高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷(有详细答案)

高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷 一、选择题 1、（ 2007辽宁）若向量 a 与 b 不共线， ab0，且 ，则向量 a 与 c 的夹角为（ D ） A、 0 B、 C、 D、 考点 ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 分析： 求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中 表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律 解答： 解： = =0 向量 a 与 c 垂直， 故选 D 点评： 用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的 2、（ 2007上海）在直角坐标系 ， 分别是与 x 轴， y 轴平行的单位向量，若直角三角形 ， ， ，则 k 的可能值有（ ） A、 1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个 考点 ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 分析： 根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个 角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是 解答： 解： （ 1）若 A 为直角，则 ； （ 2）若 B 为直角，则 ； （ 3）若 C 为直角，则 k 的可能值个数是 2， 故选 B 点评： 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；会解两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 3、已知 ， ，则 面积为（ C ） A、 2 B、 C、 D、 考点 ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的 夹角。 专题 ：计算题。 分析： 由 = （ ， ），=（ 2 2，知 和 x 轴成 23角， 和 x 轴68角，由此能求出 和 ，再由正弦定理能求出 面积 解答： 解： =（ ， =（ 2 2， 和 x 轴成 23角， 和 x 轴 68角， ， =2， 面积 S= = 故选 C 点评： 本题考查平面向量的坐标表示，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式、正弦定理的灵活运用 4、已知点 A（ 3， 0）， B（ ， 1）， C（ O（ 0， 0），若 | |= ， a（ 0， ），则 与 的夹角为（ D ） A、 B、 C、 D、 考点 ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的模；三角函数的恒等变换及化简求值。 专题 ：计算题。 分析： 由已知，求出 C 的坐标，得出 的坐标，再利用夹角公式求解 解答： 解： = （ 3+ = = ， （ 0， ）， = ， =（ ）， =0，夹角为直角 故选 D 点评： 本题考查向量数 量积、模、夹角的计算，属于基础题 5、已知向量 =（ 2， 1）， =10， | |= ，则 |b|=（ A ） A、 B、 C、 20 D、 40 考点 ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 专题 ：计算题。 分析： 设 ，则根据题意可得 ，联立方程可求 x， y 进而可求 解答： 解：设 ，则根据题意可得 联立方程可得， x= 4， y= 2 故选 A 点评： 求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或 ；若未知向量的坐标，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量 积的性质 进行计算 6、已知向量 ， 满足 | |=| |=2， =0，若向量向量 与 共线，则 | + |的最小值为（ A ） A、 B、 1 C、 D、 考点 ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 专题 ：计算题。 