广东省揭阳市2017届高三第二次（4月）模拟考试理数试题含答案

揭阳市 2017 年高中毕业班第二次高考模拟考试题 数学（理科） 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . ) 1 l g ( 6 3 )f x x x 的定义域为（ ） A ( ,2) B (2, ) C 1,2) D 1,2 12i （ ， i 是虚数单位）是纯虚数，则 z 为（ ） A 32B 152C 6 D 3 3.“ 为真 ”是“ 为真 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分要件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 s i n c o ，则 co s( 2 )2 （ ） A 89B 23C 89D 1a b c ，则（ ） A B C D lo g lo 章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一 种标准量器 商鞅铜方升，其三视图如图 1 所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（ ） A 14 B 122C 12 D 38 2 的程序框图，统计高三某班 59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用 j 表示），则判断框中应填入的条件是（ ） A 58?i B 58?i C 59?j D 59?j 个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（ ） A 14B 34C 35D 02 3 00 ，若 2z x y 的最小值为 3 ，则 a 的值为（ ） A 1 B 32C 2 D 1( ) ( )2 xf x x的大致图象是（ ） 0，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为 8，则这个长方体体积的最大值为（ ） A 64 B 128 C 192 D 384 11( ) s i n s i n ( 0 )2 2 2xf x x ， ，若 () ,2 )内有零点，则 的取值范围是（ ） A 1 5 5( , ) ( , )4 8 4 B 15(0, ,1)48C 1 1 5 5( , ) ( , )8 4 8 4D 1 1 5( , ) ( , )8 4 8 第 卷 二、填空题（ 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分， 将答案填在答题纸上） 1, 2) ， (2, 1)满足 a b a b ，则 x 4 6 0 与圆 22 20x y y m （ ）相切 ，则 m 的值为 中，已知 夹角为 0150 ， 2，则 取值范围是 22 14（ 0b ）的离心率为 52 ， 12,A 为左顶点， (0, ) P 在线段 ，则12F的最小值为 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 1a，1 2 ( 1 ) 1nn . （ 1）求证：数列 1是等比数列； （ 2）求数列 n 项和为18. 已知图 3中，四边形 等腰梯形， /D ， /D ， ,中点， 交点为 P ， 1， 2，现将梯形 起，使得 3，连结 ,C ，得一几何体如图 4 所示 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若图 3 中， 045A ， 2，求平面 平面 成锐二面角的余弦值 . 19. 某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关，规定第一关没过者没奖励，过 n （ *）关才奖励 12n 件小奖品（奖品都一样），图 5 是小明在 10 次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率 . （ 1）估计小明在 1 次游戏中所得奖品数的期望值； （ 2）估计小明在 3 次游戏中至少过两关的平均次数； （ 3）估计小明在 3次游戏中所得奖品超过 30件的概率 . 20. 已知椭圆 221（ 0 ）与抛物线 2 2y （ 0p ）共焦点2F，抛物线上的点 M 到 y 轴的距离等于2 1且椭圆与抛物线的交点 Q 满足2 52 （ 1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （ 2）过抛物线上的点 P 作抛物线 的切线 y kx m交椭圆于 ,线段 中点为00( , )C x y，求0 21. 设函数 2( ) ( )f x x a（ ）， ( ) l ng x x ， （ 1）试求曲线 ( ) ( ) ( )F x f x g x在点 (1, (1)F 处的切线 l 与曲线 () （ 2）若函数 ( ) ( ) ( )G x f x g x有两个极值点，求实数 a 的取值范围 . （附：当 0a ， x 趋近于 0 时， 2ln 向于 ） 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在直角坐标系 ，已知直线1 : ta nl y x（ 0,2 ），抛物线 2:2（ t 为参数），以原点 O 为极点， O 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）求直线1 的极坐标方程； （ 2）若直线1 相交于点 A （异于原点 O ），过原点作与1 相交于点 B （异于原点 O ），求 的面积的最小值 . 等式选讲 已知函数 ( ) 2 1f x x. （ 1）求不等式 ( ) 1的解集 A ； （ 2）当 ,m n A 时，证明： 1m n 揭阳市 2017 年 高 中毕业班第二次高考模拟考试题 数学 (理科 )参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C C B B D A B C D 解析：（ 6） 易得该几何体为一底面半径为 12、高为 2的圆柱与一长、宽、高分别为 4、 3、 1的长方体的组合，故其体积为： 21( ) 2 4 3 1 1 222 . （ 8） 3 个红包分配给四人共有 34甲、乙两人都抢到红包”指从 3 个红包中选 2个分配给甲、乙，其余 1个分配给另外二人，其概率为 2 2 13 2 2343 2 2 14 3 2 2C A （ 9 ） 如 图 ， 当 直 线 过点 ( 2, )A a a 时， z 取 得 最 小 值 ， 即2 2 3 1a a a . （ 10）由 (0) 1f 可排除（ D），由 044)2( f ， 01616)4( f ，可排（ A）（ C），故选（ B） . （ 