河南省郑州市2017届高三4月模拟调研数学试题（理）含答案

河南省郑州市 2017 届高三 4 月模拟调研 数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . | | 4A x x， |3B x R z x i ，且 | | 5z （ i 为虚数单位），则 （ ） A 4, 4 B 4, 4 C 4 或 4 D 4, 4 2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十 二个符号叫地支 而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表” 是“干支纪年法”中的丙申年，那么 2017 年是“干支纪年法”中的（ ） A丁酉年 B戊未年 C乙未年 D丁未年 3,4 在直线 : 1 0l ax y 上，则直线 l 的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 ,m a x ,f x f x g xy f x g xg x f x g x 则 m a x s i n , c o sy x x 的最小值为（ ） A 2 B 2 C. 22D 23na n n N ，数列 n 项和为 2372n n N ，则两个数列的公共项顺次构成一个新数列 则满足 2012 的最大整数 m 的值为（ ） A 335 B 336 C. 337 D 338 该 几何体的体积为（ ） A 1136B 3 C. 533D 出抛物线和其对称轴上的四个点 P 、 Q 、 R 和 S ，则抛物线的焦点是（ ） A点 P B点 Q C. 点 R D点 S ,M x y 在圆 22 21 上运动，则224的取值范围是（ ） A 11,44 B 11, , 044 C. 11, 0 0 ,44 D 11,44 、 C 为单位圆上不 重合的两个定点， A 为此单位圆上的动点，若点 P 满足B ，则点 P 的轨迹为（ ） A椭圆 B双曲线 C. 抛物线 D圆 2 13的左、右焦点，点 P 在该双曲线上，12内切圆半径 r 的取值范围是（ ） A 0, 3 B 0,2 C. 0, 2 D 0,1 圆柱形容器内放入 8 个半径为 1小球，则该圆柱形容器的最小高度为（ ） A 8 B 6 C. 2 2 2 D 2 2 3 22s i 2x x x ，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的为（ ） 函数 函数 函数 ，且其图象有对称轴； 对于任意的 1,0x ， 0f x f x 是函数 . A B C. D 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 2202 x x 4, 3，将其绕原点 O 逆时针旋转 120 后又伸长到原来的 2 倍得到向量，则 是正方体1 1 1 1A B C D A B C D体对角线1 的四等分点，在正方体内随机取一点 M ，则其满足1 2P的概率为 ,有唯一一个实数 z 与之对应，我们把 z 称为变量 , ,z f x y ，其中 ,了与所学过的函数加以区别，称该类函数为二元函数，现给出二元函数 ,f 22 2 94m n m n ，则此函数的最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） s i n s i x x x . （）求 （）在锐角 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，且 34 2a ，求 面积的最大值 . 点鸳鸯谱 ” 节目：每次邀请四对青年夫妻，先由每人随机抽签获得顺序展示才艺，再由观众通过投票的方式实施男女配对（观众不知道他们的真实配对情况） . （）求正确配对家庭数的期望； （）设有 n 对夫妻，记他们完全错位的配对种类总数为 求 2f ， 3f ， 4f ； 推导 1， 24f n n所满足的关系式 . 边长为 4 的正方形，1面 1 1 1 1/ / B B / / / / D C C，且1 11 21 31 4建立空间直角坐标系，如图所示 . （）在平面 求一点 P ，使1面1 1 1 （）求二面角1 1 1 1A B D C的余弦值 . 22: 1 0a ，过 C 上一点 2 2, 2 的切线 l 的方程为2 4 2 0 . （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 0,1M 且斜率不为 0 的直线交椭圆于 ,问 y 轴上是否存在点 P ，使得 P A P A P B ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 . 2 l n 1f x x x a x . （）若 1, 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （）若存在唯一整数0x，使得 0 0立，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 c o s 4 s ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面角坐标系，直线 l 的参数方程为 1 co s ,1 t ay t a （ t 为参数） . （）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由； （）若直线 l 与曲线 C 相交于两点，且 32，求直线 l 的斜率 . 等式选讲 已知 ，使不等式 12 成立 . （）求满足条件的实数 t 的集合 T ； （）若 1m ， 1n ， ，不等式33lo g lo gm n t恒成立，求 的最小值 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 二、填空题 13. 214. 4 3 3 , 3 4 3 15. 31616. 