黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 关键词 ： 黎曼积分，勒贝格积分，区别，联系 微积分 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 摘 要 本文从微积分的发展过程出发引出了我们已知的黎曼积分，尽管黎曼积分的理论比较完备，但在考虑某些问题时，我们看到了黎曼积分的局限性，并通过具体的例子给予了说明于是就有了改造黎曼积分的必要性，从而提出了勒贝格积分本文的中心任务就是从我们已学过的黎曼积分和勒贝格积分的知识来探讨和归纳出两者之间的区别与联系，通过具体比较两者的定义，存在的条件，黎曼积分和勒贝格积分的性质、黎 曼可积函数类和勒贝格可积函数类、以及与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理，并进一步用具体的例子来说明勒贝格积分使一些黎曼积分难以解决的问题变得迎刃而解，最后总结两者之间的区别与联系并顺便指出，勒贝格积分是黎曼积分的推广，但非黎曼反常积分的推广 学毕业论文 i 目 录 第 一章 绪 论 . 1 1 积分的发展史 . 1 1 曼积分和勒贝格积分的引入 . 1 第二章 黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系 . 5 2 曼积分和勒贝格积分的定义的比较 . 5 2 曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较 . 8 2 曼积分和勒贝格积分的性质的比较 . 9 2 曼积分函数类与勒贝格积分函数类 . 12 2 黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理的比较 . 12 第三章 实例 . 15 第四章 总结和展望 . 16 4 文总结 . 16 4 展望 . 17 参考文献 . 18 致 谢 . 19 学毕业论文 1 第一章 绪 论 1积分的发展史 积分学的历史很早，它起源于求积问题，早在古代人们就着手计算由曲边围成的图形的面积我国数学家刘徽力求单位圆的面积，他的方法是用许多不重叠的三角形来拟合图形，由于时代的限制他不能克服“无穷运算”的困难古希腊时代的穷竭法、中国的割圆术和祖暅定理都是早期的积分学关于积分的理解因为什么是无穷小，什么是不可分量而遇到困扰古代的穷竭法也只能用于最简单的曲线所成图形的面积如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到不定积分11 1d x x ，但牛顿将微分学的思想用到积分问题上，看到了积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算，也就发展了不定积分的思想，莱布尼兹主要从定积分思想看出了积分运算是微分运算的逆总之得到了现在的牛顿 莱布尼兹公式，即设如果 它一定也是原函数，且任意两原函数相差一个常数，所以 ba f x d x F b F a 此公式重要性在于计算积分再也不用用古希腊的穷竭法那么冗长了，而有了系统的处理方法因此微积分成了真正可以应用的理论了，上述公式被成为微积分基本定理，在当时，积分的概念并不清楚，而且他们遇到的函数无非是些简单的初等函数，到柯西发表他的著名的几本教科书后也就有了现时我们所了解的积分理论，现在称这种积分为黎曼积分其实应该称为柯西积分 1曼积分和勒贝格积分的引入 柯西积分的对象是连续函数的积分，当然许可 ()包括了现在所说的反常积分而黎曼考虑的对象是使得积分和极限存在的函数类，或如达布所说的上下积分相等也就所谓的黎曼可积类黎曼可积函数许可更多的不连续点，极大的扩充了可积函数类现在我们知道()是还要研究具有不连 续点的函数，这在数学上是十分重要的，一个直接的来源是傅立叶级数的研究，许多物理问题都导致不连续的傅立叶级数问勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 2 题处理这类问题需要更有力更细致的数学工具因此积分理论特别是他的发展在数学推理的严格性方面要求更高，如：当仅 ()积分基本定理的证明有了困难而现在通用的证明方法应用了微积分中值定理，但其中假设了 ()布提出了以下的证明 达布定理： 设 () ,上可积， () ,处处有导数 ()即 F x f x 则有 ( ) ( ) ( )ba f x d x F b F a （ 1） 证明： 作 ,一个分划01 na x x x b ， 所以 110( ) ( ) ( ) ( ) b F a F x F x ， 又由拉格朗日中值定理可得，存在1 , i i ie x x ，使得 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iF x F x F e x x f e x x 所以 110( ) ( ) ( ) ( )ni i b F a f e x x 由于 () ,可积，因此当上述分划无限加细时，右边的极限即为 ()ba f x 所以 上述证明在当 () ( ) ( )F x f x 在有限多个点上不成立时也是有效的，只是将这有限多个点列入分点之内即可 上述证明虽然很简单，易理解，但并未解决问题因为黎曼可积函数只是几乎处处连续，而将所有不连续点均归入分点之内是办不到的 另一个例子是关于二重积分化为累次积分的问题，设 ( , )f x y 在长方形区域 R ： ,a x b c ( , )f x y 必连续有著名的富比尼定理成立即 ( , ) ( , ) ( , )b d d ba c c x y d x d y d x f x y d y d y f x y d x ， （ 2） 关键在于若 ( , )f x y 对 ( , )续，则对于固定的 x ， ( , )f x y 是 y 的连续函数，因此 ( , )dc f x y 存在且作为一个含参变量的积分，它是 x 的连续函数，而 ( , )x f x y d y是有意义的，因此上式是很自然的结果但若 ( , )f x y 只是黎曼可积时，则对于固定的 x ， ( , )f x y 是否为 y 的黎曼可积函数甚学毕业论文 3 至是否对几乎所有 x ， ( , )f x y 是否为 y 的黎曼可积函数均是个问题，因此 ( , )dc f x y 一定有意义，但上下积分仍有意义，因此 ( , )f x y 关于黎曼可积的的二重积 分，富比尼定理为：若 ( , )f x y 是 ( , ) 中的可积函数，则有 ( , ) ( , ) ( , ) d b d bc a c x y d x d y d y f x y d x d y f x y d x、 ( , ) ( , ) b d b da c a cd x f x y d y d x f x y d y （ 3） 此式的意思为内层的上下积分均是参数的黎曼可积函数，而且其积分就等于二重积分，记 ( ) , , 0x f x y d y f x y d y ， () , 也是黎曼可积的，且有 ( ) 0 x ，则由此是否可得到至少几乎处处有 ( ) 0？即 ( , )dc f x y 几乎所有的 x 均存在，则（ 3）式就变为（ 2）式了但是若一个非负黎曼可积函数积分为 0，则此函数几乎处处为 0，这证明很难的，而对勒贝格可积函数，（ 3）式结果是成立的在黎曼积分中 重积分化为累次积分所要求的条件比勒贝格积分理论中要多，从副比尼定理中可知只要重积分存在，它就和两个累次积分相等，这是勒贝格积分的另一成功之处 从上述两例子可看出，黎曼积分虽然比较简单，但一旦要考虑可能在一个零测度集上不连续的黎曼可积函数一些本来很自然的结果变得很难证明了，甚至可能不成立，尤其是不能在积分号下求极限，故黎曼可积函数类缺乏完备性，有其内在的局限性 随着微积分学的发展，人们在利用黎曼积分时，感到它有很大的局限性，这要从黎曼积分的起源说起，我们知道黎曼积分的思想方法是“分割，近似求和，取极限”第 一个提出分割区间做和式极限严格定义积分的是柯西他考察的积分对象是 ,上的连续函数，因此黎曼积分在处理诸于逐段连续的函数以及一致收敛的级数来说是足够的然而随着集合论的一系列工作的创始，出现一些“病态”函数，在研究它们的可积性时黎曼积分理论面临了新的挑战特别是考虑可积函数的连续性和极限与积分次序交换问题以及微积分基本定理和可积函数空间的完备性方面 如： （ 1）狄里克雷函数 定义可证 此必须扩大积分的范围 (2) 0 , 0 1 ,() 1 , 1 .n x 在 1x 处不连续，但它是非一致收敛的，但1100l i m ( ) 0 l i m ( )x d x f x d x 此例子说明函数一致收敛只是极限与 R 积分运算交换次序的充分而非必要条件，但一致收敛是非常强的条件，我们要考虑能否将条件减弱呢？ 