分析： 由已知中向量 ， 满足： | |=| |=2， =0，向量 与 共线，我们可得 | + |= ，进而根据二次函数的性质，得到答案 解答： 解： | |=| |=2， =0， 又 向量 与 共线 设 =（ ） 则 | + |=| +（ ） |=|（ +1） ） |= 故选 A 点评： 本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中根据已知表示出| + |，将问题转化为求二次函数的最值，是解答本题的关键 二、填空题 7、已知 ， ，且 | |=| |=4， 0，则 + 与 的夹角是 30 ； 与的夹角是 60 ； 面积是 4 考点 ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 专题 ：计算题。 分析： 根据所给的条件可以看出三角形是一个等边三角形，则各边之间的关系就很清楚，根据平行四边形法则和三角形法则看出两个向量的 和和差对应的向量，得到夹角，利用正弦定理得到三角形的面积 解答： 解： 知 ， ，且 | |=| |=4， 0， 三角形 一个正三角形， + 在角 O 的平分线上， + 与 的夹角是 30， 与 的夹角是 60， 面积是 =4 故答案为： 30； 60； 4 点评： 本题考查向量的平行四边形法则，考查三角形法则，考查向量的夹角和正弦定理，是一个综合题，解题时可以做出图象利于观察 三、解答题 8、已知 ， ，且 ， 0， （ 1）求 ， ； （ 2）求（ ）与 的夹角 考点 ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 专题 ：计算题。 分析： （ 1 ） 由 题 意 可 得 ：，再结合求模公式可得答案 （ 2 ）设 的夹角为 ，由向量的数量积公式变形可得：，再结合题中的条件与（ 1）的结论可得答案 解答： 解：（ 1）因为 ， 0， 所以 ， 所以 ，（ 7 分） （ 2）设 的夹角为 所以 ，即（ ）与 的夹角为 （ 13 分） 点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握向量的数量积公式及其应用，以及熟练掌握求模公式，此题属于基础题 9、已知向量 ， ，且 ， f（ x）= 2| |（ 为常数）， 求：（ 1） 及 | |； （ 2）若 f（ x）的最小值是 ，求实数 的值 考点 ：数量积的坐标表达式；三角函数的最值。 专题 ：计算题。 分析： （ 1）根据所给的向量的坐标，写出两个向量的数量积，写出数量积的表示式，利用三角函数变换，把数量积整理成最简形式，再求两个向量和的模长，根据角的范围，写出两个向量的模长 （ 2）根据第一问做出的结果，写出函数的表达式，式子中带有字母系数 ，把式子整理成关于 二次函数形式，结合 的取值范围，写出函数式的最小值，是它的最小值等于已知量，得 到 的值，把不合题意的舍去 解答： 解 ： （ 1 ） ， ， ， （ 2） f（ x） =4（ ） 2 1 22， ， 0， 当 0 时，当且仅当 时， f（ x）取得最小值 1，这与已知矛盾； 当 01，当且仅当 时， f（ x）取得最小值 1 22， 由已知得 ，解得 ； 当 1 时，当且仅当 时， f（ x）取得最小值 1 4， 由已知得 ，解得 ，这与 1 相矛盾、 综上所述， 为所求 点评： 本 题考查向量的数量积和模长，考查三角函数变换，考查二次函数的最值，考查分类讨论思想，是一个综合题，题目涉及的内容比较多，易错点是带有字母系数的二次函数最值问题 10 、 已 知 向 量 = ，= = ，其中 O 为坐标原点，且 0 （ 1）若 ，求 的值； （ 2）若 =2， ，求 面积 S 考点 ：平面向量的综合题。 专题 ：计算题。 