 E 有唯一公共点 A， 所以 21 6 1 6 0 ，即 2 . 所以 （ *）可化简为 224 4 0y m y m ， 所以 2( ,2 )A m m ， 令 1x 得 1( 1, )， 因为 2 ， 所以 221( 1 , 2 ) ( 2 , ) 2 2 2 2 0 N P m m m u u ur u u A ， 所以点 N 在以 直径的圆 C 上 . 法 2：依题意可设直线 : , ( 0 )l y k x b k ， 由2,4y kx 可得 2 2 22 ( 2 ) 0k x b k x b （ *）， 因为直线 l 与曲线 E 有唯一公共点 A，且与直线 l 的交点为 P ， 所以 0,0,k即 0,1,所以（ *）可化简为22 2140k x x k ， 所以212( , )A 令 1x 得 1( 1, )， 因为2 2 21 2 1 2 2( 1 , ) ( 2 , ) 2 2 0N A N P k k u u ur u u 12999 数学网 12999 数学网 所以 P ， 所以点 N 在以 直径的圆 C 上 . 19.（本小题满分 13 分） 解： （） ( ) e 1x a， 因为 曲线 ()y f x 在 (0, (0)f 处的切线与直线 2 3 0 垂直， 所以 切线 l 的斜率为 2， 所以 (0) 2f ， 所以 3a . （） 法 1： 当 0a 时，显然有 (1) e 1 0 1 ，即存在实数0) 1 当 0, 1时，由 ( ) 0可得 11 所以在 11( , x 时， ( ) 0，所以函数 ()1( , 上递减 ； 11( )x 时， ( ) 0，所以函数 ()1( ) 上递增 所以 11( f 1 (1 是 ()极小值 . 由函数 ( ) e x x可得 (0) 1f ， 由 1a 可得 11 所以 11( ( 0 ) 1， 综上， 若 1a ， 存在实数0) 1 （） 法 2： 当 0a 时，显然有 (1) e 1 0 1 ，即存在实数0) 1 当 0, 1时，由 ( ) 0可得 11 所以在 11( , x 时， ( ) 0，所以函数 ()1( , 上递减 ； 11( )x 时， ( ) 0，所以函数 ()1( ) 上递增 . 所以 11( f 1 ()极小值 . 12999 数学网 12999 数学网 设 1 x，则2 ) ( 0 )xg x ,令 ( ) 0，得 1x x (0,1) 1 (1, ) () 0 - () 极大值 所以当 1x 时 ( ) (1) 1g x g， 所以 11( 1 综上， 若 1a ， 存在实数0) 1 20.（本小题满分 13 分） 解： （ ） 数列 2)P ； 具有性质 (4)P . （ ）（不充分性）对 于周期数列 1,1, 2, 2,1,1, 2, 2,L ， 1,0,1T 是有限集，但是由于2 1 3 20 , 1a a a a ， 所以不 具有性质 (0)P ； （必要性）因为数列 0)P ， 所以一定存在一组最小的 *, 且 ，满足 0，即 由 性质 (0)P 的含义可得 1 1 2 2 2 1 1 2, , , , ,m k m k m k m m k ma a a a a a a a 以数列 ，从第 k 项开始的各项呈现周期性规律： 11, , ,k k ma a aL 为一个周期中的各项， 所以数列 最多有 1m 个不同的项， 所以 T 最多有 21个元素，即 T 是有限集 . （ ）因为数列 2)P ，数列 5)P ， 所以存在 *, ，使得2M p ，5N q ，其中 ,满足上述关系式的最小的正整数， 由 性质 (2), (5)kN ， 2 , 5M p k M k N q k N ka a a a ， 12999 数学网 12999 数学网 若