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 4 （ 3）在微积分基本定理中 ( ) ( ) ( ) , , xa f x d x f x f a x a b ， ()必须可积的，但我们知道存在着可微且导数有界的函数，但其导数不是 R 可积的因此限制了微积分基本定理的应用范围 随着数学的向前发展，人们发现了许多问题在 R 积分中都无法给出圆满的解决，科学不断的前进，积分论在进一步革新二十世纪初勒贝格提出了 L 积分，它为现代分析数学打开了大 门， L 积分的提出使许多问题变得迎刃而解了 我们知道 L 积分是用勒贝格积分和代替黎曼积分和，引入测度来推广长度，概率论就是以测度作为基础的，与黎曼积分比较，勒贝格积分虽然克服了它的许多缺点，但任何一种理论都不是十全十美的， L 积分也有它的缺点，如在应用时测度比长度就要麻烦 学毕业论文 5 第二章 黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系 2曼积分和勒贝格积分的定义的比较 黎曼积分 ( ) ( )f x 勒贝格积分 EL f 定义： ( ) ( )f x 的定义是从求曲边梯形的面积所引入的其定义为：设 f 在 , 有界，对 , . . . nT a x x x b ， 即 1 , n b E ， 1 0 1 , ,E x x ( , ,3.1k k kx x x ， | | m a （称为分割 T 的细度）在分割 T 所属的各个小区间上任取一点( 1, 2 . )i n ，则 12 , . n 构成一个属于 T 的介点集，作和式 1，称此式为 f 在 , 属于分割 T 的一个积分和或称黎曼和，记为 T ，故有 ( ) ( )f x 定义为：设 f 为定义在 , 的函数， J 是一确定的数，若对任意的 0 ，总存在某一 0 ，使得 , 的任意分割 T ，只要 | |T ，属于分割 T 的所有积分和 T 都满足 | ，则称 f 在 , 称 J 为 f 在 , 的 定 积 分 记 为 J = ( ) ( )f x 关于 R 积分我们知道它的思想是“分割，近似求和，求极限”，这里的分割是指分割定义域在此定义中 的存在性是统一的，但在应用中要求预先知道 J 的值是不现实的因此我们提出 R 积分的另一定义，如下： 设 f 在 , 有界，对 , 分割01nT a x x x b ，即1 , n b E 其中令 1s u p ( ) , , i n f ( ) , .k k k k k k kM f x x E m f x x E x x x 1 0 1 , ,E x x ( , ,3,., 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 6 11( , ) , ( , ) . k k f T M x S f T m x ( ) ( ) i n f ( , ) , ( ) ( ) s u p ( , )f x d x S f T R f x d x S f T 分别称为（ R ）上积分和（ R ）下积分，如果（ R ）上，下积分积分相等则称 () , R 可积将 R 上，下积分的公共值记为 () , R 的积分，记为 ( ) ( )f x 我们已知，测度是长度的推广，上述为)启发我们为推广（ R ）积分可以考虑将区间 ,分割推广为测度空间 ( , , )中具有 有限测度的集 E 的分划，而且对于 , 使 , 积，按照 R 积分的思想，必须使得在分割 , ， 的振幅足够小，这使得具有较多激烈震荡的函数被排除在可积函数类外因此勒贝格提出了从分割值域入手的 L 积分即任给 0 ，作01 nm y y y M ，其中1， , , 的下界和上界令 1|i i iE x y f x y ，( 1, 2 )，如果10 1y m E 存在，则定义为 ,ab f x 而 对 于 一 般 可 测 函 数 的 积 分 定 义 为 ： 设 可 测 集 上 可 测 ， 若 记 m a x , 0 , m a x , 0 f x f x f x f x ，则有 f x f x f x，若 ,x d x f x不同为 ，则称 上积分确定且有 E E Ef x d x f x d x f x d x ， 当此式右端右边两个积分值都有限时，称 上 L 可积 L 积分是建立在勒贝格测度论的基础上，可以统一处理有界和无界的情形，而且函数可定义在更一般的点集上 为了与 R 积分联系起来，我们还给出（ L ）积分的另一定义为：设 ( , , )为测度空间, ( )E u E ， f 在 E 上有界，对 E 做分划 T，1，其中所有的且 () k j ，令 s u p ( ) , , i n f ( ) , , k k k kM f x x E m f x x E 学毕业论文 7 11( , ) ( ) , ( , ) ( )k k f T M u E S f T m u E 令 ( ) i n f ( , ) , ( ) s u p ( , ) f d u S f T L f d u S f T，分别称为（ L ）上，下积分如果( ) ( )f d u L f d u，则 f 在 E 上 L 可积，并称 (L ) 上，下积分的公共值为 f 在 E 上的 L 积分，记为 ()EL 这种定义直观，易接受，只是它过分的套用了 R 积分定义的模式，掩盖了 L 的优点 以上是测度有限可测集上有界函数的 L 积分定义，我们看到它在形式上同 R 积分除了“积分区域”更一般外，主要不同之处在于采用了测度和分划的不同，即区间一律换成了 L 可测集 注：当 E 记为 ()EL f x 特别地当 , E a b ，记为 ()ba f x 比较两者定义可知，将 ,划成小区间是将 ,划成可测集必有 ( ) ( ) ( ) ( )b b b ba a a aR f L f L f R f 由此式可知，当 f 在 , R 可积时即 ( ) ( )f R f时必有 ( ) ( )f L f 所以当 f 在 , R 可积时，则 f 在 ,必 L 可积，但反之不一定成立如定义在 E =0， 1上的狄利刻 雷函数 们已知 可积的，但由 L 积分的定义可以证明 可积的，且有 ( ) ( ) 0f x d x 由上述过程可知， (R )积分的建立是通过分割定义域，对和式求极限而得来的，这只是在每个小区间1 , 所取值k的改变而引起的， ()的变化极小或者即使 ()变化较大，但 ()改变较小时， () L 积分却改变了这种现象，它是对 ()函数值相差不大的点结合在一起，从而扩展了可积函数类，使得好多问题变得迎刃而解了因此对定义域和值域的分割是 R 积分和 L 积分的本质区别实际上设 f 定义在集 E 上 ( ) ,f x x E ，对 , 作分划01 . . . nD y y y ， 令1 , ( ) k k kE x E y f x y ， 则当 f 在 E 上可测时所有的 () k j ，1则得到了 E 的相应的分划 T 这时 111( , ) ( ) , ( , ) ( )k k f T y u E S f T y u E， 因此对 f 的值域 , 作分划 D 实质仍然是为了对 f 的定义域作分划 T 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 8 2曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较 R 可积的条件： （一） () 可积的必要条件是 () ,有界（这说明，任何 R 可积函数必须有界，但有界函数未必 R 可积，如狄里克雷函数，这与 L 积分不同， L 积分可以是无界的） （二） R 可积的充要条件有： 1定义在 ,有界函数 f R 可积的充要条件为 f 在 ,的 R 上积分等于 R 下积分，即 ( ) ( ) ( ) ( )f x d x R f x d x 2定义在 ,有界函数 f R 可积的充要条件为 0，总存在某一分割 T ，使得 1()n i i i i m 3定义在 ,有界函数 f R 可积的充要条件为， 