分析： （ 1）两个向量垂直的充要条件是这两个向量的数量积为 0，将 和 用坐标表示，求其数量积，再倒用两交差的余弦公式即可 （ 2）由 =2， ，可得 面积为 ，求模代入即可 解答： 解：（ 1） 21=0 即 0 （ 2） ， 点评： 本题综合考查了向量数量积的运算性质和三角变换公式的应用，解题时要耐心细致，认真观察 11、已知 ， ， ， ， （ 1）求 ； （ 2）设 ，且已知 ， ，求 考点 ：平面向量的综合题；三角函数的恒等变换及化简求值。 专题 ：计算题。 分析： （ 1）先由已知 ，得到 再根据向量的数量积为 0 得到 后利用直角三角形：在 ，求得 长度即可； （ 2）先在 ， ，得到 从而 ，利用角的限制条件得出 ，最后结合三角变换公式即可求得 解答： 解：（ 1）由已知 ，即 ， ， ，（ 2 分） ， 3 分） 在 ， 又 96，（ 5 分） （ 6 分） （ 2）在 ， ， （ 7 分） 即 ， ，（ 9 分） 而 ，（ 10 分） 则 ，（ 12 分） ， （ 14 分） 点评： 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值，解答的关键是灵活应用三角变换的公式进行转换 12、平面内有四个向量 ，满足 ， ，（ 1）用 表示 ； （ 2）若 的夹角为 ，求 值 考点 ：平面向量的综合题。 专题 ：计算题。 分析： （ 1）解方程可得（ 2）先由（ 1）中的表示结合已知 ，求出，然后利用 ，代入可求 答： 解：（ 1） （ 2） ， ， = =0 点评： 本题主要考查了平面向量的数量积的坐标表示的基本运算，向量垂直的坐标表示，及向量模的求法： 是向量求模常用的变形形式 13、已知坐标平面内 O 为坐标原点， ， M 上一个动点当 取最小值时，求 的坐标，并求 值 考点 ：平面向量的综合题。 专题 ：计算题。 分析： 由题意知 ，由向量共线定理可得 0 ， 1 使得，由向量数量积的坐标表示可得 f（ ） =52 20+12， 0， 1结合二次函数在区间 0， 1的单调性可求函数的最小值及 P 的坐标；代入向量夹角公式值 解答： 解： 由题意，可设 ，其中 0， 1， 则 （ 4 分） 设 ，则 f（ ） =（ 1 ）（ 7 ） +（ 5 2）（ 1 2） =52 20+12， 0， 1（ 8 分） 又 f（ ）在 0， 1上单调递减 当 =1 时 f（ ）取得最小值，此时 P 点坐标为（ 1， 2）（ 12 分） （ 14 分） （ 16 分） 点评： 本题考查平面向量共线定理，平面向量数量积的坐标表示，二次函数的单调性及最值的求解，向量夹角的坐标表示熟练掌握向量的基础知识并能灵活运用是解决问题的关键 14、设两个不共线的向量 ， 的夹角为 ，且 =3， （ 1）若 = ，求 的值； （ 2）若 为定值，点 M 在直线 移动， 的最小值为 ，求 的值 考点 ：平面向量的综合题。 专题 ：计算题。 分析： （ 1）根据两个不共线的向量 ， 的夹角 ，及 ， ，结合 = ，我们代入直接求出 ； （ 2）由点 M 在直线 ，我们设 ，结合 ，分类讨论 0（即 同向）、 0（即 反向）即可求出对应 的值 解答： 解：（ 1） = = （ 6 分） （ 2）设 ， 则显然 0 当 0 时 =9+12+42（ *）（ 8 分） 要使得（ *）有最小值， 其对称轴 ， 即 0 故 ， 解得 （ 10 分） 又 0180 =150（ 12 分） 当 0 时 =9+12+42（ #） 要使得（ #）有最小值， 其对称轴 ， 即 0 故 ， 解得 又 0180 =30（ 15 分） 综上所述， =30或 150（ 16 分） 点评： 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模及二次函数的最值问题，考查运算求解能力，考查转化思想属于基础题 15、在 ， D 为 中点， （ 1）若 O 是中线 的一个动点 ，且 ，求 的最小值； （ 2）若 O 是 外心，且 ，求 的值 考点 ：平面向量的综合题。 专题 ：计算题。 