河南省洛阳市2017届高三第三次统一考试(5月)数学文试题含答案

洛阳市 2016年 高中三年级 第三次统一 考试 数学 试卷（ 文 ） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1 已知 集合 | 1 1 0 , , | ,A x x x N B x x a a A ，则 （ ） A 1,2,3 B | 1 3 C 2,3 D | 1 1 0 2. 欧拉公式 c o s s i x i x（ i 为虚数单位， ）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系 誉为“数学中的天桥” 3 ，则复数 2z 在复平面中所对应的点位于 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三 象限 D 第四象限 题 p ： ，都有 23； 命题 q ：0，使得 32001，则下 列复合 命题正确的是 （ ） A B C D 曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的离心率为 2， 则 C 的两条渐近线的方程为（ ） A 3 B 33C. 2 D 12比数列 8 51 , 2 32a a a a ，则9a（ ） A 12B D 18 在正方形 ， ,D 的中点，若 A C A M B N，则 的值为 （ ） A B D 数 ,件 211 ，则 z x y 的最大值为 （ ） A B 12 D 7 图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆 2225内的个数为 （ ） A 2 B 3 D 5 数 221x a x a R ，若 3f ，则 1（ ） A B D 1 何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A 56B 53C. 13D 213数 y f x 的图象向左平移 02个单位后得到 g x x 的图象，当12, 12 2f x g x时，12m ， 则 的值为 （ ） A 512B36任意实数 0,1m ，总存在唯一实数 1,1x ， 使得 2 0xm x e a 成立，则实数 a 的取值范围是 （ ） A 1,e B 1(1 , .(0, e D 11 , 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.“ 15a”是“直线 2 1 2 0a x a y 与直线 1 3 3 0a x a y 垂直 ”的 条件 （ 从 “ 充分不必要 ” ， “ 必要 不充分 ” ， “ 充 要 ” ， “ 既不充分 又不必要 ” 中 选取一个填入） . 数 f x a x b x在 1x 处取得最大值 ，则 a ，b 是抛物线 2 4上的动点， Q 在圆 22: 3 3 1C x y 上， R 是 P 在 y 轴上的 射影 ，则 R 的最小值是 四边形 直角梯形 ，9 0 , / / , 2 0 2 , 1 0 , 2 0A B C C B D A A B D A C B ，若 上有一点 P ，使 大，则 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 1nn a . （ 1）证明 ；数列 11是等差数列，并求 （ 2）令12a a a，求数列 1的前 n 项和棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中， 四边形 平行四边形，1面 60 ， 12 , 1, 6A B B C A A ， E 为 11点 . （ 1）求证： 平面1面1 （ 2）求 多面体1A E 体积 . 19. 某 销售公司为了解员工的月工资水平，从 1000 位 员工中随机抽取 100 位 员工进行调查，得到如下的频率分布直方图： （ 1）试由 此图估计该公司员工的月平均工资； （ 2） 该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于 450。元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败 ;高于 4500 元的员工是具备营销成熟员工，基进行营销将会成功 。现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出 5 人，在这 5 人中任选 2 人进行营销活动。活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得 3 万元，否则公司将损失 1 万元。试问在此次比赛中 公司 收入多少万元的可能性最大？ 20. 已知 椭圆 22: 1 ( 0 )a 的离心率为 22，右焦点为 F ，上顶点为 A ， 且的面积为 12（ O 是 坐标原点） . （ 1）求 椭圆 C 的方程； （ 2）设 P 是椭圆 C 上的一点，过 P 的 直线 l 与以 椭圆 的短轴为直径的圆 切 于第一 象限，切点为 M ， 证明： M 为定值 . 21. 已知函数 s i n 1xf x e a x a R . （ 1）若 1a ，求 x 处的切线方程； （ 2）若 0对一切 0,1x 恒 成立，求 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 在 平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴与极轴 建立 极坐标系，已知曲线 2s i n c o s 0 ，过点 2, 4P 且倾斜角为4的直线 l 与 曲线C 相交于 , （ 1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程 ； （ 2）若 2A P B P B A，求 m 的值 . 