0，总存在某一分割 T ，使得( ) ( )S T S T 4定义在 ,有界函数 f R 可积的充要条件为对任给正数 ,，总存在某一分割 T ，使得属于 T 的所有振幅i的小区间i的总长不超过 注 ：由此条件可以证明黎曼函数 0 ( , 0 )1 ( ( , ) 1 ) px p 在 0,1 上 R 可积 L 可积的条件： 1设 () m E 上的有界函数，则 () 上 L 可积的充要条件为0，存在 E 的分划 D 使得 ( , ) ( , ) (i i i i f S D f m E M m )（此条件与 R 积分类似） 2设 () m E 上的有界函数，则 () 上 L 可积的充要条件为 () 上可测（即对于 测度有限的可测集上的有界函数可测性与可积性等价） 学毕业论文 9 3设 ， () 上的可测函数， ( 1 ) n f n ， 则 () 上 L 可积的充要条件为 |nn m E 4设 () , 反常积分存在，则 () , 可积的充要条件为 | , 有 , ba b aL f x d x R f x d x 5 设 上 L 可 积 函 数 列 ， li f x f x 在 E 上 几 乎 处 处 成 立 ， 且 |nE f x d x K （常数），则 () 上 L 可积 2曼积分和勒贝格积分的 性质的比较 R 积分的性质： 1如果 f 在 , R 可积， k 为常数，则 ,也 R 可积，且有 k f 2若 , , R 可积，则 ,f g f g 在 ,也 R 可积（注：有 ,b b ba a af g f g 但 b b ba a f g ） 3有界函数 f 在 , , ,a c c b 上都 R 可积，则 f 在 ,也可积，且有 b c ba a cf f f 4设 , , R 可积，且 ( ) ( ) , , f x g x x a b，则 5若 f 在 , R 可积，则 |f |在 ,也 R 可积，且有 | | | |（注：其逆命题不成立，如 1 ( )1 ( ) 在 0,1 上不 R 可积，但 | | 1在 0,1 上可积 6设 , , R 可积，则 | | | | 0 1l i mn bi i i aT i f g x f g ，其中 ,是 7设 f 在 , R 可积，则在 ,任一内闭子区间 , 上 f 也 R 可 积 8设 f 在 ,连续且非负，若有 0ba f x ，则在 , 0f 9设 , , R 可积，则 m a x , , m i n ,M x f x g x m x f x g x在 ,也 R 可积 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 10 10设 f 在 , R 可积，且在 ,有 | | 0f x m，则 1 ,也 R 可积 11设 f 在 ,连续，且对 ,任一连续函数 g ，有 0ba ，则在 , 0f 12设 f 在 ,连续，且对于所有那些在 ,满足 0g a g b的连续函数 g 有0ba ，则则在 , 0f 13（黎曼 f 在 , 可积，则 l i m s i n 0ba f x x d x L 积分的性质： 1积分区域的可加性设在，1 ，式中 互 不相交的可测集，则1 （注：设1 ， 互不相交的可测集，对于任意的 k ， () E 不能推出()f L E 但有 ()f L E 能得到 () E ，这与 R 积 分 是 有 区 别 的 ， 在 R 积分中 ( 1, 2 ) E f R E k ） 2零集上的积分若 ( ) 0，则 0（约定当 () 而 ( ) 0 ( )f x x E 或者() 而 ( ) ( )f x x E 都有 0E f ） 3关于可积函数的单调性：（ 1）设 ,都存在，且 在 E 上几乎处处成立，则，特别地若 在 E 上几乎处处成立，则 （ 2）设 ()f L E ， 0f 在 E 上几乎处处成立，则 0E f （ 3），设 f 在 E 上可测，若( ) , 0g L E g ， |在 E 上几乎处处成立，则 ()f L E 4关于积分区域的单调性设 A 是 E 的可测子集，则在，特别地，若 f 在 E 上非负可测，则 5线性性质 （ 1 ）设 , ( )f g L E ，则12 ()c f c g L E，（ 其 中 