22 12 2 三、解答题 ） 31s i n s i n s i n s i n c o 2f x x x x x x 23 1 1 c o s 2 3 1 1s i n s i n c o s s i n 22 2 2 2 2 2xx x x x ， 1 3 3 1 3s i n 2 x c o s 2 s i n 24 4 4 2 3 4 . 令 2 2 22 3 2k x k k Z , 得 51 2 1 2k x k ，其中 ， ,1 2 1 2 ， . （）由 34 1 3 3s i n 22 3 4 4A ， s 03A 23A k k Z . ,62kA k Z . 02A ，6A 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 得224 2 c o s 6b c b c ， 又 22 32 c o s 2 2 2 362b c b c b c b c b c ， 44 2 323 ，当且仅当 时取“ ” . m a 2 3 s i n 2 326 . ）设正确配对的家庭数为 ，则 的所有可能取值为 0,1,2,4 . 14 24P ， 24 162 2 4 2 4 ， 14 281 2 4 2 4 ， 1 6 8 901 2 4 2 4 2 4 2 4P . 的分布列为 0 1 2 4 P 924824624124 9 8 6 1 2 40 1 2 4 12 4 2 4 2 4 2 4 2 4E . （）由题意可知， 21f ， 32f ， 49f . 对于 n 个的元素 , , , ， 及其对应元素 , , ,A B C ， 由于 a 不能对应 A ，则 a 与除去 A 以外的 1n 个元素之一对应，不妨设 a 与 B 对应，则 b 的对应分两类： 其（一）： b 与 A 对应，即 a b B A 其余 2n 个元素的错位排列总数为 2； 其（二）： b 不与 A 对应，即 a B 其余 1n 个元素的错位排列总数为 1， 于是， 1 2 1f n n f n f n . ）由题意可知 1 0,0,4D, 1 4,0,1A, 1 4,4,2B, 1 0,4,3C，则 11 4 , 0 , 3， 11 4 , 4 , 2， 设 , ,0P x y ，则 1 4 , y , 1A P x . 1面1 1 1 1 1 1A P D B，1 1 1A P D A， 4 4 4 2 0 ,4 4 3 0 , 解得13x, 13 1, ,044P. （）由（）可知1面1 1 1以不妨取平面1 1 1 1 3,1, 4n . 设平面1 1 1 2 , y , ， 则2 1 12 1 10,0,n D C 11 4 , 4 2， 11 0 , 4 1， 4 4 2 0 ,4 0 ,x y 令 4z ，则 1x ， 1y ， 2 1,1, 4n . 1212121 8 3 1 3c o s , 132 6 1 8 ， 易知二面角1 1 1 1A B D C是钝角， 二面角1 1 1 1A B D C的余弦值为 3 1313. ）由 22221,2 4 2 0 消去 x 并整理得 2 2 2 2 2 2 24 1 6 2 3 2 0b a y b y b a b . 椭圆 C 与直线 l 相切， 22 2 2 2 2 21 6 2 4 4 3 2 0b b a b a b ， 化简得 224 3 2 0 ， 又点 2 2, 2 在椭圆 C 上，22821. 由得 2 16a ， 2 4b . 椭圆 C 的方程为 22116 4. （）存在 设直线 方程为 10y kx k ， 联立221,1,16 4y 消去 y 并整理得 224 1 8 1 2 0k x k x . 2 228 4 4 1 1 2 2 5 6 4 8 0k k k . 设 11,A x y， 22,B x y，则12 2841k ，12 21241xx k . 假设存在点 0, 由于 P A P A P B ，所以 分 . 易知直线 直线 倾斜角互补， 0， 即120y t y ，即 2 1 1 2 0x y t x y t .（ ） 将111y ，221y 代入（ ）并整理得 1 2 1 22 1 0k x x t x x ， 221812204 1 4 1 ， 整理得 3 1 0k k t ，即 40 ， 当 4t 时，无论 k 取何值均成立 . 存在点 0,4P 使得 P A P A P B . ）函数 0, ， 2l n 1f x x ，要使 0,上单调递增，则需 0 ，即 2 ， 设 2r x ，则 212rx ，令 0 ，则 2x ，所以 1, 上单调递增，所以 11r x r ，所以 1a ， 所以实数 a 的取值范围是 ,1 . （）不等式 0 0 0 00 2 l n 1f x x x a x ， 令 2 x x x ， 1h x ， 则 2g x ，因为 在 0, 上单调递增， 而 1 1 0g ， 2 0g ， 所以存在实数 1,2m ，使得 0 ， 所以 m m g m，易知 1 2 0，画出函数 又 0, 1C 的直线，所以要使存在唯一整数0 0 0立，则需 m a x , A C D Ck a k，而 l n 3 1 2 l n 31033A C D ，即 所以实数 a 的取值范围是 1 1,23 . ）直线 l 和曲线 C 相交 为 2 c o s 4 s ，所以2 2 c o s 4 s i np p p，所以曲线 C 的直角坐标方程为 2224x y x y，即 221 2 5 ，由直线 l 的参数方程可知其过点 1, 1 ，所以该点到圆心的距离为 221 1 1 2 1 5 ，所以 直线 l 与曲线 C 相交 . （）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 过圆心，则 2 5 3 2，所以直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 11y k x ，即 10kx y k ，所以圆心到直线 l 的距离 22221 3 2 25221d k