23. 选修 4等式选讲 设不等式 0 2 1 2 的解集为 ,M a b M . （ 1）证明 ： 1324； （ 2）比较 41与 2的大小，并说明理由 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 必要 14. 1, 1 三、解答题 1） 1311nn a ， 121311111 . 1 1211 1 11 2 1 2 1 1 2n n a a a . 11 1 11 1 2. 即 数列 11是等差数列，且 公差 为 12，首项为11112a . 1 1 1 11 2 2 2n . 21na n， 从而 2n na n. （ 2）由 已知及（ 1） 得 123 4 5 21 2 3 2 . 1 2 1 121 2 1 2nb n n n n . 1 1 1 1 1 12 2 22 3 3 4 1 2nS 112 2 2 2 . 18. （ 1）在 中， 6 0 , 2 , 1B A D A B B C ， 由余弦定理得 3. 222B D A D A B. D . 1面 ,D 平面 1A A 1A A ， 平面1平面 1 平面 1 平面 1 （ 2）设 ,中点分别为 ,连接 , , ,E F F G G E B D F G H， ,E F G 分别为1 ,A A 多面体1 三棱柱 . 平面1 三棱柱的高 . 1 11 6 1 3,2 2 2 2A A D A A D H B D ， 三棱柱1 积为16 3 3 22 2 4A A D . 在 四棱锥 E 中，1/ A. 底面1,6B C G F E F A A. 1 1 32 1 s i n 6 02 2 2B C G F A B C ， 四棱锥 E 的体积为 1 1 3 263 3 2 2B C G F ， 多面体1A E 体积为 3 2 2 5 24 2 4. 19.（ 1）由 此图估计该公司员工的月平均工资：0 . 0 1 1 0 2 0 0 . 0 1 1 0 3 0 0 . 0 2 1 0 4 0 0 . 0 3 1 0 5 0 0 . 0 2 1 0 6 0 0 . 0 1 1 0 7 0 = 4 7 0 0 元 . （ 2）抽取比 为 51100 20， 从工资在 1500,4500)区间内抽 11 0 0 0 . 1 0 . 1 0 . 2 = 220 人 ，设 这两位 员工分别为 1,2；从工资在 4500,7500区间 内抽 11 0 0 0 . 3 0 . 2 0 . 1 = 320 人 ，设这三位员工分别为, 从中 任选 2 人 ，共有 以下 10 种 不同的等可能结果： （ 1,2）， 1, , 1, , 1,A B C ， 2 , , 2 , , 2 ,A B C， , , , , ,A B A C B C. 两人 营销都成 功，公司收入 6 万元 ， 有 以下 3 种 不同的等可能结果： , , , , ,A B A C B C；概率为 310； 其中 一人营销成功，公司收入为 2万元， 有以下 6种 不同的等可能结果： 1, , 1, , 1,A B C， 2 , , 2 , , 2 ,A B C， 概率为 6310 5 ； 两人 营销都失败，公司收入 元，即损失 2 万元 ，有 1 种 结果：（ 1,2） ， 概率为 110. 1 3 310 10 5， 收入 2 万元 的可能性最大 . （ 1） 设 椭圆的半焦距为 c ，由已知得222 2 21,211,c a2 2, . 椭圆的方程为 2 2 12x y. （ 2）以 短轴为直径的圆的方程为 22 1, 1, 0x y F ， . 设 00,P x y，则 2 20001 0 22x . 22 22 00 0 0 01 2 1 1 2 x y x x 2001 222 200122222 . 又 l 与圆 221相切于 M ， 2 220011P M O P x y 2222 000 0 0212 2 2y x . 002222P F P M x x . （ 1） 1a 时 ， s i n 1xf x e x . c o s , 0 0 , 0 0xf x e x f f ， 0 0 0 ，即 0y . 1a 时， x 处的切线方程为 0y . （ 2） c o x e a x . 若 0a ，显然有 0 , 0 , 1f x x ， 0,1上 单调递增 . 00f x f，符合题意 . 若 0 1, c o f x e a x ，由 01x知 ， 0 c o s , 1xa x a e ， 0 ， 0,1上 单调 递增 . 00f x f，符合题意 . 若 1a ，由 与 a x 的图象位置关系知 存在 0001，当00 时， a x ， 此时 ， 0 ， 00, 当00 时 ， 00f x f， 与 题意 矛盾 . 综上： a 的取值范围为 ( ,1 . （ 1） 曲线 C 的极坐标方程 2s i n c o s 0 ， 可 化为 22s i n c o s 0 ， 即 2 0y m x m； 直线 l 的参数方程为22, （ t 为 参数） ， 消去 参数 t ， 化为普通方程是 2. （ 2）将 直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 2 0y m x m中， 得 2 2 8 4 8 0t m t m . 设 , 1 2 1 22 8 , 4 8t t m t t m . 2A P B P B A， 21 2 1 2t t t t ， 221 2 1 2 1 2 1 2= 4 = 5t t t t t t t t ， 即 22 8 = 2 0 8 ， 解得 ： 2m 或 8m （ 不合 题意，应舍去） ； m 的值为 2. （ 1