12, 常 数 ） 且1 2 1 2E E Ec f c g c f c g （ 2），设 , ( )f g L E ， , ( )f g g L E，则 ()E E Ef g f g 注：若 , ( )f g L E 不能推出 () E ，如取 0,1E ， 学毕业论文 11 1 , ( 0 1 )() ( 0 )0, 则 ()f L E ，但 2f 在 E 上不 L 可积 6绝对可积性 ( ) | | ( )f L E f L E 且 f 在 E 上可测，且有 | | | |由于可积函数的绝对可积性故 L 积分是一种绝对收敛的积分，而 R 反常积分不必为绝对收敛，因此 L 积分不是 7（ 1）唯一性定理：设 f 在 E 上可测，则 | | 0 0E 在 E 上几乎处处成立 （ 2）设 ()f L E ，若对于所有有界函数 g ，均有 00E fg f 在 E 上几乎处处成立（注：0E f 不能推出 0f 在 E 上几乎处处成立 如取 1,1E ，令 2 , ( 1 0 ) ,() 2 , ( 0 1 ) . x，则 0E f ，但 0f 8，积分的绝对连续性设 ()f L E ，则对于 0 , 0 使得对 E 中任何可测子集 A ，只要 ( ) | | | | f f 9， L 可积函数的逼近性质设 () ， f 在 E 上有界可积，则对于 0, E 上可测的简单函数 ,得 g f h在 E 上几乎处处成立，且 E h g 10， L 积分的平均连续性设 ( , )距离空间， *u 为距离的外测度，1 ，其中所有的 集 ， 且 * ( ) , u为由 *u 导 出 的 全 有 限 测 度 ， ()f L X ，则0l i m | ( ) ( ) | 0xx f y f x d u （简单的说： 0l i m | | 0 R f x h f x d x ） 11， L 积分弱连续性，设 上非负递减可积，且 0在 E 上几乎处处成立，则f （注：逆命题不成立） 12 , R g L R，则 m a x , , m M x f x g x m x f x g x在 可积 13（积分变量的平移变换） R ，则对任意的 00, f x y R ，且有 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 12 0x y f x d x 14（黎曼 格引理的推广） 若 ,的可测函数列且满足 15 | | ( , )ng x M x a b2，对任意的 ,c a b 有 ,l i m 0g x d x 则对任意的 ,f L a b ，有 ,l i m 0f x g x d x 2曼积分函数类与勒贝格积分函数类 R 积分函数类： 1若 f 为 ,的连续函数，则 f 在 , R 可积 2若 f 是 ,只有有限个间断点的有 界函数，则 f 在 , R 可积 3若 f 是 ,只有有限个第一类间断点的函数，则 f 在 , R 可积 4若 f 是 ,的单调函数，则 f 在 , R 可积 5设 f 在 ,有界， ,na a b且 l i m , ,nn a c c a b ，若 f 在 ,只有 f 在 , R 可积 L 积分函数类： R 可积的有界 函数均是 L 可积的 2黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理的比较 关于 R 积分的定理有： R 积分的第一中值定理：若 f 在 ,连续，则在 ,至少存在一点 ， 使得 ( ) ( )ba f f b a 推广的 R 积分的第一中值定理：若 , ,连续，且 ,不变号，则在 ,至少存在一点 ，使得 ()g f g R 积分第二中值定理：若在 , f 为非负的单调递减函数， g 是 R 可积的，则 , , ( )b f g f a g 学毕业论文 13 推论 1，若在 , ( ) 0且单增， g 是 R 可积的，则 , , ( )b f g f b g 推论 2，若在 , f 为单调函数， g 是 R 可积的 ，则 , , ( ) ( )b f g f a g f b g 关于 L 积分的相关定理：关于 L 积分的最大成功之处在于讨论积分与极限交换问题时将会看到着问题在 L 积分范围内得到比在 R 积分范围内远为圆满的解决如，设 ( , , )为测度空间，, ( )E u E ， 在 E 上几乎处处成立，我们可知从 可测性可以推出它的极限函数 能否从 ( ) ( ) E f L E 呢？