分析： （ 1）由 = ，利用基本不等式可求最小值 （ 2 ）由 O 为三角形的外心可得 从而可得= = ，代入可求 解答： 解：（ 1） = （ 2 分） ） （ 4 分） = （当且仅当 时取等） （ 6 分） （ 2）由 O 为三角形的外心可得 （ 8 分） = （ 10 分） = = （ 12 分） 点评： 本题主要考查了平面向量的基本数量积的基本运算及利用基本不等式求解最值，平面向量的数量 积的性质的应用，属于向量知识的综合应用 16、已知 顶点坐标为 O（ 0， 0）， A（ 2， 9）， B（ 6， 3），点 P 的横坐标为 14，且，点 Q 是边 一点，且 （ 1）求实数 的值与点 P 的坐标； （ 2）求点 Q 的坐标； （ 3）若 R 为线段 的一个动点，试求 的取值范围 考点 ：平面向量的综合题。 专题 ：综合题。 分析： （ 1）先设 P（ 14， y），分别表示 ， 然后由 ，建立关于 y 的方程可求 y （ 2）先设点 Q（ a， b），则可表示向量 ，由 ，可得 3a=4b，再由点 Q 在边 ，从而可解 a， b，进而可得 Q 的坐标 （ 3）由 R 为线段 的一个动点可设 R（ 4t， 3t），且 0t1，则有分别表示 ， ，由向量的数量积整理可得 ，利用二次函数的知识可求取值范围 解答： 解：（ 1）设 P（ 14， y），则 ，由 ，得（ 14， y） =（ 8， 3 y），解得 ，所以点 P（ 14， 7） （ 2）设点 Q（ a， b），则 ，又 ，则由 ，得 3a=4b 又点 Q 在边 ，所以 ，即 3a+b 15=0 联立，解得 a=4， b=3，所以点 Q（ 4， 3） （ 3）因为 R 为线段 的一个动点，故设 R（ 4t， 3t），且 0t1，则 ， ， ，则=，故 的取值范围为 点评： 平面向量与函数的综合问题中，向量的数量积、向量的平行一般是作为转化的基本工具，最后转化为函数的问题，二次函数在闭区间上的最值是求解是函数性质应用中容易出现错误的地方 17、已知向量 =（ 4， 3）， =（ 1， t）， =（ 6， 8）（ t R）； （ 1）若 t=2，点 M 是线段 一点，且满足 ，求线段 长度； （ 2）若 ，求 t 的值 考点 ：平面向量的综合题。 专题 ：综合题。 分析： （ 1）若 t=2，则 =（ 1， 2），再有 ，得出 = ，将 向量 的坐标求出来，再由向量求模的公式求出 度； （ 2）由数量积的坐标表示将 转化为关于 t 的方程解出 t 的值 解答： 解：（ 1）由题意 t=2，则 =（ 1， 2）， 又 = ， = = = = 又 =（ 4， 3）， =（ 1， 2）， =（ 6， 8） =（ ） 线段 长度是 （ 2）由题意 得 4+3t= 6+8t，解之得 t= 点评： 本题考查平面向量的综合题，解题的关键是利用向量的线性运算将要求模的向量用已知坐标的向量表示出来，再由向量的模的公式求出线段的长度，本题第二小题用向量的数量积公式建立方程求参 数，本题全部涉及平面向量中主要运算有加减运算，数乘运算，数量积运算，考查了向量灵活运算的能力 18、如图，在四边形 ， R）， ， ，且 以 斜边的直角三角形求： （ 1） 的值； （ 2） 的值 考点 ：平面向量的综合题。 专题 ：计算题。 分析： （ 1）由题意可知 且 三边分别为 2， 2，的等腰三角形，利用已知条件可得 0，从而可得 0，解直角三角形可得 （ 2）由（ 1）知， 0， | |=4，从而可得 的夹角 1200，代入向量的数量积公式，即可 解答： （ 1）因为 ，所以 （ 2 分） 因为 ，所以 又 ，所以 （ 5 分） 作 H，则 H 为 中点 在 ，得 ，于是 0 所以 0 而 0，所以 即 ，解得 =2（ 10 分） （ 2）由（ 1）知， 0， | 所以 与 的夹角为 120 故 （ 14 分） 点评： 本题考查了平面向量共线 的条件，向量减法的平行四边形法则，平面向量的夹角及数量积的定义，要注意求两向量的夹角时，一定要保证两向量共起点，避免夹角的求解错误 19、已知向量 （ 1）当 时，求 的值； （ 2）求 f（ x） =（ + ） 在 上的值域 考点 ：平面向量的综合题；三角函数的化简求值。 专题 ：综合题；转化思想。 分析： （ 1）由向量共线的坐标表示，建立三角方程，求得角的正切值，再利用同角三角函数的关系将 用正切表示出来，代入正切值求值； （ 2）由向量的数量积公式求出 f（ x）的三角表达式 解答： 解：（ 1） ， ， = 8 （ 2） ）， f（ x） =（ = 2x+