11）以投影面为底面， 易得正方体的高为 2210 8 6，设长方体底面边长分别为 , 2264， 6V 223 ( ) 1 9 2 (12) 1 c o s s i n 1 2( ) s i n ( )2 2 2 2 4x x ，由( 4 1 )( ) 0 ( )4kf x x k Z 令 2 得函数 )(一零点 98x ( ,2 ) ，排除（ B）、（ C），令 38得函数 ()0, ) 上的零点从小到大为：122 1 0,33，显然1x )2,( ，2x )2,( 可排除（ A），故答案为（ D） 【法二： )4s 22)( 0)( 4，当 )2,( x 时，)42,4(4 x ，由题意知存在 ， )42,4( k ，即)412,41( k ，所以 41)41(21 ，由 0 知 0k ，当 ,2,1,0k 时，4181 ，4585 ，4989 ，所以选 D】 二、填空题： 题号 13 14 15 16 答案 1 3 0,4（ 215解析： (15) 由 夹角为 150知 30B ,由正弦定理得： | | | | 4s i n s i n 3 0A B A | | 4 s i C ,又 0 150C 得 0 | | 4. （ 16） 易得 5 , 1，设 ( , )Px y 则12 ( 5 , ) ( 5 , )P F P F x y x y 225 ， 显然，当 B 时， 22取得最小值， 由面积法易得 22m ()5，故12F的最小值为 4 21555 . 三、解答题： （ 17）解： （ I） 证法 1：由已知得 1211 )1(2111 又 211 a ，得 01 21111 数列 1 ，公比为 2的等比数列 证法 2：由 1)1(21 ( 1 ) ( 1 )a n a n n ， 由 01 a 及递推关系，可知 0以 01 111 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1a n n n a n n a n n n a n ， 数列 1 ，公比为 2的等比数列 （ 由 （ I） 得 221 1 ， 2， 2 3 12 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2n n )1(321 ， 设 2 3 12 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2n n ， 则 2 3 4 12 2 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2n n ， 式减去式得 2 3 12 2 2 2 2 12 (1 2 ) 212n 22)1( 1 得 22)1( 1 nn 又 ( 1 )1 2 3 ( 1 )2 ， 1 ( 1 )( 1 ) 2 22nn （ 18）解： ( )证明：在图中，四边形 等腰梯形， ,中点， 等腰梯形 对称轴，又 ， F 、 F ， 在图中， 222 ， 由及 ，得 平面 Q ， 又 F P ， 平面 又 面 平面 平面 ( )在图中，由 45A ， 2，易得 3F， 4B， 以 O 为原点， 在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示， 则 )0,4,0(B 、 )0,3,1(F 、 (0,1, 3)C 得 )0,1,1( ( 0 , 3 , 3 ) 设 ( , , )m x y z 是平面 一个法向量， 则 ，得 03 3 0m B F x C y z ， 取 3z ，得 ( 3 , 3 , 3 )m 同理可得平面 一个法向量 ( 3 , 3 , 3 )n 设所求锐二面角的平面角为 ， 则| |,c o s|c o s nm = 9351 5 1 5 所以平 面 成锐二面角 的余弦值 为 35 （ 19）解： ( )设小明在 1次游戏中所得奖品数为 ，则 的分布列为 的期望值 E ； 0 1 2 4 8 16 P )小明在 1 次游戏中至少过两关的概率为 设小明在 3 次游戏中至少过两关的次数为 X，可知 )( 则 3)( () 小明在 3 次游戏中所得奖品超过 30件含三类：恰好一次 16 和两次 8 ，恰好二次 16 ，恰好三次 16 ， 213 )8()16( ， )16()16( 223 ， 333 )16( 所以小明在 3 次游戏中所得奖品超过 30件的概率为 0 3 （ 20）解： （ I） 抛物线上的点 M 到 y 轴的距离等于2| | 1 点 x 的距离等于点 M 到焦点 2F 的距离， 得 1x 是抛物线 2 的准线，即 12 p， 解得 2p ，抛物线的方程为 2 ； 可知 椭圆的 右焦点 )0,1(2F ，左焦点 )0,1(1 F ， 由25| 2 QQ 2 ，解得 )6,23( Q， 由 椭圆的 定义得 |2 21 62527 ， 3a ，又 1c ，得 8222 椭圆的 方程为 18922 - （ 显然 0k ， 0m ， 由去 x ，得 0442 由题意知 01616 得 1 由18922 消去 y ，得 072918)89(222 mk m 其中 4)18( 22 )729)(89( 22 化简得 089 22 又，得 098 24 解得 90 2 m ， 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则89 92 2210 ， 由91122 10 x， 00,1( （ 21）解：（） 2)1()1( ，)(2)( ， 切线 l 的斜率为 3)1( ， 切线 l 的方程为 )1)(23()1( 2 即 2)23( 2 联立 )( 2 ，得 02 设 2 2 则32)( x 1)(12( ， 由 0)( 0x ，得210 x ， )( )21,0(和 ),1( 上单调递增，可知 )( )1,21(上单调递减， 又 0)1( h ， 031)1(242 以 0x )21,0(， 0)(0 方程 02 两个根： 1和0x，从而切线 l 与曲线 )(两个公共点 ( )由题意知 0)1()( ,0( 至少有两不同根， 设 1， 当 0a 时， 1 是 0)( 根， 由 1 0a ）恰有一个公共点，可知 01x ， 由 12 得 1a ，不合题意， 当 0a 且 1a 时，检验可知 1 和 2x 是 )(两个极值点； 当 0a 时， 0)1( ,0( 仅一根，所以 0a 不合题意； 当 0a 时，需 01 ,0( 至少有两不同根， 由 02)(2 得 2 ，所以 )( ),2( a 上单调递增， 可知 )( )2,0( a上单调递减， 因为 0a ， x 趋近于 0时， )(向于 ，且 1x 时， 0)( 由题意知，需 0)( 即 03)2)2( 得 232 02 23 综上知， 32( 2 , 0 ) ( 0 , 1 ) (1 , ) 选做题： （ 22 ） 解： （ ） 可知1原点且 倾斜角为 的 直线 ，其