先看下述例子 例 1 设 11 1 , 1 , ( , ) ，令 1 ()()0 ( ) ，且 () E，有 1 , ( 0 )l i m ( ) ( ) ( 0 )0, x f x 因为 0nE f f，但 | | ,E 在 E 不是 L 可积的 例 2 设 22 2 2 0 , 1 , ( ) ( ) 0 ( )(1 )f x f x ，但 1l i m 02n u f d f d 上述两例说明，当从 () E不一定能推出 ()f L E ，即使 ()f L E 也不一定能保证极限符号与积分号能交换次序，我们在微积分中熟知当 , a b时，也不能保证它的极限函数 , f R a b ，往往要加上 ,一致收敛于 f 的苛刻条件，对于 L 积分，并不要求f ，所加条件弱得多当讨论一般可积函数的情形时，有勒贝格控制收敛定理：设（ 1） E 上的可测函数列（ 2） | | ( ) , 1 , 2 x n在 E 上几乎处处成立，且 () 上可积（ 3） ( ) ( )nf x f x，则 () 上可积且 l i m ( ) ( )f x d x f x d x 注：（一） 若将条件（ 3）改为 ( ) ( )nf x f x在 E 上几乎处处成立，定理结论仍成立 （二） 设 ，若将条件（ 2）改为 | ( ) |nf x k（常数），若 ( ) ( )nf x f x在 E 上几乎处处成立或 ( ) ( )nf x f x，定理结论仍成立 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 14 再看非负可测函数类有：列维定理：设 上的一列非负可测函数，且在 E 上有1( ) ( ) , 1 , 2x f x n（单调列），令 ( ) )x f x，则 l i m ( ) ( )f x d x f x d x 逐项积分定理：设 ( 1 , 2 ) E k，若有 1 x d x ，则 1 在 E 上几乎处处收敛，若记和函数为 f L E ，且有 1 x d x f x d x 积分号下求导定理：设 ,f x y 是定义在 ,E a b 上的函数，它作为 x 的函数在 E 上可积，作为y 的函数在 ,可微，若存在 F L E ，使得 | , |d f x y F ，则 ,x y d x f x y d xd y d y 通过以上定理我们可 以发现在极限运算与 (L )积分运算交换次序时，只须满足存在一个控制函数 )些条件与一致收敛条件相比弱得多，在这样的条件下，极限与积分运算，微分与积分运算，积分与积分运算很容易交换次序而在 R 积分中有界收敛定理为： （ 1） ( 1, 2 )nf x n 是定义在 ,的 R 可积函数 （ 2） | | ( 1, 2 , , )nf x M n x a b (3) ,的 R 可 积 函 数 ， 且 有 li f x f x 则 有 l i m f x d x f x d x 这里不仅受到条件（ 2）的限制，而且还必须假设极限函数 只是 L 控制收敛定理的一个特例 学毕业论文 15 第三章 实例 例 1： 求0l n ( )l i m c o e x d 解 l n ( ) l n ( )l i m c o s l i m l i m c o s 0n nx n n x x ne x e xn n n x ， 又 l n ( ) l n ( ) l n 3 l n 3( 1 ) ( 1 )33x n n x x n x xn n n x n 所以 l n ( ) l n 3c o s (1 )3e x x ，又因为 (1 )3 在 0, ) 上 L 可积， 由控制收敛定理可知，0l n ( )l i m c o e x d =0 而在 R 积分中要证明 ) c o 在 0, ) 上一致收敛是很麻烦的 例 2： 设 0,1t ， 1 , 0 , 1 , 1 , 21tn x x ，求证： 10l i m 0nn f x d x 证：当 1时， 11 21121 2tn ， 当 1时， 111 11